Elementos de una matriz.

Transcripción

1 Matrices.

2 Elementos de una matriz. Renglón. Columnas. A=[a ij ] A-Nombre de la matriz. a-número. i-renglón. j-columna. i j-orden de la matriz.

3 Ejercicio. Indica el orden de la matriz. Indica el valor de los elementos. a 21= a 22= a 33= a 43= a 34= a 13=

4 Diagonal Principal. La matriz tiene que ser cuadrada. En ella se encuentran: Diagonal principal. a 11 a 22 a 33 a nn

5 Tipos de matrices.

6 Matriz cuadrada. 2 2 De orden De orden 3 Tiene el mismo número de renglones y columnas. i=j=n

7 Matriz renglón. De orden 1 4 Solo hay filas. Matriz de orden 1 n.

8 Matriz columna. B= De orden 3 1 Solo hay columnas. Matriz de orden n 1

9 Matriz escalar. A=[3] A=3 De orden 1 1 De orden 1 1 Solo es un número. Se quitan corchetes.

10 Matriz cero. Todos los elemntos son cero.

11 Matriz diagonal. Matriz cuadrada. De orden "n". Diagonal principal es diferente a cero.

12 Matriz identidad. Matriz diagonal. De orden "n". Elementos distintos de cero son 1. Se denota como In # de orden identidad.

13 Matriz triangular superior. A= Matriz cuadrada. De orden "n". i>j Los elementos son cero abajo de la diagonal principal.

14 Matriz triangular inferior. A= Matriz cuadrada. De orden "n". i<j Los elementos son cero arriba de la diagonal principal.

15 Matriz simétrica. Matriz cuadrada. De orden "n". Los elementos a ij =a ji.

16 Matrices iguales. Son iguales. Tienen el mismo orden. Sus elementos son iguales.

17 Determina los siguientes valores. Ejercicios.

18 Operaciones con matrices.

19 Multiplicación o división por un escalar. Normal: A=[a ij ] Multiplicado por un escalar (x): xa=[xa ij ] Dividiendo por un escalar (x): A/2=[a ij /2] Cada elemento de la matriz se multiplica o divide por el escalar. Escalar.

20 Ejercicios. Determina. 5A= B/2= -C=

21 Suma o resta. Solo pueden sumarse o restarse si tienen el mismo orden. Se hace sumando o restando los elementos correspondientes.

22 Ejercicios. A+B= A-B= 2A-B/2=

23 Ecuaciones.

24 Multiplicación de matrices. El número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de renglones de la matriz B. A B=C A=[a ij ] de orden m n B=[b ij ] de orden n p C=[c ij ] de orden m p

25 Ejercicios. A³= B²= AB=

26 Ecuaciones de 2 o más variables. Forma normal. 2x+3y=7 3x-y=5 Con matrices. 11x=22 X=22/11 X=2 3(2)-y=5 y=1 Se obtiene buscando convertir esa matriz a matriz identidad.

27 Método de Gauss-Jordan. 1.-Tomas la primera columna. 2.-Buscas convertir el uno. Tienes dividir todo el renglón entre el número que deseas convertir en uno. 3.-Buscas convertir los ceros Tienes que multiplicar el renglón en donde ya hay un uno por el número que quieres convertir en cero cambiándole el signo y se lo sumas a todo el renglón en donde está el cero. 4.-Tomas la segunda columna 5.-Buscas convertir el uno 6.-Buscas convertir los ceros 7.-Sigues hasta acabar con la matriz y convertirla en identidad. R1 2 R1(-3)+R2 R2(-11/2) R2(-3/2)+R1 Matriz identidad: X Y

28 Ejercicios. p-q+r-s=3 p+q+r+s+5=0 p-3q=r+s+9 1+p+q-r+s=0 Si da: Infinito de puntos. No tiene solución.

29 Matriz inversa. Al multiplicarla la matriz original por la matriz identidad se crea la inversa. R1(-2)+R2 R2 7

30 Ejercicios.

31 Determinante de una matriz.

32 2 2. Este método solo sirve para matrices de orden 2

33 Método de Sarrus. 1.-Copia los dos primeros renglones abajo. 2.-Se empieza desde la diagonal principal. 3.-Hasta acabar con las diagonales. 4.-Y luego de derecha a izquierda hasta acabar con las diagonales = -329 (6)(-4)(7)= -168 (-3)(5)(-6)= 90 (2)(1)(8)= 16 (-6)(-4)(2)= 48 (8)(5)(6)= 240 (7)(1)(-3)= -21 = -62 = 267

34 Método de cofactores. Tomas el primer renglón y el primer numero de la columna. Dejas un determinante vacío. Primer renglón segunda columna ( pones el signo que le toca ). Determinante vacía. Eliminando el primer renglón y el numero en donde lo tomas y copias la matriz en la determinante vacía. Resuelves

35 Ejercicios.

36 Solución de ecuaciones. Utilizando determinantes.

37 Regla de Cramer. Para resolver el siguiente sistema 6x-y=-2-3x+2y=7 Se crea una matriz con los coeficientes de las variables ordenadas 6-1 A= -3 2 Y se obtiene el determinante A = 12-3=9 Se crean tantas matrices adicionales como variables vaya sustituyendo las columnas de la variable correspondiente por los términos independientes -2-1 Ax = 7 2 Variable x y columna x sustituidas Se obtiene el determinante Ax = -4+7 = 3

38 6-2 Ay = -3 7 Ay = 42-6= 36 Se dividen los determinantes de la siguiente forma para obtener el valor de las variables Ax Ay X= A y= A X= 9 = 3 y= 9 = 9 Comprobación = (4) =7

39 A través de la matriz inversa 6x y = -2-3x + 2y = x y 7 A X = C A-1 Ax = A-1C Ix = A-1C x = A-1C R1 6 A= /6 1/ /2 1/2 1 R2 (2/3) 1-1/6 1/ R1(3)+R2 1-1/6 1/6 0 R2(1/6)+R /3 2/ /9 1/ /3 2/3

40 Matriz inversa a través de la matriz adjunta y el determinante 1 A-1 = A adj A adj A = Ac t matriz transpuesta Matriz adjunta matriz de cofactores

41 Obtenga B-1 Usando la adjunta y B 2 1 B = B-1= bc11 = +(2) B = 8 bc12 = -(1) bc13 = -(4) bc22 = +(6) + - Bc = adj B= cambias Bc = -1 2

42 Obtenga las matrices inversas usando adjuntas y determinantes -3 2 C= 9-6 C = D= D = 0