Universidad Autónoma de Madrid Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Pendiente de la lección 1: Lección 6 Variables aleatorias ˆ Si Ω es infinito, Ω sería su área en P(A) = A / Ω. ˆ Vamos a lanzar un bolígrafo en un suelo con pequeñas baldosas blancas que tienen un dibujo negro que ocupa un quinto del área de la baldosa. Probabilidad de que la punta se quede encima del dibujo? En un experimento normalmente hay varios resultados de interés. A veces nos interesa centrarnos en una magnitud determinada. Variable aleatoria = Magnitud que ocurre como resultado de un experimento. (10 cartas) Variables aleatorias: número de bastos, número de parejas, número de figuras, número de sotas en las primeras 4 cartas, número de ases, número máximo de cartas en escalera, número máximo de cartas del mismo palo, etc. (3 boletos de ) Variables aleatorias: número de 1, número de boletos pares, suma de los boletos, multiplicación de los boletos, etc (4 alumnos de clase) Variables: número de alumnos con ojos azules, número de alumnos que miden más de 180 centímetros, número de alumnos de Madrid, etc (5 dados) Variables: número de menos número de, algún? (vale 0 si no salen ningún y vale 1 si sale alguno). (bolígrafo) Variables aleatorias: distancia de la punta al lado izquierdo de la baldosa, distancia de la punta al borde más cercano de la baldosa, distancia al dibujo negro, tiempo que le cuesta al bolígrafo quedarse quieto. Para cada variable aleatoria X, su Rango es el conjunto de valores que puede tomar X. Dos tipos de variables aleatorias: ˆ Discretas = Su rango es un conjunto de puntos separados (por una distancia mínima). (10 cartas) X = número bastos es discreta. ˆ Continuas = Su rango es un intervalo de números reales y además P(X = x) = 0 para cualquier x. (boĺıgrafo) X = distancia al lado izquierdo es continua. 1 de 5

2 Vamos a centrarnos primero en las discretas. El comportamiento de cualquier variable aleatoria discreta queda descrito por su Función de masa p(x) = p X (x). Se define como p(x) = P(X = x) para todo x en el rango. Normalmente se dibuja su gráfica para tener una idea visual del comportamiento de X. (2 monedas) X = número de caras. ˆ Rango: {0, 1, 2}. ˆ Función de masa: p(0) = 1/4, p(1) = 1/2, p(2) = 1/4. Gráfica con R. (4 dados) X = número de. Rango: {0, 1, 2, 3, 4}. Función de masa: p(0) = (5/6) 4 p(1) = 4! 1!3! (1/6)(5/6)3 p(2) = 4! 2!2! (1/6)2 (5/6) 2 p(3) = 4! 3!1! (1/6)3 p(4) = (1/6) 4. Puede resumirse como p(x) = 4! x!(4 x)! (1/6)x (5/6) 4 x si definimos 0! = 1. Gráfica de la función de masa anterior con R. Si dos variables (discretas) tienen la misma función de masa se comportan exactamente igual. X = número de caras al lanzar dos monedas. Y = número al sacar un boleto de Se dice que X e Y tienen la misma distribución, o X Y. Variables (discretas) que aparecen mucho tienen nombre propio: ˆ Bernouilli (con proporción p) = Número de boletos 1 al sacar un boleto al azar de una caja con una con una proporción p de boletos 1 y 1 p de boletos 0. (1 dado) número de Bernouilli(1/6) ˆ Binomial (con n sacadas y proporción p) = Número de boletos 1 al sacar n boletos al azar con reposición de una caja con una proporción p de boletos 1 y 1 p de boletos 0. (4 dados) Número de Binomial(4,1/6) ˆ Hipergeométrica (con a unos, b ceros y n sacadas) = Número de boletos 1 al sacar n boletos al azar de una caja con a boletos 1 y b boletos 0. (4 cartas) Número de figuras Hipergeométrica(12,28,4) 2 de 5

3 ˆ Poisson (con parámetro λ) = Aproximación a una Binomial cuando la proporción p es muy pequeña y el número de sacadas n muy grande de forma que pn = λ. (1000 boletos con reposición de una caja con boletos, 3 1 ) y el resto 0 ) Número de 1 Poisson (0.3) Es fácil ver (usando Stirling y la aproximación (1 y/n) n e y para n grande) que la función de masa de una Poisson es λ λx p(x) = e x! con rango x = 0, 1, 2, 3,... Ver aproximación con R. Para una variable continua la función de masa no sirve de mucho porque vale siempre cero. En sustitución se usa la función de densidad. Función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua X. Se define como f(x) P(x < X < x + δ) δ = masa longitud con δ muy pequeño. f nos da la densidad de probabilidad : Una zona con f más grande es más probable que salga que otra zona con f más pequeña. (bolígrafo) X = distancia al lado izquierdo de la baldosa (en milímetros). Si la baldosa tiene lado 25 milímetros, A = {3 < X < 15}, P(A) = A / Ω = (12 25)/(25 25) = 12/25. P(x < X < x + δ) = δ/25 f(x) = 1/25 con rango x [0, 25]. (bolígrafo) X = suma de la distancia al lado izquierdo y de la distancia al lado de abajo en milímetros. El rango es el intervalo [0, 50]. y por simetría P(15 < X < 15 + δ) área de un rectángulo (δ/ ) área total P(x < X < x + δ) xδ 25 2 si x < 25 f(x) = x/25 2 si 0 < x < 25, f(x) = (50 x)/25 2 si 25 < x < 50. = 15 δ de 5

4 Caja decimal de a a b con k cifras= Caja que contiene boletos con todos los números entre a y b con k cifras decimales. Algunas variables continuas con nombre: ˆ Uniforme (con mínimo a y máximo b) = Número de un boleto sacado al azar de un Caja decimal de a a b con k cifras con k muy grande. f(x) = 1 b a con rango [a, b]. (boĺıgrafo) Distancia al lado izquierdo Uniforme(0,25) ˆ Exponencial (con frecuencia λ) = Aproximación continua al tiempo (en segundos) que pasa hasta que sale un boleto 1 si sacamos (con reposición) un boleto al azar cada 1/m segundos de una caja con una proporción λ/m de boletos 1 y el resto boletos 0, con m muy grande. (Un boleto (reposición) cada milésima de una caja con 800 boletos, 2 1 y el resto 0 ) Tiempo en salir 1 Exponencial(2.5) Es fácil ver (usando la aproximación (1 y/m) m e y ) que su función de densidad es f(x) = λe λx con rango [0, ). λ se llama frecuencia porque lo normal es que aparezca un 1 aproximadamente tras 1/λ segundos ( λ por segundo si continuáramos). La exponencial se suele usar para el modelizar el tiempo que le cuesta a un aparato estropearse. Para variables discretas, podemos usar la función de masa para calcular probabilidades: P(a < X < b) = P(X = x) = p(x). P(a < X < b) = Para continuas, lo mismo con la función de densidad: P(a < X < b) a<jδ<b P(jδ < X < jδ + δ) p(x). a<jδ<b f(jδ) δ b a f(x) dx P(a < X < b) = Área por debajo de la grafica de f(x) entre x = a y x = b. 4 de 5

5 Decimos que dos variables aleatorias X, Y son independientes cuando para todo par A, B de resultados posibles para X e Y se cumple que P(X esté en A Y esté en B) = P(X esté en A). (dos dados) par en el primer dado?, suma de los dados par? Independientes. Puntuación primer dado, suma de los dados. No Independientes. (bolígrafo) distancia a izquierda, distancia abajo Independientes. distancia a izquierda, suma de distancias a izquierda y abajo. No independientes. Hasta ahora hemos considerado variables aletorias numéricas. También tenemos variables aleatorias multidimensionales (o vectoriales), cuyos valores son vectores en vez de números. (4 cartas) X = números de las cartas. Por ejemplo, X = (3, 11, 1, 1) querría decir que en la primera carta sael un 3, en la segunda un caballo y en la dos últimas ases. (bolígrafo) X = Posición de la punta en la baldosa. Por ejemplo, X = (2.3, 4.1) quiere decir que la punta se ha quedado a 2.3 milímetros del lado izquierdo y a 4.1 milímetros del lado de abajo. Todos los conceptos vistos para variables (rango, función de masa, función de densidad) funcionan igual para variables vectoriales (sólo que en la definición de densidad habría que cambiar longitud por volumen ). 5 de 5