superficie de una lámina de aceite de linaza. Determine los ángulos θ y θ. El índice de refracción del aceite de linaza es 1,48.

Transcripción

1 EJERCICIOS OPTICA GEOMÉTRICA. 2.- El rayo de luz que se muestra en la Figura 2, forma un ángulo de 20 0 con la normal NN a la superficie de una lámina de aceite de linaza. Determine los ángulos θ y θ. El índice de refracción del aceite de linaza es 1,48. Figura 2. N Aceite: N Agua: Para el cálculo de, se aplica la ley de Snell en la separación aire-aceite: (1) Para el cálculo de, se aplica la ley de Snell en la separación aceite-agua: (2)

2 3.- Un haz de luz incide sobre una lámina de caras planas paralelas de índice de refracción, formando con la normal un ángulo, como muestra la Figura 3. a) Determine el espesor de la lámina y demuestre que el haz que emerge de la lámina es paralelo a la dirección del haz incidente. b) Determine el corrimiento. Figura 3. a) (1) (2) Igualando (1) y (2), se tiene: Esto demuestra que los rayos incidente y emergente son paralelos.

3 b) (3) (4) Reemplazando (3) y (1) en (4), se obtiene: 4.- Determine el ángulo de desviación del prisma de vidrio, que se muestra en la Figura 4 y que está rodeado de aire. Figura 4. i 1 O i B 2 i i 4 3 δ A Punto O: = n sen (1) Punto B: = sen (2) (3) (4) (5) Aplicando la ley de Snell, se tiene:

4 Derivando respecto a : Esta ecuación se satisface si, es decir, si:, pero: Esto se cumple cuando el haz refractado dentro del prisma es paralelo a la base de un triángulo isósceles. 5.- Obtenga una expresión que permita calcular el índice de refracción del material del cual está hecho el prisma esquemáticamente representado en la Figura 5, por un triángulo isósceles. Figura 5. De la figura: (1)

5 (2) Aplicando la ley de Snell: De donde: Conociendo el ángulo A y midiendo prisma. se obtiene n del material del que està hecho el 6.- a) Determine el valor del ángulo de apertura para que en la fibra óptica de la Figura 1 se produzca el fenómeno de reflexión total interna. Se sabe que la fibra óptica tiene un índice de refracción de 1,492, el diámetro del material interno es de 50 [µm] y el índice de refracción del material de revestimiento es 1,489. b) Demuestre que la apertura numérica de una fibra óptica está dada por: Figura 1.

6 O θ 2 θ 1 n 1 = 1 n 2 = 1,492 A θ c 25[µm] B n 3 = 1,489 a) y. Aplicando en la ley de Snell la condición de incidencia crítica en el punto A: De acuerdo a la Figura 1, el triángulo OAB es rectángulo, luego: Aplicando la ley de Snell en el punto O: b) Si se define como apertura numérica de la fibra óptica y según la ley de Snell en el punto O, se tiene: Reemplazando una identidad trigonométrica en la expresión anterior: Pero : (2) (1) Reemplazando (2) en (1), se obtiene:

7 7.- Un haz laser incide desde el aire ( ), sobre una de las caras planas de una fibra óptica, formando un ángulo (ver Figura 1). Si el índice de la fibra es y el rayo debe salir por el otro extremo, muestre que para próximo a. Qué valor toma si la fibra está sumergida en agua? (índice del agua = 4/3). Figura 1 Θ i Θ t Primero, la condición para que el rayo atraviese la fibra, de acuerdo a la Reflexión Total Interna, es:. A la entrada, utilizando la ley de Snell:. (1) Considerando la Reflexión Total Interna, se tiene:. (2) Reemplazando en la ecuación (1):, luego. (3) Pero debe cumplirse que:. Por lo tanto:.

8 Si,, luego: Luego: Ya que el índice de refracción para el agua es de. 8.- Una moneda de plata se encuentra en el fondo de una piscina que tiene 4[m] de profundidad. Un rayo de luz se refleja desde la moneda y emerge desde la piscina formando un ángulo de 20 o con la superficie del agua y llega hasta el ojo de un observador. a) Dibuje el recorrido del rayo desde la moneda hasta el observador. Prolongue el rayo emergente hasta que intercepte la normal al fondo de la piscina en el punto donde se encuentra la moneda. b) Obtenga el ángulo bajo el cual incide en la interface agua-aire el haz proveniente desde la moneda. c) Determine la distancia,. a) Figura 2. d θ i t = 4 [m] b) Según la ley de Snell:

9 c) (1) Por otra parte: (2) Introduciendo (2) en (1), se tiene: Esta distancia representa la distancia aparente. 9.- Determine el ángulo de incidencia de un rayo que llega hasta una lámina de vidrio de espesor e índice de refracción, de modo que la perpendicular que separa los dos rayos que emergen de la parte superior de la lámina sea igual al desplazamiento del rayo que emerge de la superficie inferior, en relación a la dirección del rayo incidente. Figura 3. θ 1 θ 1 a A C t θ 2 θ 2 θ 2 n E D B θ 1 b De la Figura 3: (1) (2)

10 Luego: (3) Además: (4) Pero: (5) Donde: y. Reemplazando los segmentos de recta en (5), se obtiene: Luego reemplazando en (4): Ahora, si: (7) (6) Elevando al cuadrado la expresión (7) y recordando que, se obtiene: Y utilizando identidades trigonométricas, se llega a la siguiente expresión: 10.- La Figura 1 muestra un prisma triangular de cristal en el cual un rayo normal a una cara es reflejado totalmente: a) Si θ 1 es 45 0 Cuál es el índice de refracción del cristal? b) Qué ocurre si el prisma anterior se sumerge en agua? ( ). Figura 1.

11 r i θ 0 a) Aplicando la ley de Snell, considerando el caso de reflexión total interna ( tiene: ), se b) r t i θ 1 θ 2 Luego: En este caso, el ángulo de refracción es menor que 90 0 fenómeno de reflexión total interna. por lo tanto, NO se produce el

12 11.- Dos lentes convergentes, cada una de distancia focal 10[cm], están separadas 35[cm]. Se coloca un objeto a 20[cm] a la izquierda de la primera lente: a) Encontrar la posición de la imagen final usando el diagrama de rayos para lentes delgadas. b) Diga las características de la imagen final obtenida. c) Calcule el aumento lateral. Figura 2. a) Lente 1 Lente 2 F i1 F O2 Objeto F O1 F i2 d b) Es una imagen real, derecha, respecto al objeto inicial. La intermedia es real e invertida. c) Primera imagen: Por lo tanto, esta imagen tiene el mismo tamaño que el objeto. Para la segunda imagen:

13 Calculando el aumento lateral total: Es decir, la imagen final es derecha respecto al objeto y en tamaño es el doble del mismo a) En la Figura se muestran dos puntos fijos A y B y un rayo AOB que los une. Figura. A B a Θ 1 Θ 1 Θ 1 Θ 1 b x O (d-x) d La longitud l del rayo que une los puntos A y B es: Si a esta situación se le aplica el principio de Fermat que dice: Un rayo luminoso que va de un punto a otro sigue una trayectoria tal que, comparad a con otras trayectorias cercanas, el tiempo que requiere para recorrerla es un mínimo o es un máximo o bien queda fijop, es decir queda estacionario, el punto O tendrá una posición tal que el tiempo de viaje de la luz debe ser mínimo ( o máximo o estacionario). En cualquier caso (1) + = 0 (2)

14 Esta expresión se puede escribir como: (3) : Ley de la reflexión b)consideremos que el rayo pasa de un medio a otro de distinta densidad óptica, (ver figura). Figura. A a Θ 1 l 1 Θ 1 O (d-x) x n Θ 2 l 2 b d B Un rayo AOB une los puntos A y B. El tiempo está dado por: (4) Se sabe que: La cantidad l se llama longitud de la trayectoria óptica o camino óptico. La longitud de onda en un medio distinto del vacio es Si a este caso se le aplica el principio de Fermat, l debe ser mínimo. La longitud de la trayectoria óptica es:

15 (5) Derivando: (6) De la figura y de (6) se obtiene:, que es la ley de la refracción.