Métodos Matemáticos en Física III

Transcripción

1 III Examen Parcial Oct.27 /2014 FORMULACION MATEMATICA Cond. Contorno CC1-3 ; CC para solución en infinito Ec. Diff-Deriv. Par Ec.Ondas, Laplace, Poisson, Ec. Difusion Problemas ESTACIONARIOS o No estacionarios PROCESOS Físicos En 1D / 2D Ondas en solidos, gases o liquidos, Conduccion de calor, Electroestatica 1

2 APL: 6.1 Oscilaciones transversales de una membrana rectangular (BORDES FIJOS) 1 Escojamos el sistema de coordenadas de tal manera que la membrana se encuentre en el cuadrante positivo con uno de sus vértices en el origen. 2

3 Ondas estacionarias Es razonable pensar que, de entre todo el conjunto de movimientos permitidos, existan algunos de ellos en los que se conserve un determinado perfil de desplazamientos Sustituimos en Ec. 1 =- 3

4 Tenemos que resolver 2 ecuaciones 2 3 Para que cumplan CC, necesitamos que: 4

5 Como contorno es perpendicular, podemos buscar auto funciones como 4 Para que cumplan CC anteriores, necesitamos que: 5

6 d d d d [ XY ] [ XY ] Y [ X ] X [ Y ] dx dy dx dy = > XY XY d 1 d 2 2 [ X] [ Y] => Xdx Ydy 6

7 Sustituyendo (4): v(x,y)=x*y en Ec.3 obtenemos: donde 7

8 Autofunciones y autovalores ya hemos calculado antes: 8

9 Entonces: con NOTA: se suman de cuadrados de frecuencias Para obtener cuadrado de frec. angular total Ortoganalidad de autofunciones v nm 9

10 Para cada nm tenemos ecuación Con solución general ( autovalores son positivos) 10

11 Frecuencia mas baja Tiene perfil 11

12 Autovalores degenerados: ejemplo de membrana cuadrada El perfil de desplazamientos asociado 12

13 Movimiento de la membrana como superposición de ondas estacionarias Suponemos Cond. Iniciales 13

14 Usando CI Multiplicando por Y integrando entre 0 L x ;L y 14

15 o 15

16 Analógicamente, de segunda CI (error en el libro APL) 1/ nm 16

17 CLASE (1p): Membrana con bordes: 2 libres + 2 fijos Autovalores+Autofuncones de problema SL b Fijo y Fijo libre libre a x 2 utt c u Fijo izquierdo: u(0,y)=0 LIBRE derecho: u (a,y)=0 LIBRE abajo u (x,0)=0 Fijo arriba : u(x,b)=0 y x 2 Problemas SL con CC 17

18 CLASE: Membrana con bordes: 2 libres + 2 fijos b Fijo y Fijo libre libre a Problema SL (x) x u T() t v( x, y) v v v XY 2 Xxx X 0 Fijo izquierdo: u(0,y)=0 => X(0)=0 LIBRE derecho: u x (a,y)=0 => X(a) x = 0 => X(x)=Sen[ n (2n 1)] x 2a 2 2 [ (2n 1)] 18 2a

19 CLASE: Membrana con bordes: 2 libres + 2 fijos b Fijo y Fijo libre libre a x v v v 2 2 Y yy XY 2 Y 0 LIBRE abajo u (x,0)=0 = > Y(0)=0 y Fijo arriba : u(x,b)=0 => Y(b)=0 y Problema SL (x) Ym (x)=cos[ (2m 1) y] 2b 19

20 b Fijo y Fijo libre libre a x Autovalores y autofunciones de problema SL: nm, [ (2n 1)] [ (2m 1)] 2a 2b 2 2 vnm( x, y) Sen[ (2n 1) x]*cos[ (2m 1) y] 2a 2b 20

21 Membrana con TODOS bordes libres Problema SL con CC 21

22 Auto función que corresponde a autovalor CERO analógicamente con procedimiento anterior Encontramos la frecuencia mas baja Perfil correspondiente: 22

23 La frecuencia principal de una membrana cuadrada cuyos extremos se pueden desplazar libremente se encuentra doblemente degenerada. Con A,B arbitrarias 23

24 Metodo de Separación de Variables para resolver Ec. Fourier en 2D (Libro Asmar) a b 24

25 Aplicamos método de separación de variables 25

26 Aplicamos método de separación de variables = - 2 CC para variable espacial 26

27 Suma de funciones de variables independientes puede ser CONST solo que cada de estas funciones es CONST 27

28 Aplicamos método de separación de variables 28

29 Aplicamos método de separación de variables 29

30 30

31 Ec. diferencial para variable temporal 31

32 SOLUCION GENERAL 32

33 Hallamos coeficientes de CI Multiplicando por Y integrando de 0 a 33

34 como 34

35 Multiplicando por Y integrando de 0 b 35

36 Entonces 36