Apuntes de la asignatura Química Física II (Licenciatura en Química) Tema 6: Momento angular

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1 Apuntes de la asignatura Química Física II Licenciatura en Química) Tema 6: Momento angular Ángel José Pére Jiméne Dept. de Química Física Univ. Alicante) Índice 1. Momento angular en Mecánica Clásica Definición del momento angular de una partícula en Mecánica Clásica Significado físico del momento angular Tratamiento mecano-cuántico del momento angular orbital Operadores del momento angular en coordenadas cartesianas Operadores del momento angular en coordenadas esféricas Autofunciones autovalores de ˆL ˆL Separación de variables Autofunciones autovalores de ˆL Autofunciones autovalores de ˆL Armónicos esféricos Epresión anaĺıtica de los armónicos esféricos Armónicos esféricos reales Representación gráfica de los armónicos esféricos Problemas 16

2 2 Tema 6: Momento angular 1. Momento angular en Mecánica Clásica Definición del momento angular de una partícula en Mecánica Clásica Se define como el vector, L, que resulta del producto vectorial entre su vector de posición, r, su vector momento lineal p ver Figura 1) L = r p 1) L r θ p=mv Figura 1: Momento angular de una partícula. Cuas tres componentes cartesianas son L = p p 2) L = p p 3) L = p p 4) que pueden deducirse de la epresión L = i j k p p p 5) Y cuo módulo viene dado por: L = r p senθ r,p 6)

3 2 Tratamiento mecano-cuántico del momento angular orbital Significado físico del momento angular Momento angular giro de una partícula. L caracteria el cambio de orientación de una partícula: Su dirección es la del eje de giro: perpendicular al plano formado por los vectores r p. Su sentido se obtiene de aplicar la regla del sacacorchos sentido del giro. Su longitud es tanto maor cuanto más pronunciado es dicho giro: maor velocidad maor desalineamiento entre r p. Momento angular torque sobre la partícula. La derivada respecto al tiempo del momento angular de una partícula es igual al momento de la fuera que actúa sobre ésta torque): M d L dt = d r p) dt = v p + r d p dt = r F 7) Conservación del momento angular. Por tanto, si la fuera F que actúa sobre la partícula tiene la misma dirección que r el torque es nulo L es constante: Si F r r p = 0 = d L dt L = const. 8) El caso anterior sucede en los llamados problemas de campo central, en los que el potencial es independiente de la orientación de r sólo depende de su módulo), como le sucede al electrón en el átomo de hidrógeno. 2. Tratamiento mecano-cuántico del momento angular orbital Operadores del momento angular en coordenadas cartesianas Operadores del momento angular. Empleando las reglas de construcción de operadores introducidas en el Tema 4, los operadores correspondientes a las tres componentes cartesianas del operador momento angular de su módulo al cuadrado son: ˆL = ŷˆp ẑ ˆp = i h ) 9) ˆL = ẑ ˆp ˆˆp = i h ) 10) ˆL = ˆˆp ŷˆp = i h ) 11) ˆL 2 = ˆL 2 + ˆL 2 + ˆL 2 12)

4 4 Tema 6: Momento angular Reglas de conmutación. Empleando las epresiones anteriores es posible demostrar que: [ˆL, ˆL = i hˆl 13) [ˆL, ˆL = i hˆl 14) [ˆL, ˆL = i hˆl 15) [ˆL2, ˆL = 0 16) [ˆL2, ˆL = 0 17) [ˆL2, ˆL = 0 18) De forma que: No es posible asignar valores precisos de manera simultánea a más de una componente del momento angular si se conoce con precisión el valor de una de las componentes, las otras dos quedan indeterminadas Es posible determinar simultáneamente el valor del cuadrado del momento angular una de sus componentes Operadores del momento angular en coordenadas esféricas Epresión de los operadores en coordenadas polares esféricas. En los problemas donde el momento angular es importante, como sucede con potenciales de campo central, las coordenadas cartesianas no son el sistema de coordenadas más apropiado. En problemas con simetría esférica es conveniente trabajar con coordenadas esféricas ver figura 2) θ,,) o r, θ,φ) r φ Figura 2: Coordenadas esféricas.

5 3 Autofunciones autovalores de ˆL ˆL 2. 5 = r sen θ cos φ r = ) = r sen θ senφ θ = arc cos r 20) = r cos θ cuos rangos de definición son: φ = arctan 21) 0 r 22) 0 θ π 23) 0 φ 2π 24), además dτ = ddd = r 2 senθdrdθdφ 25) Conviene, pues, epresar los operadores del momento angular en función de coordenadas esféricas r, θ, φ), empleando sus definiciones la regla de la cadena, para llegar a: ˆL = i h senφ ) + cot θ cos φ 26) θ φ ˆL = i h cos φ ) cot θsenφ 27) θ φ Variables angulares. ˆL = i h φ ˆL 2 = h 2 2 θ 2 + cot θ θ + 1 sen 2 θ 2 ) φ 2 Obsérvese que los operadores ˆL, ˆL, ˆL ˆL 2 sólo dependen de las variables angulares θ φ. En particular ˆL sólo depende φ, por lo que habitualmente se aborda la determinación de las autofunciones autovectores comunes a ˆL ˆL Autofunciones autovalores de ˆL ˆL Separación de variables Vamos a determinar las funciones propias comunes de ˆL ˆL 2, denominadas armónicos esféricos: 28) 29) ˆL Y = by 30) ˆL 2 Y = cy 31) 32)

6 6 Tema 6: Momento angular Como ˆL ˆL 2 sólo dependen de las variables angulares θ φ, sus correspondientes autofunciones comunes son funciones de dichas variables, de forma que: h 2 2 Y θ, φ) Y θ, φ) + cot θ + 1 θ 2 θ sen 2 θ Y θ, φ) i h φ = by θ, φ) 33) 2 Y θ, φ) ) = cy θ, φ) 34) φ 2 Puesto que ˆL sólo depende de φ podemos buscar una solución que tenga la forma: Y θ, φ) = Θθ)Φφ) 35) 3.2. Autofunciones autovalores de ˆL Solución general. Introduciendo la epresión para Y θ, φ) dada por 35) en la ecuación de autovalores de ˆL, teniendo en cuenta que éste sólo actúa sobre φ, se llega a: cua solución general es: i h dφφ) dφ = bφφ) 36) Φφ) = Ae ibφ/ h 37) Condiciones de contorno. Para ser aceptable la función Φφ) debe ser unievaluada: Φ0) = Φ2π) A = Ae ib2π/ h 1 = e ib2π/ h = cos 2πb h 2πb h 2πb + isen h = m2π); m = 0, ±1, ±2, ±3,... 1 = cos 2πb h 0 = sen 2πb h Cuantiación normaliación. En otras palabras, los autovalores de la componente del momento angular están cuantiados: ˆL Φ m φ) = m hφ m φ); m = 0, ±1, ±2, ±3,... 38) Finalmente, para determinar A aplicamos la condición de normaliación sobre Φ m φ): 2π 1 = Φ m Φ m = A 2 e imφ e imφ dφ = 2π A 2 39) 0 A = 1 2π 40) de forma que: Φ m φ) = 1 2π e imφ 41)

7 3 Autofunciones autovalores de ˆL ˆL 2. 7 Conjunto ortonormal. Puesto que las funciones Φ m φ) son autofunciones no degeneradas de un operador Hermítico, forman un conjunto ortonormal: Φ m Φ m = 2π 3.3. Autofunciones autovalores de ˆL 2 Ecuación diferencial para Θθ). 0 Φ mφ)φ m φ)dφ = δ m,m 42) Introduciendo la epresión para Y θ, φ) dada por 35) en la ecuación de autovalores de ˆL 2 se llega a: [ h 2 Φφ) 2 Θθ) + Φφ) cot θ Θθ) + Θθ) 2 Φφ) = cθθ)φφ) 43) θ 2 θ sen 2 θ) φ 2 Introduciendo la forma de Φφ) deducida en el apartado anterior, dada por 41), en la ecuación 43) reagrupando se tiene que: d 2 Θθ) + cot θ dθθ) c ) + dθ 2 dθ h 2 m2 Θθ) = 0 44) sen 2 θ que es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes variables. Haciendo el cambio de variable introduciendo la función w = cos θ; obsérvese que 1 w +1) 45) epresando las derivadas de θ en función de las de w: Zw) = Θθ) 46) d dθ = senθ d dw 47) d 2 dθ = cos θ d 2 dw + sen2 θ d2 dw 2 48) la ecuación diferencial se transforma en: c ) 1 w 2 )Z 2wZ + h 2 m2 Z = 0 1 w 2 49) Polinomios asociados de Legendre. La ecuación anterior es análoga a la denominada ecuación diferencial asociada de Legendre: ) 1 w 2 )P 2wP + m2 ll + 1) 1 w 2 P = 0 50) cuas soluciones son los denominados polinomios asociados de Legendre de grado l orden m, P m l w): ver tabla 1.

8 8 Tema 6: Momento angular Tabla 1: Algunos polinomios asociados de Legendre. l m P m l cos θ) cos θ 1 1 sen θ cos 2 θ 1)/ cos θsen θ 2 2 3sen 2 θ cos 3 θ 3 cos θ)/ sen θ5 cos 3 θ 1)/ sen 2 θ cos θ sen 3 θ Dichos polinomios son funciones aceptables pues no divergen, a que cada polinomio se trunca hasta un cierto orden, lo que conduce a la cuantiación de los valores de l: a la siguiente relación entre m l: l = 0, 1, 2, 3,... 51) m l m = 0, ±1, ±2, ±3,..., ±l 52) La igualdad entre ambas ecuaciones diferenciales 49) 50) requiere, pues que los autovalores de ˆL 2 estén cuantiados: c = ll + 1) h 2 ; l = 0, 1, 2, 3,... 53) Finalmente, de todo lo anterior tras imponer la condición de normaliación, se deduce que la función Θθ) viene dada por: ) 1/2 Θ l,m θ) = 1) m 2l + 1)l m )! P m l cos θ) 54) 2l + m )! 4. Armónicos esféricos 4.1. Epresión anaĺıtica de los armónicos esféricos En resumen: las autofunciones comunes de ˆL ˆL 2, denominadas armónicos esféricos se pueden epresar como: ) 1/2 Y l,m θ, φ) = 1) m 2l + 1)l m )! P m l cos θ)e imφ 55) 4πl + m )! algunas de las cuales se presentan en la Tabla 2.

9 4 Armónicos esféricos 9 Tabla 2: Algunos armónicos esféricos l m Y l,m θ, φ) ) 1/ /4π) ) 1/ /4π) cos θ 1 ± 1 3/8π) ) 1/2 sen θ ep±iφ) ) 1/ /16π) cos 2 θ 1) 2 ± 1 15/8π) ) 1/2 cos θsen θ ep±iφ) ) 1/2sen 2 ± 2 15/32π) 2 θ ep±2iφ) ) 1/ /16π) cos 3 θ 3 cos θ) 3 ± 1 21/64π) ) 1/2 sen θ5 cos 3 θ 1) ep±iφ) ) 1/2sen 3 ± 2 105/32π) 2 θ cos θ ep±2iφ) 3 ± 3 35/64π) ) 1/2 sen 3 θ ep±3iφ) Recordemos que tanto el módulo como la componente del momento angular están cuantiados: ˆL 2 Y l,m = ll + 1) h 2 Y l,m L = h ll + 1) l = 0, 1, 2, 3,... 56) ˆL Y l,m = m hy l,m L = hm m = 0, ±1, ±2,..., ±l 57) La relación entre m l establece que, por cada valor de l ha 2l + 1 posibles valores distintos de m los armónicos esféricos presentan una degeneración 2l + 1 respecto a ˆL 2. Recordemos también que Y l,m θ, φ) no son autofunciones de ˆL componentes del momento angular están indeterminadas. ˆL, por lo que dichas Por esta raón es frecuente usar una representación gráfica del momento angular como la de la figura 3, de manera que el momento angular de una partícula sería cualquiera de los infinitos vectores de módulo ll + 1) h componente m h que definen el cono representado en dicha figura: mh L ll+1) h Figura 3: Representación vectorial del momento angular de una partícula.

10 10 Tema 6: Momento angular Los armónicos esféricos formarán parte de las funciones de onda que describen el movimiento de los electrones en átomos moléculas, de ahí su importancia en Química Cuántica. Una notación habitual de los armónicos esféricos emplea la letra s, p, d, f,... según el valor de l = 0, 1, 2, 3... un subíndice según el valor de m. Por ejemplo: Y l=3,m= 2 f Armónicos esféricos reales Los armónicos esféricos son funciones complejas cuando m 0. Sin embargo es posible combinar Y l,+ m con Y l, m para obtener dos nuevas funciones reales denominadas armónicos esféricos reales ver tabla 3): Y l,+ = 1 2 Yl,+ m + Y l, m ) Y l, = 1 i ) Yl,+ m Y l, m 2 58) 59) Dichas funciones siguen siendo autofunciones de ˆL 2 pues son combinaciones lineales de funciones con el mismo valor propio de ˆL 2. Sin embargo los armónicos esféricos reales no son autofunciones de ˆL por la raón contraria. Tabla 3: Algunos armónicos esféricos reales Notación l m Y ± l m θ, φ) Pol. cartesiano ) 1/2 s 0 0 1/4π) 1 ) 1/2 p 1 0 3/4π) cos θ ) 1/2sen p 1 1 3/4π) θ cos φ ) 1/2sen p 1 1 3/4π) θsen φ ) 1/23 d /16π) cos 2 θ 1) ) 1/2 d /4π) cos θsen θ cos φ ) 1/2 d /4π) cos θsen θsen φ d ) 1/2sen 15/16π) 2 θ cos 2φ 2 2 ) 1/2sen d /16π) 2 θsen 2φ En la tabla anterior se inclue también: Su epresión en coordenadas cartesianas, pues resulta especialmente sencilla. La notación habitual de estas funciones, que emplea la letra s, p, d, f,... según el valor de l = 0, 1, 2, 3... un subíndice que corresponde al término más alto del polinomio cartesiano correspondiente.

11 4 Armónicos esféricos Representación gráfica de los armónicos esféricos Dada su importancia es conveniente representar gráficamente los armónicos esféricos. Dicha representación se suele realiar mediante gráficos polares: para cada dirección definida por los valores de θ φ se representa un segmento de longitud igual al valor absoluto del armónico esférico o su módulo al cuadrado. Figura 4: Representación en coordenadas polares esféricas del módulo al cuadrado de algunos armónicos esféricos. De iquierda a derecha: Y 0,0 2, Y 1,0 2, Y 1,1 2 = Y 1, 1 2.

12 12 Tema 6: Momento angular Figura 5: Arriba: representación en coordenadas polares esféricas del módulo al cuadrado del armónico esférico real s. Abajo: corte transversal.

13 4 Armónicos esféricos 13 Figura 6: Arriba, de iquierda a derecha: representación en coordenadas polares esféricas del módulo al cuadrado de los armónicos esféricos reales p, p p. Abajo: cortes transversales.

14 14 Tema 6: Momento angular Figura 7: Arriba, de iquierda a derecha: representación en coordenadas polares esféricas del módulo al cuadrado de los armónicos esféricos reales d 2, d d. Abajo: cortes transversales.

15 4 Armónicos esféricos 15 Figura 8: Arriba, de iquierda a derecha: representación en coordenadas polares esféricas del módulo al cuadrado de los armónicos esféricos reales d 2 2 d. Abajo: cortes transversales.

16 16 Tema 6: Momento angular 5. Problemas 1: Calcular el valor de los siguientes conmutadores: [ˆL, ˆL, [ˆL, ˆL, [ˆL, ˆL, [ˆL2, ˆL evaluar el producto vectorial ˆ L ˆ L. 2: Calcular, si es posible, los valores propios de ˆL 2 ˆL para las funciones: Considerar ˆL ˆL 2 en coordenadas polares. ˆL = h i Ψ 1 = N cos θ Ψ 2 = Nsenθ cos ϕ Ψ 3 = Nsenθsenϕ Ψ 4 = Ψ 2 + iψ 3 ϕ ˆL 2 = h 2 2 θ + cot θ 2 θ + 1 ) 2 sen 2 θ ϕ 2 3: Una partícula de masa m está restringida a moverse sobre una circunferencia de radio r, sin estar sometida a ningún potencial. Si en unidades atómicas tenemos que: ˆp = i sin ϕ r ϕ ˆp = i cos ϕ r ϕ E cinética = p2 + p 2 2m donde 0 ϕ 2π. Obtener la epresión de la energía de la función de onda aceptable normaliada para los estados estacionarios del sistema. 4: Sabiendo que los denominados operadores escalera se definen como ˆL ± = ˆL ±iˆl, encontrar el valor de: [ˆL, ˆL ±, [L 2, ˆL ±, [ˆL +, ˆL, [ˆL, ˆL +