UNIVERSIDAD SANTO TOMAS SECCIONAL BUCARAMANGA. División de Ingenierías - Facultad de Química Ambiental

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1 UNIVERSIDAD SANTO TOMAS SECCIONAL BUCARAMANGA División de Ingeniería Facultad de Química Ambiental Nombre de Asignatura: QUÍMICA CUÁNTICA Àrea: Básicas de Química Fisicoquímica Créditos: 3 Modalidad: Teórica Semestre: VII Hrs. Sem. Pres.: 3 Hrs. Sem. Ind.: 6 Requisitos de Plan de Estudios: Fisicoquímica II Justificación De los dos métodos, el microscópico y macroscópico empleados por la Química Física para la resolución de los problemas, en esta asignatura se aborda fundamentalmente el estudio microscópico. Se desarrollan los principios de la Mecánica Cuántica y a partir de ellos se estudian el átomo y la molécula. A continuación se aborda el estudio de la Termodínamica Estadística, nexo de unión entre el mundo microscópico y macroscópico. Por último, se estudia la cinética química. Hoy, algunos aspectos de la química cuántica como lo son el Diseño Molecular y las Relaciones Cuantitativas Estructura-Propiedad, son de gran importancia para predecir el comportamiento fisicoquímico o toxicológico de moléculas con base en la estructura. Esta es otra área donde se puede involucrar el profesional químico ambiental. Objetivo General Ampliación de los conocimientos que el estudiante tiene de mecánica Página 1 de 8

2 cuántica. Profundización y fundamentación de la enseñanza ya recibida sobre el tratamiento cuántico del comportamiento de los electrones. Preparación del alumno para el mejor aprovechamiento de las enseñanzas que recibirá en el campo de la Química Cuántica. Objetivos Específicos Interpretar la teoría probabilística de la función de onda y como consecuencia de ello sus implicaciones matemáticas: propiedades de buen comportamiento y postulados, aplicaciones para resolver problemas simples incluido el átomo de hidrógeno. Aplicar el método de perturbaciones para calcular los estados energéticos: fundamental, degenerado y excitado del helio, hallando las funciones de los estados energéticos correspondientes. Explicar el tratamiento matemático, con los operadores cuánticos, por el cual se demuestra que en el micro mundo la proyección de un vector es cuantizado y se realiza sobre un solo eje de coordenadas. Estudiar el fundamento teórico de los métodos en Química Cuántica y sus aplicaciones, para predecir propiedades moleculares a través de cálculos mecanocuánticos basados en las Teorías del Orbital Molecular. Introducir al estudiante en situaciones prácticas donde las técnicas de la Química Cuántica pueden dar respuestas útiles. Implementar los modelos teóricos como una herramienta de Página 2 de 8

3 optimización de la geometría de un sistema molecular y de los cálculos de las propiedades moleculares: calores de formación, parámetos de activación y demás, en los laboratorios de investigación experimental para lograr una mejor comprensión y diseño en sus reacciones químicas. Contenido Temático 1. Preliminares 1.1 Límites de la teoría electromagnética. Cuerpo negro. Efecto fotoeléctrico. Naturaleza corpuscular de la luz Colisiones de electrones y fotones. Efecto Compton. Fotones e interacción electromagnética. Rayos X. Creación y aniquilación de pares e + e -. Unidades. 2. Operadores y Matrices 2.1. Matrices complejas. Espacios vectoriales y números complejos. Producto escalar. Bases. Matrices y transformaciones. Producto de matrices y conmutadores. Matrices hermíticas y unitarias. Cambios de base Diagonalización. Problema de autovalores. Autoestados. Degeneración. Bases de autoestados. Espacios de dimensión infimita. Operadores sobre funciones Análisis de Fourier. Producto escalar de funciones. Funciones ortonormales. Desarrollo de Forurier para funciones periódicas. Integral de Fourier. Función δ de Dirac. Funciones ortonormalizadas con la función δ. 3. Ondas de Materia Página 3 de 8

4 3.1. Dualidad onda corpúsculo. Energía y momento del fotón y frecuencia de las ondas electromagnéticas. Hipótesis de de Broglie; longitud de onda asociada a las partículas. Difracción de electrones Superposición de ondas. Velocidad de la partícula y velocidad de fase. Expresión compleja de la superposición de las dos ondas Paquete de ondas. Superposición de infinitas ondas en el instante inicial. Evolución temporal del paquete. Relación de dispersión. Velocidad de fase y de grupo para el paquete Principio de indeterminación de Heisenberg. Indeterminación posición momento. Experimento de difracción de Fraunhofer. Poder de resolución de un microscopio. Trayectoria en el espacio de las fases. Indeterminación tiempo-energía. Vida media de los estados estacionarios Interpretación de la función de onda. Localización de la partícula. Densidad de probabilidad. Normalización y funciones de cuadro sumable. Corriente de probabilidad y ecuación de continuidad. 4. Ecuación de Schrödinger 4.1. Ecuación de Schrödinger. Requisitos de la ecuación de ondas. Operadores de momento y energía para las ondas planas. Ecuación de onda para la particular libre. Potencial arbitrario. Generalización a tres dimensiones Valores de expectación. Valor medio de las coordenadas. Valor medio de las funciones de las coordenadas. Valor medio del momento. Valor medio de funciones de las coordenadas y momentos Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Soluciones estacionarias. Separación de variables. Constante de separación y energía. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y autovalores del operador energía. Página 4 de 8

5 5. Ecuación de Schrödinger 5.1. Formalismo de la mecánica cuántica. Principio de correspondencia y definición de los operadores cuánticos. Ecuaciones de autovalores. Observables y operadores hermíticos. Medida de un observable y ecuación de valores propios. Probabilidad de obtener un autovalor y valor medio del observable. Evolución temporal del sistema físico y ecuación de Schrödinger. Función de onda para un sistema de partículas. Propiedades de paridad Relaciones de incertidumbre. Observables compatibles. Enunciado estricto de la incertidumbre en la medida de un observable. Deducción de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg Paquete de ondas de Heisenberg. Integrales gaussianas. Paquete de ondas gaussiano en el instante inicial. Normalización del paquete. Valores esperados de la posición y el momento y relaciones de incertidumbre. Evolución temporal del paquete. 6. Sistemas simples 6.1. Escalón de potencial unidimensional. Energía inferior a la barrera. Zonas clásicamente prohibidas. Condiciones de continuidad y comportamiento en el infinito. Flujo de partículas incidentes y reflejadas. Energía superior a la barrera. Coeficientes de transmisión y de reflexión Pozo cuadrado de potencial unidimensional. Soluciones de la ecuación de Schrödinger. Paridad de las soluciones. Condiciones de continuidad. Cuantificación de la energía. Obtención gráfica de los valores de la energía. Comportamiento de las funciones de onda Pozo de potencial infinito. Soluciones de la ecuación de Schrödinger. Expresión de la energía cuantificada. Generalización a tres dimensiones. Degeneración de la energía. Página 5 de 8

6 6.4. Propiedades generales de las soluciones. Comportamiento oscilatorio. Decrecimiento exponencial. Efecto túnel. Concavidad y convexidad de la función de onda. Valores de la energía Oscilador armónico. Soluciones asintóticas. Soluciones por medio de polinomios. Valores de la energía. Polinomios de Hermite. Normalización de los polinomios. Función generatriz. Relaciones de recurrencia. Estados de ocupación. Operadores de creación y aniquilación. 7. Fuerzas centrales 7.1. Sistema de dos cuerpos. Coordenadas en centro de masa. Masa reducida. Estados estacionarios. Separación de la ecuación de Schrödinger. Movimiento del centro de masa y movimiento relativo Potenciales centrales. Coordenadas polares. Separación de la ecuación de Schrödinger en partes angular y radial. Solución de la parte angular. Polinomios de Legendre y funciones asociadas. Funciones generatrices y relaciones de recurrencia Momento angular. Armónicos esféricos. Normalización. Propiedades de la paridad. Momento angular orbital. Operadores de momento angular. Relaciones de conmutación. Expresión en coordenadas polares. Autofunciones de los operadores del momento angular Rotor rígido. Definición. Ecuación de Schrödinger. Autofunciones. Valores de la energía Ecuación radial. Potencial de Coulomb para átomos hidrogenoides. Soluciones asintóticas. Soluciones exactas y niveles de energía. Polinomios de Laguerre y polinomios asociados. Funciones generatrices y relaciones de recurrencia. Soluciones asintóticas. Soluciones por medio de polinomios. Valores de la energía. Polinomios de Hermite. Normalización de los polinomios. Función generatriz. Relaciones de recurrencia. Estados de Página 6 de 8

7 ocupación. Operadores de creación y aniquilación Funciones de onda del electrón de un átomo. Expresión de las funciones de onda normalizadas. Degeneración de la energía. Degeneración accidental para el potencial de Coulomb. Densidad de probabilidad radial. Radio medio y radio Bohr. Dependencia angular de la densidad de probabilidad. Diagramas polares. Orbitales. Corrientes en el átomo hidrogenoide. Comparación con el modelo de Bohr. 8. Momento angular intrínseco 8.1. Spin del electrón. Experimento de Stern-Gerlach. Operadores de espín y matrices de Pauli Momento angular total. Composición de momentos angulares. Momento angular total del electrón. Función de onda total. Propiedades de simetría. 9. Métodos aproximados 9.1. Método variacional. Determinación aproximada de la energía del estado fundamental. Aplicación al hidrógeno. Determinación de la energía para estados excitados Perturbaciones independientes del tiempo. Caso no degenerado. Primer orden en la perturbación. Órdenes sucesivos. Caso degenerado Aplicaciones. Oscilador armónico. Estructura fina del átomo de hidrógeno. Estado fundamental del helio Perturbaciones dependientes del tiempo. Perturbación instantánea. Perturbación periódica. 10. Interacción entre materia y radiación Página 7 de 8

8 10.1. Teoría clásica de la radiación. Ecuaciones de Maxwel. Invariancia de Gauge. Campo de radiación Cuantificación. Cuantificación del campo de la radiación y relación con el oscilador armónico. Coeficientes de Einstein. Teoría semiclásica de la radiación. Reglas de selección. 11. Sistemas con muchos electrones Partículas idénticas. Fermiones y bosones. Simetría de la función de onda. Principio de exclusión e Pauli Aproximación al campo central. Modelo de Thomas-Fermi. Método de Hartree-Fock y campo autoconsistente. Correcciones al campo central. Acoplamiento LS. Acoplamiento jj. 12. Introducción a sistemas moleculares Separación de Born-Oppenheimer. Rotación y vibración de moléculas diatómicas. Página 8 de 8