Pozos y Barreras en Mecánica Cuántica: Retraso
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- Andrés Figueroa Castro
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1 Pozos y Barreras en Mecánica Cuántica: Retraso Temporal Alfonso Isaac Jaimes Nájera Cinvestav 10 de diciembre de 2012 Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
2 Introducción Estudiaremos la dinámica de una partícula en un proceso de dispersión unidimensional en Mecánica Cuántica. Un proceso de dispersión es aquél en el cual una partícula incide con una cierta energía sobre un dispersor que se modela como un potencial de corto alcance. Para esto usamos la ecuación de Schrödinger, la cual gobierna la dinámica de las partículas. Ésta dicta la evolución temporal del estado i de un sistema físico. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
3 Introducción Analizaremos la dinámica de una partícula por medio de la función de onda hx i = (x, t), Ecuación de Schrödinger! (x, t) (1) Condiciones de frontera: continuidad de la función de onda y de su derivada. Que sea acotada. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
4 La ecuación de Schrödinger para este caso está dada por ~ 2 2 (x, t)+v (x) (x, (x, t) (2) Proponemos llevar a cabo la separación de variables en la sig. forma y sustituyendo en la ec. (2) obtenemos para f (x, t) = (x)f (t) (3) cuya solución (t) i~ = Ef(t), f (t) =e iet/~. (5) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
5 Mientras que para obtenemos la siguiente ecuación ~ 2 (x)+v(x) (x) =E (x), (6) 2 que se conoce como la ecuación estacionaria de Schrödinger. Si el estado de un sistema está descrito por la función de onda (x, t) = (x)e iet/~, (7) el estado es estacionario. En Mecánica Cuántica se deriva una ecuación de (x, t) + donde (x, t) = (x, t) 2, j(x, t) = (9) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
6 Estudiaremos la dispersión de partículas con potenciales rectangulares Se siguen exigiendo las condiciones a la frontera Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
7 El potencial escalón Consideremos una partícula incidiendo por la izquierda. Debemos resolver ~ 2 d 2 (x)+v(x) (x) =E (x) (10) 2m dx2 Notemos que existen dos casos: E < V 0, E V 0. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
8 Caso E < V 0 : Dividimos el espacio en dos regiones 00 + k 2 =0 para x apple 0, (11) 00 q 2 =0 para x > 0, (12) donde k 2 = 2mE ~ 2, q2 = 2m ~ 2 (V 0 E), (13) cuyas soluciones son 8 < Ae ikx + Be ikx, x apple 0 (x) = (14) : Ce qx + De qx, x > 0 donde D = 0, la condición de frontera impide su existencia. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
9 Analicemos las soluciones un momento. j e ikx = ~k m A 2, j e ikx = ~k m B 2, j e qx =0. (15) e ikx! E (16) e ikx E (17) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
10 Apliquemos las condiciones de frontera (x) x=0 = (x) x=0 + ) A + B = C, (18) obtenemos d (x) dx x=0 = d (x) dx x=0 + ) ika ikb = qc. (19) = A(e ikx + ik + q ik q e ikx ), x apple 0, (20) = A 2ik ik q e qx, x > 0, (21) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
11 El flujo de partículas resulta nulo, tanto en x apple 0 como en x > 0. Por tanto todas las partículas son reflejadas Figura: La función 2 para A = 1, V 0 =1yE =0,75. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
12 Caso E > V 0 : Las soluciones a la ecuación estacionaria son donde k 2 = 2mE ~ 2, k 2 1 = 2m ~ 2 (E V 0 ), = Ae ikx + Be ikx, x apple 0, (22) = Ce ik 1x + De ik 1x, x > 0, (23) donde tomamos D = 0. Aplicando las condiciones de continuidad obtenemos = A e ikx + k k 1 e ikx, x apple 0, (24) k + k 1 = A 2k k + k 1 e ik 1x, x > 0. (25) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
13 El flujo para x < 0estádadopor Asímismo para x > 0 j < = ~k m ( A 2 B 2 ). (26) j > = ~k 1 m C 2 (27) Las condiciones de frontera garantizan que el flujo es continuo, entonces j < = j >, obteniendo k A 2 = k B 2 + k C 2 (28) La reflexión es parcial. k A 2 es proporcional al flujo incidente j inc, k B 2 es proporcional al flujo reflejado j r, (29) k 1 C 2 es proporcional al flujo transmitido j t. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
14 Introducimos el coeficiente de reflexión R y el de transmisión T, como sigue R := j r j inc = k B 2 k 2 k A 2 = k1, (30) k + k 1 T := j t j inc = k 1 C 2 k A 2 = 4kk 1 (k + k 1 ) 2. (31) De (28) se sigue que estos coeficientes cumplen la relación R + T =1. (32) R k 2 Figura: Coeficiente de reflexión como función de E/V 0. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
15 Pozo rectangular Analizamos la dispersión de partículas debida a un pozo. Figura: El pozo cuadrado de ancho 2a y profundidad V 0. Primeramente analizamos los estados con E 0. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
16 Dividimos el espacio en tres regiones. En este caso las soluciones son I = A 1 e ikx + B 1 e ikx, x < a, (33) II = A 2 e iq 1x + B 2 e iq 1x, a apple x apple a, (34) III = A 3 e ikx + B 3 e ikx, x > a, (35) con k 2 = 2mE ~ 2 q1 2 = 2m ~ 2 (E + V 0). (36) Donde tomamos B 3 = 0, y aplicando las condiciones a la frontera se obtiene el valor de B 1 (reflejadas) y A 3 (transmitidas). Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
17 Con esto obtenemos los coeficientes de reflexión y transmisión " T = A 2 3 = 1+ 1 # q1 k 2 1 sen 2 (2q 1 a) (37) A 1 4 k q 1 R = B 1 A 1 2 =1 T.CuandoE!1, q1 /k! 1yT! 1. Cuando sen 2q 1 a = 0 tenemos T = 1. T k Figura: Coeficiente de transmisión para a = 2.8, V 0 = 1. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
18 Caso V 0 apple E < 0. Las soluciones son I = A 1 e applex, x < a, (38) II = A 2 e iqx + B 2 e iqx, a apple x apple a, (39) III = B 3 e applex, x > a. (40) donde apple 2 = 2mE ~ 2 = 2m E ~ 2 (41) q 2 = 2m(E + V 0) ~ 2 (42) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
19 Aplicando las condiciones de frontera obtenemos la siguiente ecuación trascendental. apple iq 2 = e 4iqa (43) apple + iq Sólo ciertos valores de E satisfacen esta ecuación: Discretización de energías. T k Figura: Coeficiente de transmisión para a = 2.8, V 0 = 1. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
20 Barrera rectangular Analizamos la dispersión de partículas debida a una barrera cuadrada. Figura: Barrera de potencial de ancho a yalturav 0. Casos: E < V 0, E V 0 Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
21 Caso E < V 0 Las soluciones son I = A 1 e ikx + B 1 e ikx, x < 0, (44) II = A 2 e qx + B 2 e qx, 0 apple x apple a, (45) III = A 3 e ikx, x > a. (46) donde k 2 = 2mE ~ 2, (47) q 2 = 2m(V 0 E) ~ 2 (48) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
22 Aplicando las condiciones de continuidad obtenemos el coeficiente de transmisión y el de reflexión T =1 R = " k q # q 2 1 senh 2 qa k 2 < V 0, (49) k Caso E V 0 Las soluciones son las del caso anterior con el cambio q! iq (50) y obtenemos " T =1 R = 1 1 k 4 q # q 2 1 sen 2 qa k 2 V 0, (51) k Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
23 Con estas funciones tenemos el coeficiente de transmisión para k T k 2 Figura: Coeficiente de transmisión para a = 5, V 0 = 1, como función de k 2. Tunelamiento Cuántico: en la mecánica clásica esperamos reflexión total. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
24 Corrimiento de fase Analicemos la onda transmitida. Escribiendo vemos que A 1 = A 1 e i 1, A 3 = A 3 e i 3 (52) A 3 = A 3 A 1 A 1 e i( 1 3) = p Te i (53) Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente. III = A 1 p Te i(kx ) (54) Reducción de la amplitud de la onda Corrimiento de fase Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
25 Asímismo podemos calcularlo para la onda reflejada. Escribiendo vemos que A 1 = A 1 e i 1, B 1 = B 1 e i 2 (55) B 1 = B 1 A 1 A 1 e i( 1 2) = p Re i (56) Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente. ref = A 1 p Re i(kx+ ) (57) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
26 Paquetes de ondas Los estados que hemos estudiado son estacionarios y no son de cuadrado integrable. Analicemos una situación distinta para la partícula libre: superposición. La ecuación de Schrödinger admite soluciones como (x, t) = Z 1 donde (k) 2 es la distribución de energía. 1 dk (k)e i(kx+!(k)t), (58) A una solución de este tipo se le llama paquete de onda Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
27 Supongamos a (k) muylocalizadaenunintervalo(k 0 b, k 0 + b). Así, (x, t) = Z 1 1 dk (k)e i(k(x x 0)+!t), (59) será un paquete de ondas localizado con energía E 0 = ~ 2 k 2 0 /2m. El centro del paquete se desplaza con una velocidad de grupo v g (k 0 )= d! dk k=k0 =2k 0. (60) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
28 Buscaremos los valores de x y t para los cuales las ondas estén en fase, para tener interferencia constructiva. Reescribimos el paquete en la forma donde inc(x, t) = Z 1 Nos fijamos en aquellas ondas con k k 0. 1 dk (k)e i (k), (61) (k) = k(x x 0 )!(k)t. (62) Queremos que la fase varíe poco alrededor de k 0. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
29 Esto lo pedimos mediante la condición de fase estacionaria: d dk (k) k=k 0 = 0 (63) Con lo que obtenemos la ecuación que determina el centro del paquete d dk (k(x x 0)+!t) = 0 (64) k=k 0 x = x 0 v g t. (65) Para tener mayor claridad, tomemos una distribución de energía en especial. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
30 Paquete Gaussiano Tomemos una distribución Gaussiana (k) = 1 pp b e (k k 0) 2 /(2b 2 ) (66) Con esta distribución obtenemos el módulo cuadrado de la función de onda (x, t) 2 = apple b/~ (b/~) 2 p (1 + b 4 t 2 /m 2 ~ 2 ) exp (x x 0 +2k 0 t) 2 1+b 4 t 2 /m 2 ~ 2. (67) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
31 Dispersión de un paquete de ondas Consideremos un paquete de ondas localizado con energía E 0 = ~ 2 k0 2/2m, incidente por la derecha de la barrera desde x = x 0 en t =0 inc(x, t) = Z 1 1 dk (k)e i(k(x x 0)+!t), (68) donde E = ~! = ~k 2 /2m, y (k) es el coeficiente de Fourier. Las ondas transmitidas se escriben trans = p Te i(kx+ ), (69) entonces escribimos al paquete transmitido como trans(x, t) = Z 1 1 dk (k) p T (k, a)e i(k(x x 0)+!t+ ). (70) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
32 Aplicamos la condición de fase estacionaria al paquete transmitido d dk (k(x x 0)+!t + ) k=k 0 =0. (71) Con esto obtenemos x = x 0 v g k=k0!, (72) mientras que para el paquete libre tenemos x = x 0 v g t. (73) k=k0 > 0! k=k0 < 0! Retraso (75) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
33 Para el paquete reflejado ref (x, t) = Z 1 aplicamos la condición de fase estacionaria 1 dk (k) p R(k, a)e i(k(x+x 0)!t ), (76) d dk (k(x + x 0)!t ) k=k 0 =0. (77) Con esto obtenemos x = x 0 + v g k=k0!. (78) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
34 Derivada del corrimiento de fase Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V 0 = 1. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
35 Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a =8yV 0 = 1. Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
36 Proceso de dispersión completo Analicemos la dispersión de un paquete de ondas en todo el eje real Las soluciones a la ecuación estacionaria para la barrera están dadas por 8 e ikx + p Re i(kx+ ), x < a >< (x) = A 2 e qx + B 2 e qx, a apple x apple a (79) >: p Te i(kx ) x > a La función de onda en todo el eje real está dada por (x, t) = Z 1 0 dk (k) (x)e i(kx 0+!t). (80) Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
37 Muchas Gracias Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
38 Derivada del corrimiento de fase Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V 0 = 1 (rojo). Coeficiente de transmisión para los mismos parámetros (azul). Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
39 Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a =8yV 0 =1 (rojo). Coeficiente de transmisión para los mismos parámetros (azul). Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de / 39
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