8 La interacción entre ondas sísmicas e interfases

Transcripción

1 Sismología 75 8 La interacción entre ondas sísmicas e interfases La aproximación de rayos es una solución válida para la ecuación de ondas cuando la frecuencia es suficientemente alta para que los parámetros elásticos del medio, y la amplitud de la onda, no cambien apreciablemente en una longitud de onda. Esta aproximación es válida en muchas partes de la Tierra, pero hay otras regiones, como las de las fronteras corteza-manto y núcleo-manto, donde existen grandes contrastes en la velocidad. Podemos extender la aproximación de rayos a medios que contienen fuertes contrastes en velocidad, considerando las dos regiones alrededor de la interfase separadamente e igualando las condiciones de borde en la interfase donde las propiedades elásticas se cambian. Conceptos importantes La continuidad del desplazamiento en una interfase entre dos medios sólidos nos da una ley general de Snell, que incluye las conversiones entre los tipos de onda. La continuidad de las tracciones y del desplazamiento en una interfase entre dos medios sólidos nos da coeficientes de reflexión y transmisión que describen la partición de energía en la interfase (de la onda incidente a las ondas reflectadas y transmitidas). Cuando la velocidad aparente en la interfase es menor que la velocidad del medio, la amplitud de la onda transmitida decae exponencialmente con la distancia de la interfase. 8.1 La ley general de Snell para una interfase interna La ecuación de ondas elásticas se aplica en un medio homogéneo. Para el caso de dos semi espacios homogéneos adheridos necesitamos usar condiciones de borde en el desplazamiento y las tracciones para igualar los movimientos y las fuerzas a través de la interfase entre los dos medios. Fig 85: Frentes de ondas y rayos incidentes en una interfase entre dos medios homogéneos. Si tenemos una onda P propagándose en el medio 1 incidente en la interfase, generaráunaondap reflectadaenelmedio1yunaondap refractadaenelmedio

2 Sismología 76 2 (ver la Figura 85). Sin embargo, estas tres ondas no cumplen las condiciones de borde entre ellas y por eso ocurre la generación de las ondas SV en ambos medios. Las potenciales P y SV son φ Ae i(ωt kα 1 x 1±k α3 x 3 ) y ψ Be i(ωt k β 1 x 1 ±k β3 x 3 ) (8.1) Las componentes de los vectores de los números de onda satisfacen k α 2 k 2 α 1 +k 2 α 3 ω2 α 2 y k β 2 k 2 β 1 +k 2 β 3 ω2 β 2 (8.2) y las direcciones del vector del número de onda, en términos de los ángulos de incidencia, son sini k α1 (k 2 α 1 +k 2 α 3 ) 1/2 k α 1 k α y sinj k β1 (k 2 β 1 +k 2 β 3 ) 1/2 k β 1 k β (8.3) donde i y j son los ángulos de incidencia de la onda P y la onda SV respectivamente. De la Figura 85, c v/sini ω/k 1 es la velocidad aparente, la velocidad en que la onda plana parece viajar a lo largo de la interfase. La velocidad aparente es siempre igual a, o mayor que, la velocidad del medio v. Finalmente, definimos la tasa entre los números de onda horizontal y vertical: r α k ( ) α 3 c 2 1/2 k α1 α 2 1 y r β k ( ) β 3 c 2 1/2 k β1 β 2 1 (8.4) Usando (8.4), los potenciales son φ Ae i(ωt kα 1 x 1±k α1 r αx 3 ) y ψ Be i(ωt k β 1 x 1 ±k β1 r β x 3 ) (8.5) En la interfase (x 3 0) el argumento de la exponencial se reduce a la forma (ωt k 1 x 1 ) k 1 (ct x 1 ) donde c ω/k 1. Las tracciones y el desplazamiento son continuos en la interfase. Si la solución para las cinco ondas en la Figura 85 satisface todas las condiciones en la interfase para todos x y t, los argumentos de todas las ondas deben ser iguales en la interfase. Entonces, k 1 y c en la interfase deben ser igual para cada onda, y las ondas se propagan a lo largo de la interfase a la misma velocidad y continúan en fase. Esta condición da 1 c sini sini 1 sini 2 sinj 1 sinj 2 (8.6) v α 1 α 2 β 1 β 2 que es una generalización de la ley de Snell. (Esta ecuación también se aplica para ondas SH pero no existe acoplamiento entre diferentes tipos de ondas como en el sistema P SV). De la ecuación (8.6), el ángulo de incidencia de la onda refractada es ( ) i 2 sin 1 α2 sini 1 (8.7) α 1

3 Sismología 77 Si α 2 > α 1, entonces a un cierto ángulo de incidencia, i c, el ángulo transmitido, i 2, es 90 y la onda refractada se propaga paralelo a la interfase. Para i 1 > i c no hay una onda transmitida y casi toda la energía está en la onda reflectada. Aún puede existir una onda SV transmitida para la condición i 1 > i c. i c es llamado ángulo crítico y separa el sistema de reflexiones precríticas (donde la mayoría de la energía de la onda es transmitida) con el sistema de reflexiones poscríticas (donde casi toda la energía está en el rayo reflectado). 8.2 Los coeficientes de reflexión y transmisión para el caso SH Fig 86: Onda SH incidente, reflectada y transmitida en una interfase. Ahora podemos describir cómo la interfase afecta la amplitud de las ondas. El caso P SV es complicado debido a la conversión entre ondas P y SV, entonces consideremos el caso SH. El movimiento SH puede ser escrito en términos del desplazamiento: u 2 Be i(ωt k β x) Be i(ωt k 1x 1 ±k β3 x 3 ) Be i(ωt k 1x 1 ±k 1 r β x 3 ) (8.8) donde r β k β3 /k 1. En el medio 1 existen ondas incidente y reflectada u 1 2(x 1,x 3,t) B 1 e i(ωt k 1x 1 k 1 r β1 x 3 ) +B 1e i(ωt k 1x 1 +k 1 r β1 x 3 ) (8.9) y en el medio 2 existe una onda transmitida u 2 2 (x 1,x 3,t) B 2 e i(ωt k 1x 1 k 1 r β2 x 3 ) (8.10) La continuidad del desplazamiento a través de la interfase da u 1 2 u 2 2

4 Sismología 78 (B 1 +B 1)e i(ωt k 1x 1 ) B 2 e i(ωt k 1x 1 ) B 1 +B 1 B 2 (8.11) Para una interfase horizontal, el vector normal es (0,0,1), y entonces T i σ ij n j (σ 13,σ 23,σ 33 ) (8.12) Para el caso SH, u 1 u 3 0, u 2 0 entonces σ 13 σ 33 0 y σ 23 es continuo. ( u2 σ 23 2µe 23 µ + u ) 3 µ u 2 porque u 3 0 (8.13) x 3 x 2 x 3 Para la continuidad de la tracción en la interfase µ 1 ik 1 r β1 (B 1 B 1)e i(ωt k 1x 1 ) µ 2 ik 1 r β2 B 2 e i(ωt k 1x 1 ) ( ) (B 1 B 1) µ2 r β2 B2 µ 1 r β1 (8.14) Las ecuaciones (8.11) y (8.14) se juntan para dar los coeficientes de reflexión y transmisión: R 11 B 1 B 1 µ 1r β1 µ 2 r β2 µ 1 r β1 +µ 2 r β2 T 12 B 2 B 1 2µ 1 r β1 µ 1 r β1 µ 2 r β2 (8.15) Los coeficientes de reflexión y transmisión dependen del ángulo de incidencia y de la rigidez; proveyendo información sobre las propiedades del medio. Los coeficientes de reflexión y transmisión pueden ser expresados de varias formas. Una forma es en términos de la lentitud vertical η βi r βi /c (1/B 2 i p2 ) 1/2 cosj i /β i donde R 11 µ 1η β1 µ 2 η β2 µ 1 η β1 +µ 2 η β2 T 12 o, explícitamente, en términos del ángulo de inclinación 2µ 1 η β1 µ 1 η β1 µ 2 η β2 (8.16) µ i η βi ρ i β 2 i η β i ρ i β 2 i cosj i donde R 11 ρ 1β 1 cosj 1 ρ 2 β 2 cosj 2 ρ 1 β 1 cosj 1 +ρ 2 β 2 cosj 2 T 12 2ρ 1 β 1 cosj 1 ρ 1 β 1 cosj 1 +ρ 2 β 2 cosj 2 (8.17) Cuando la interfase es una superficie libre, µ 2 0 y el coeficiente de reflexión es 1 para cualquier ángulo de incidencia; es decir, que ocurre una reflexión total

5 Sismología 79 (las ondas incidente y reflectada tienen la misma amplitud). El desplazamiento observado en un sismómetro en la superficie es el movimiento total de ambas ondas incidente y reflectada. Noten que las tracciones de las ondas SH incidente y reflectada son iguales en magnitud y opuestas en dirección, que resulta en cero tracción en la superficie libre; y que la amplificación en la superficie libre es un factor de 2. Cuandoel ángulo de incidencia de la onda SH es mayor que el ángulo crítico, la velocidad aparente es menor que la del medio 2 (es decir, c < β 2 ). La onda transmitida está dada por u 2 2 B 2 e i(ωt k 1x 1 k 1 r β2 x 3 ) (8.18) con r β2 (c 2 /β 2 1) 1/2 imaginaria en esta situación. Aquí la componente x 3 es imaginaria y no representa una onda oscilatoria en la dirección x 3. Elegimos la ruta cuadrada negativa (por la conservación de la energía) para que ) 1/2 e ik 1r β2 x 3 e k 1rβ x 3 2 con r β2 (1 c2 (8.19) que decae exponencialmente con la distancia de la interfase en el medio 2. Esta es una onda evanescente. 8.3 La reflexión de las ondas P y SV en una superficie libre Elcaso paraunaondap (o unaondasv) incidente enunasuperficielibrees más complicado. Siel mediosuperiorenla Figura85es unvacío (o, decimos, aire), no hay ondas P y SV transmitidas, y solamente existen ondas P y SV reflectadas. Porque la onda P involucra desplazamiento en x 1 y x 3, las componentes del tensor de estrés σ 13 y σ 33 deben ser iguales a cero en la superficie libre. Para satisfacer la condición de borde en la superficie libre se requiere que la energía reflectada se conforme de ondas P y SV. Las potenciales P y SV, en esta situación, son φ Ae i(ωt k 1x 1 +k 1 r αx 3 ) +A e i(ωt k 1x 1 k 1 r αx 3 ) y ψ Be i(ωt k 1x 1 k 1 r β x 3 ) β 2 2 (8.20) En la superficie (x 3 0) no hay tracciones, por lo tanto σ 13 σ Para un medio isotrópico, podemos escribir los estrés en términos de los potenciales: { } σ 13 µ 2 2 φ + 2 ψ x 1 x 3 x 2 2 ψ 1 x 2 3 { 2 } { φ y σ 33 λ x φ 2 } φ 1 x 2 +2µ 3 x ψ (8.21) 3 x 1 x 3 Para un sólido de Poisson (λ µ), sustituyendo (8.20) en (8.21) en la interfase (x 3 0) da σ 13 0 µ[2r α (A A )+(r 2 β 1)B]k2 1 ei(ωt k 1x 1 )

6 Sismología 80 σ 33 0 [λ(1+r 2 α)(a+a )+2µ(r 2 α(a+a )+r β B)]k 2 1e i(ωt k 1x 1 ) (8.22) Podemos solucionar estas para obtener las coeficientes de reflexión de las ondas P y SV: A A 4r αr β (r 2 β 1)2 4r α r β +(r 2 β 1)2 y B A 4r α (1 rβ 2) 4r α r β +(rβ 2 (8.23) 1)2 o A A 4ρ2 η α η β (ηβ 2 p2 ) 2 4ρ 2 η α η β +(ηβ 2 p2 ) 2 y B A 4ρη α (p 2 ηβ 2) 4ρ 2 η α η β +(ηβ 2 p2 ) 2 (8.24) donde (1+r 2 α ) (c2 /α 2 ) c 2 ρ/(λ+2µ). Las expresiones dadas en (8.23) son para potenciales, no para desplazamientos. Podemos usarlas para determinar la amplitud de desplazamiento usando la ecuación (1.16). Entonces (u 1,u 3 ) P(incidente) ( ik 1,ik 1 r α )φ(incidente) (u 1,u 3 ) P(reflectada) ( ik 1, ik 1 r α )φ(reflectada) (u 1,u 3 ) SV(reflectada) ( ik 1,ik 1 r β )ψ(reflectada) (8.25) La amplitud de cualquier componente del desplazamiento se puede encontrar en términos de las coeficientes de reflexión y transmisión usando (8.25). Porque las componentes de los vectores del número de onda satisfacen la ecuación (8.2), la tasa entre las amplitudes del desplazamiento de las ondas P reflectada e incidente es u P(reflectada) u P(incidente) k α φ (reflectada) k α φ (incidente) A (8.26) A y la tasa entre las amplitudes del desplazamiento de la onda SV reflectada y la onda P incidente es u SV(reflectada) u P(incidente) k β ψ (reflectada) k α φ (incidente) α B β A (8.27) Entonces, cuando las ondas son convertidas a un tipo de onda diferente, la tasa entre las amplitudes del desplazamiento se obtiene de la multiplicación de (i) la tasa entre las amplitudes de los potenciales por (ii) la tasa entre las velocidades.

7 Sismología 81 Fig87: El caso deondas P ysv incidenteen unainterfase entredos medios. Las trayectorias de los rayos y el flujo de la energía para las ondas P y SV reflectada y transmitida (en comparación con la energía de la onda incidente). La escala-x es el ángulo de incidencia. El medio superior tiene α kms 1, β kms 1, ρ gcm 3 ; el medio inferior tiene α kms 1, β kms 1, ρ gcm 3.