ESTRUCTURA DE LA MATERIA

Transcripción

1 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 0 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 1 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 1

2 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 3 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 4 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 5

3 7/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 6 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 8 3

4 Entonces, Schrödinger sugiere que un sistema atómico puede tratarse con una ecuación como la siguiente:! Ψ + 8π m e ( E V )Ψ = 0 h Es decir, usó un método llamado mecánica ondulatoria para describir las propiedades de los electrones y sus niveles energéticos (orbitales) empleando una ecuación de ondas Además de los sistemas atómicos, hay muchos otros sistemas mucho más familiares que se describen satisfactoriamente con las ecuaciones de onda. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 Entre estos fenómenos se encuentra el de una cuerda de guitarra que al fijarse en dos extremos, produce únicamente notas de cierta frecuencia (la fundamental y sus harmónicos). Es decir, las vibraciones de una cuerda fija en sus dos extremos, están cuantizadas. Esto, es una consecuencia perfectamente natural, del hecho de ambos extremos de la cuerda estén fijos. Por cierto el fijar los extremos de la cuerda constituye lo que llamamos condición a la frontera de la ecuación de onda que describe las notas. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 10 La ecuación de onda empleada para describir el comportamiento de los electrones en un átomo, requiere de manera similar, la imposición de ciertas condiciones a la frontera perfectamente naturales. Esta ecuación de onda que ha causado problemas a muchas generaciones de estudiantes, y seguramente continuará haciéndolo, pero en nuestro curso no las vamos a resolver las matemáticas asociadas a esta ecuación. Sin embargo, los resultados obtenidos es decir, las soluciones de esta ecuación de onda, si los examinaremos ahora. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 11 4

5 En muchos casos, no es posible resolver la ecuación de Schrödinger analíticamente de manera exacta. Sin embargo si puede resolverse así para el caso del átomo de hidrógeno. Esta ecuación diferencial tiene esta forma:! Ψ + 8π m e ( E V )Ψ = 0 h Y tiene más de una solución, de hecho tiene muchas soluciones, y estas son las que introducen la cuantización. Esto es debido a las condiciones a la frontera impuestas. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 1 En esta ecuación, el primer término puede expresarse explícitamente así: ψ = ψ! x + ψ y + ψ z Y corresponde a la energía cinética del electrón. En tanto que V se refiere a la energía potencial del sistema y puede expresarse así: Ze V = 4πε 0 x + y + z 1 ( ) 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 13 Entonces la ecuación de Schrödinger queda así: h Ze 8π m e 4πε 0 x + y + z 1 ( ) Esta forma de la ecuación es muy difícil de manejar y no se puede resolver fácilmente. Ahora bien, dado que se puede considerar que los átomos son esféricamente simétricos. Y dado que, una esfera en coordenadas cartesianas tiene esta ecuación: x + y + z = cte. En tanto que, en coordenadas esféricas polares una esfera tiene esta ecuación: r = cte. Es por ello que es costumbre expresarla mediante coordenadas polares esféricas. Ψ( x, y,z) = EΨ( x, y,z) 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 14 5

6 El átomo de Hidrógeno El hidrógeno es el elemento más simple que existe, pues consta de únicamente de un protón en el núcleo y un electrón alrededor en algún lado. M>>>m m, -e r M, +e El núcleo está fijo en el centro y el que se mueve es el electrón, o sea vamos a obtener una función de onda monoelectrónica. Se dice que un átomo es hidrogenoide cuando solamente tiene un electrón sin importar su carga. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 15 De esta manera se puede resolver y esto se debe a la simetría del sistema. Otro sistema que tiene aproximadamente esta simetría es el lugar donde ustedes viven: La tierra, en donde para localizar cualquier punto alrededor del planeta, es necesario contar con tres cantidades: Latitud Longitud Altura sobre el nivel del mar 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 16 Transformación de coordenadas cartesianas a polares: Se lleva a cabo empleando Z estas transformaciones trigonométricas x = rsenθ cosφ y = rsenθ senφ z = rcosθ X 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 17 θ! x, y, z r, θ,! r Y 6

7 Comparación de las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares o esféricas: Coordenadas cartesianas o rectangulares: Hay tres distancias y sus límites son: - x - y - z Coordenadas esféricas polares o simplemente polares: En este caso hay ángulos y una distancia y sus límites son: 0 r 0 f p 0 q p 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 18 Así pues, cuando se aplica el Hamiltoniano a una función de onda, se obtiene la misma función de onda multiplicada por un valor E, que corresponde a la energía de la partícula definida por el propio Hamiltoniano. Es muy importante destacar la ausencia de significado físico de la función de onda Ψ. Sin embargo, el cuadrado de esta misma función si tiene significado físico. Y es proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en un volumen infinitesimal del espacio. Recordarán que esto se conoce como la interpretación de Born. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 19 que representa a este sistema es la siguiente: Ψ x + Ψ y + Ψ z + 8π m E + e h Ψ = 0 r! Pues la energía potencial entre el núcleo y el electrón es:! V = e r Al ser este un sistema con simetría esférica, es mejor utilizar coordenadas polares. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 0 7

8 Pero, ya que la simetría de nuestro problema es esférica, la función de onda depende entonces de r, q y f: Ψ(r, q, f) Ahora primero que nada, escribiremos la ecuación de onda en coordenadas polares. Para ello debemos determinar cómo son los operadores que necesitamos para construir el Hamiltoniano: H! Ψ( r,θ,φ) = EΨ( r,θ,φ) El operador de energía potencial, para el hidrógeno solo depende de r, porque es central y es: V = e Y para un átomo hidrogenoide es: V = Ze r 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 1 r Solo nos falta un operador laplaciano ( ) en coordenadas esféricas polares. Para ello debemos convertir esta expresión que está en coordenadas cartesianas: = x + y + z A esta en coordenadas polares: = 1 r r r r + 1 r senθ θ senθ θ + 1 r sen θ φ Para poderlo aplicar a la función de onda así: 1 r r r r + 1 r senθ θ senθ θ + 1 r sen θ φ + m e! +V Ψ r,θ,φ ( ) = EΨ ( r,θ,φ ) 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA Al sustituir el potencial obtenemos: 1 r r r r + 1 r senθ θ senθ θ + 1 r sen θ φ + m e! Ze Ψ r,θ,φ r ( ) = EΨ( r,θ,φ) Y listo, ya tenemos la ecuación lista para resolverse. Lo único que hemos de hacer ahora es resolverla ;-) La solución de esta ecuación puede presentarse en términos de tres funciones así: Ψ( r,θ,φ) = R( r) Θ( θ ) Φ( φ)! Ya que en este caso es posible separar las variables. Aquí R(r) representa la dependencia de Ψ respecto a la distancia al núcleo, en tanto que, Θ(θ) y Φ(φ) la dependencia angular de Ψ 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 3 8

9 La función Ψ(r, q, f) para un solo electrón se llama orbital atómico. Y es una función que representa la amplitud de la onda asociada al electrón en el espacio. Aunque en realidad lo que nos interesa, no es la función de onda sino su cuadrado. Pues el cuadrado de las funciones, respecto a la distancia al núcleo, muestra el comportamiento de la densidad electrónica Evidentemente si quiero obtener el cuadrado de una función, antes que nada debo obtener la función. Entonces, al resolver la ecuación de Schrödinger obtenemos un conjunto de funciones (eigenfunciones) a las cuales llamamos orbitales, que dependen de tres números cuánticos: n, l y m l. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 4 Cada función tiene asociado un valor (eigenvalor) de energía Los valores de energía permitidos para el electrón dependen exclusivamente de n y tienen esta ecuación: E n = me 4 1 8ε 0 h n = 13.6 ev n! n Para el átomo de hidrógeno y E n = Zme 4 1 8ε 0 h n = Z 13.6 ev n! n Para cualquier átomo hidrogenoide. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 5 O lo que es lo mismo en ev:! E = 13.6 n Esta dependencia de la energía con 1/n origina que una convergencia muy rápida de los niveles de energía para valores de n grandes. A pesar de ello, el nivel de energía igual a cero se presenta para cuando n es igual a infinito. Esta situación corresponde cuando el núcleo ha perdido el electrón es decir el átomo se ha ionizado. Después de este nivel (ante la ausencia de interacción con el núcleo) el electrón podrá vagar libremente 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 6 9

10 Las soluciones, son una familia de funciones que para especificarse requieren de los tres números cuánticos. Este conjunto de enteros especifican cada situación particular. Etiqueta n l m l Descripción Número cuántico principal: energía del orbital. Puede tomar cualquier entero positivo de 1 a Número cuántico azimutal: forma del orbital. Para cada valor de n, l puede valer desde 0 a n 1 Número cuántico magnético: orientación del orbital. Para cada valor de l, m l puede valer desde l a +l 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 7 Cada número cuántico corresponde a una propiedad que está cuantizada en el electrón, es decir, que sólo pueden presentarse con determinados valores: n define la energía, l el momento angular orbital y m l la orientación del momento angular. Cada solución corresponde a un nivel energético y cada uno de los niveles energéticos del hidrógeno se puede predecir correctamente por las soluciones de la ecuación. n es un entero que puede tomar los valores 1,,3,4 etc. l puede valer números enteros desde 0 hasta n 1. m puede valer números enteros desde l hasta +l 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 8 La aplicación de estas reglas nos permite construir una tabla de niveles energéticos. Así, solamente hay un orbital para n=1, cuatro para n= y nueve para n=3. Cada conjunto de orbitales con la misma n se le llama capa. A cada conjunto de orbitales de la misma capa con la misma l se llama subcapa. De manera que hay un solo orbital en cada subcapa con l=0, tres en la subcapa con l=1 y cinco en la subcapa con l=. 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 10

11 Cada combinación de los números cuánticos n, l y m l describe una solución de la ecuación de onda. La solución más simple es aquella en la que n = 1, l = 0 y m l = 0, Ψ (1,0,0), y describe al electrón en el átomo en su estado basal (de menor energía). Cada una de estas funciones de onda para el átomo de hidrógeno corresponde a un orbital atómico. En un átomo de hidrógeno todos los orbitales que tienen el mismo valor del número cuántico principal n tienen asociado el mismo valor de la energía y se dice que son orbitales degenerados. El número cuántico principal entonces definirá una serie de capas del átomo, cada capa constituida por un conjunto de orbitales con el mismo valor de n y por tanto de la misma energía. Los orbitales de cada capa se clasifican a su vez en subcapas las cuales se distinguen por el valor de su número cuántico l. Así, la capa n = 1 sólo tiene una subcapa con l = 0; la capa n =, posee dos subcapas, una con l = 0 y otra con l = 1; la capa n = 3 posee tres subcapas (l = 0, l = 1 y l = ) y así sucesivamente. Los nombres de los orbitales proceden de las etiquetas que tenían las líneas del espectro del hidrógeno. Pero se nombran empleando los números cuánticos. La primera parte es el número cuántico principal, y la segunda está definida por el número cuántico azimutal. Así los orbitales con l=0 se les llama s (sharp) con l=1 se les llama p (principal) con l= se les llama d (diffuse) con l=3 se les llama f (fundamental) con l=4 se les llama g (y no tiene nombre), etc El valor del número cuántico principal n se antepone a la letra correspondiente 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 30 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 31 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 3 11

12 Gráfica de niveles energéticos del átomo de hidrógeno 0 3s 3p 3p 3p 3d 3d 3d 3d 3d D=9 E s p p p D=4 1s D=1 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 33 7/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 34 1