Química Física II. Tema II

Transcripción

1 Química Física II. Tema II TEMA II: LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 1. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo 2. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 3. Principio de incertidumbre 4. La función de onda y su interpretación 5. Partículas en cajas 6. Oscilador armónico 7. Rotor Rígido 8. Barreras de potencial, efecto túnel

2 Nuevos experimentos conducen a nuevas hipótesis

3 Principio de Incertidumbre El proceso de medida interacciona con el sistema medido No todas las magnitudes se pueden medir exactamente y a la vez. = h/2п (otra de las variantes del principio, que puede generalizarse para diferentes magnitudes complementarias) Fue enunciado por Werner Heisenberg en 1927 y se puede apreciar a nivel molecular o menor. Nota: la incertidumbre se calcula como en estadística.

4 La Mecánica Cuántica se basa en unos Postulados La mecánica cuántica funciona, no se ha encontrado una teoría mejor desde hace 90 años. La mecánica cuántica parece estar en contra de nuestra percepción macroscópica de la naturaleza. Tiene implicaciones filosóficas: física cuántica y filosofía. (Postulados según el libro de Ira N. Levine)

5 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado I: El estado de un sistema viene descrito por una función de las coordenadas de posición y de espín de las partíıculas que forman el sistema y del tiempo. Dicha función recibe el nombre de función de estado o función de onda, Ψ, y debe cumplir ciertos requisitos: ser uniforme, unívoca y continua, sus derivadas primeras deben ser continuas (salvo en los posibles puntos en que el potencial se haga infinito), y la función debe ser de cuadrado integrable (esta condición sólo es exigible en sistemas ligados). (Postulados según el libro de Ira N. Levine)

6 Postulados de la Mecánica Cuántica

7 Significado de la función de Onda

8 Significado de la función de Onda

9 Significado de la función de Onda: Normalización

10 Significado de la función de Onda

11 Significado de la función de Onda

12 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado II: A cada observable a del sistema se asocia un operador lineal y hermítico  definido en el espacio de las funciones aceptables Ψ.

13 Observables

14 Construcción de operadores (observables)

15 Construcción de operadores (observables)

16 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado III: La medida de un observable a cualquiera en un sistema sólo puede dar como resultado uno de los autovalores a del operador correspondiente a dicho observable Â: ÂΨ = a Ψ Evidentemente, Ψ es una función bien comportada, como se indica en el Postulado I. el problema de la medida de un observable en un estado Si medimos una propiedad: Qué resultados podemos obtener?

17 Postulados de la Mecánica Cuántica

18 Postulados de la Mecánica Cuántica

19 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado IV: Este Postulado puede no ser comprendido en Tercer Curso, depende de si conocen los alumnos, del Algebra, la definición de base y de comjunto completo.

20 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado V: Si el sistema se encuentra en un estado definido por una función de onda, Ψ, que no es autofunción de un operador, Â, asociado a un observable, a, una medida del observable a dará como resultado un autovalor de Â, pero no se puede predecir cuál de todos los posibles será. No obstante, si se hacen repetidas mediciones de ese observable, la media de los valores obtenidos vendrá dada por: donde las integrales se extienden a todo el espacio de definición de Ψ.

21 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado VI: La evolución temporal de un sistema cuántico viene dada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

22 Titulo

23 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

24 Postulados de la Mecánica Cuántica Postulado VII: La función de onda correspondiente a un sistema de fermiones idénticos (espín semientero) debe ser antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de dos de ellos (Principio de Exclusión de Pauli). Para un sistema de bosones idénticos (espín entero), debe ser simétrica respecto de dicho intercambio.

25 Aplicación a sistemas sencillos. La Ψ debe cumplir las condiciones del sistema Condiciones de contorno: confinamiento cuantización

26 Sistemas sencillos: partícula que se mueve en una dimensión: casos libre y confinada.

27 Caja monodimensional: función Ψ y densidad Ψ 2 Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula. Los niveles se separan más al aumentar el número cuántico

28 Caja bidimensional: degeneración de la Energía E =( h 2 /(8m) ) (n x2 + n y2 ) (a=b=1) Dos grados de libertad, dos números cuánticos. (1,2) (2,1)

29 Caja bidimensional: función Ψ y densidad Ψ2 (1,1) (2,1) (2,2)

30 Caja tridimensional Dentro de la caja Fuera de la caja Separación de variables Números cuánticos positivos

31 Caja tridimensional cúbica (a = b = c) Estado fundamental no degenerado Estado triplemente degenerado Tres funciones de onda diferentes con la misma energía

32 Caja tridimensional cúbica (a = b = c) Estado no degenerado Estado triplemente degenerado Estado no degenerado Degeneración debida a la simetría del sistema

33 Barreras de Potencial en una dimensión C + onda incidente C - onda reflejada D + onda transmitida Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.

34 Barreras de Potencial en una dimensión C + onda incidente C - onda reflejada D + onda transmitida Se busca la solución Ψ en cada zona del potencial V y se pide su continuidad.

35 Barreras de Potencial una dimensión: Efecto túnel La probabilidad de hallar a la partícula en III no es nula aunque E < V 0

36 Barreras de Potencial: Efecto túnel.

37 Oscilador Armónico Monodimensional Niveles de energía equiespaciados

38 Oscilador Armónico Monodimensional La solución son los polinomios de Hermite

39 Oscilador Armónico Monodimensional

40 Oscilador Armónico Monodimensional Nodos: puntos donde nunca podremos encontrar a la partícula.

41 Oscilador Armónico Monodimensional El potencial infinito produce la cuantización de la energía. Pero al serlo en el infinito, permite un efecto túnel. (efecto tunel)

42 Oscilador Armónico Tridimensional Separación de variables

43 Oscilador Armónico Tridimensional Degeneración debida a la simetría del sistema Seis veces degenerado Triplemente degenerado No degenerado

44 Rotor rígido de dos partículas (clásico) Nota: V = 0 Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.

45 Rotor rígido de dos partículas (cuántico) Nota: V = 0 Una masa igual a la masa reducida rota alrededor del centro de masas.

46 Rotor rígido de dos partículas dv = dxdydz = r 2 senθdrdφdθ Usamos coordenadas esféricas. R es cte en el rotor rígido

47 Rotor rígido de dos partículas (cuántico) Coordenadas esféricas. La dirección Z es privilegiada en coordenadas esféricas.

48 Rotor rígido de dos partículas (cuántico) Separamos variables para resolver la ecuación diferencial

49 Rotor rígido de dos partículas (cuántico) Polinomios asociados de Legendre La rigidez del rotor provoca la cuantización de la energía. Dos grados de libertad, dos números cuánticos l y m

50 Rotor rígido: Normalización de funciones

51 Rotor rígido de dos partículas (cuántico)

52 Rotor rígido: precesión del momento angular Ejemplo: si j = 2, entonces m = -2, -1, 0, 1, 2

53 Representación gráfica de armónicos esféricos

54 Representación gráfica de armónicos esféricos Nota: que los alumnos dibujen un armónico Pz Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos. Las partes rojas representan las regiones donde la función es positiva, y las verdes representan regiones donde la función es negativa.

55 Las funciones propias son los Armónicos Esféricos, dependen de dos números cuánticos, j y m (a veces se usan l y m) P lm = Polinomios asociados de Legendre

56 Resumen Rotor Suelen usarse los números cúanticos l (momento angular total) y m (componente z del momento angular) l = 0 (s), 1 (p), 2 (d, 3 (f).. Si l = 0 y m = 0 Pz

57 Referencias recomendadas para muchas definiciones.