Ecuaciones diferenciales no lineales

Transcripción

1 Ecuaciones diferenciales no lineales 1. Ecuaciones de Ondas 1..1 Ondas lineales Sea la ecuación u t + u x = 0 (1.1) Sus soluciones oscilatorias elementales serán de la forma u = e i(kx+ωt) Onda lineal no dispersiva y no disipativa: t=0, t=5 donde la relación de dispersión es: y por tanto de manera que la superposición de dos ondas ω = k (1.2) u = e ik(x t) (1.3) û = e ik 1(x t) + e ik 2(x t) (1.4) se mueve con una única velocidad c = 1, de manera que la onda mantiene su forma conforme transcurre el tiempo. 1

2 2 Capitulo 6 Ondas disipativas Sea la ecuación u t + u x u xx = 0 (1.5) Sus soluciones oscilatorias elementales serán de la forma u = e i(kx+ωt) Onda lineal dispersiva : t=0, t=5 donde la relación de dispersión es: ω = k + ik 2 (1.6) y por tanto u = e ik(x t) e k2 t (1.7) de manera que la onda se disipa conforme transcurre el tiempo Ondas dispersivas Sea la ecuación u t + u x + u xxx = 0 (1.8) Sus soluciones oscilatorias elementales serán de la forma u = e i(kx+ωt) Onda lineal disipativa : t=0, t=1

3 1.. ECUACIONES DE ONDAS 3 donde la relación de dispersión es: ω = k + k 3 (1.9) y por tanto u = e ik(x (1 k2 )t) de manera que la superposición de dos ondas (1.10) û = e ik 1(x (1 k 2 1 )t) + e ik 2(x (1 k 2 2 )t) (1.11) se dispersa conforme transcurre el tiempo puesto que cada componente viaja con distinta velocidad Ondas no lineales: breaking wave Veamos ahora la ecuación no lineal u t + uu x = 0 (1.12) que puede ser resuelta por el método de las características. Busquemos curvas tales que x = x(s); t = t(s) (1.13) u(s) = u(x(s), t(s)) sea constante a lo largo de tales curvas. Por tanto 0 = du ds = u dx x ds + u dt t ds = u dx x ds uu dt x ds = u d(x ut) x ds lo que significa que las características son las rectas x ut = cte (1.14) Por tanto la solución general se puede escribir en forma implícita como donde f es una función arbitraria tal que u = f(x ut) (1.15) u(x, 0) = f(x) Ello significa que cada punto de la curva f(x) viaja con una velocidad igual a su altura. Los puntos más altos viajan a mayor velocidad que los más bajos. En

4 4 Capitulo 6 consecuencia la curva se estrecha y distorsiona tal como se ve en las figuras (que corresponden a f(x) = 1 cosh 2 x ) Breaking wave : t=0, t=10, t=20

5 2.. LA ECUACIÓN DE KORTEWEG DE VRIES 5 2. La ecuación de Korteweg de Vries u t + u xxx 6uu x = 0 (2.1) 2..1 Sintesis histórica Observaciones de Russell El experimento de Fermi-Ulam-Pasta Descubrimiento del solitón: Zabusky y Kruskal 2..2 Soluciones de KdV Un solitón Buscamos soluciones de onda plana de la forma: z = x ct (2.2) En cuyo caso la ecuación es: cu z + u zzz 6uu z = 0 integrando cu + u zz 3u 2 = A cu 2 /2 + u 2 z/2 u 3 = Au + B (2.3) Para A = B = 0 (u y sus derivadas se anulan en el infinito) du u u + c 2 = 2dz cuya integración es: o bien con c = 4k 2 u = c 2 1 cosh 2 ( c 2 (z z 0)) u = 2k 2 1 cosh 2 (k(x 4k 2 t) + z 0 )) (2.4) (2.5)

6 6 Capitulo 6 Soliton de KdV En la figura se ha representado u. Como puede verse se trata de una estructura de campana localizada cuya amplitud depende de la velocidad de tal manera que cuanto más alta es, más deprisa viaja. Esta estructura se propaga sin deformarse de forma que el efecto no lineal compensa el dispersivo. Dos solitones La solución anterior puede escribirse tambien como ( ) F1x u = 2 F 1 x donde F 1 = 1 + f 1 f 1 = e [2k 1(x 4k 2 1 t)] (2.6) Se puede comprobar que (2.1) (mas adelante veremos como obtenerlo) posee tambien la solución: ( ) F2x u = 2 (2.7) donde F 2 x F 2 = 1 + f 1 + f 2 + Af 1 f 2 (2.8) ( ) 2 (k1 k 2 ) A = (k 2 + k 1 ) (2.9) Lo mejor es pasar al sistema de centro de masas haciendo de manera que x = ˆx + vt (2.10) k 1 [(ˆx) + (v 4k 2 1)t]

7 2.. LA ECUACIÓN DE KORTEWEG DE VRIES 7 y tengan velocidades iguales y opuestas k 2 [(ˆx) + (v 4k 2 2)t] v 4k 2 1 = (v 4k 2 2) = v = 2(k k 2 2) de forma que f 1 = e 2k 1[ˆx bt] f 2 = e 2k 2[ˆx+bt] b = 2(k 2 1 k 2 2) donde hemos supuesto k 1 > k 2 Comportamiento en t = La solución se anula excepto a lo largo de las rectas ˆx = bt, ˆx = bt. Supongamos k 2 < k 1. a) ˆx = bt = ; f 2 0 En tal caso F f 1 Se trata de un solitón de número k 2 propagándose a lo largo de la recta ˆx = bt b) ˆx = bt = ; f 1 En tal caso F 2x F 2 = 2k 1f 1 + 2k 2 f 2 + 2(k 1 + k 2 )Af 1 f f 1 + f 2 + Af 1 f 2 2k 1 + 2(k 1 + k 2 )Af Af 2 redefiniendo F 2x F 2 2k 1 + 2k 2Af Af 2 ˆf 2 = Af 2 = e 2k 2[ˆx+bt x 2 ] donde ln A = 2k 2 x 2 puesto que A < 1 y por tanto ln A < 0 Se trata de un solitón de número k 2 propagándose a lo largo de la recta ˆx = bt + x 2

8 8 Capitulo 6 Comportamiento en t = a) ˆx = bt = ; f 2 F 2x F 2 = 2k 1f 1 + 2k 2 f 2 + 2(k 1 + k 2 )Af 1 f f 1 + f 2 + Af 1 f 2 2k 2 + 2(k 1 + k 2 )Af Af 1 redefiniendo donde F 2x F 2 2k 2 + 2k 1Af Af 1 ˆf 1 = Af 1 = e 2k 1[ˆx bt x 1 ] ln A = 2k 1 x 1 con x 2 > x 1 Se trata de un solitón de número k 1 propagándose a lo largo de la recta ˆx = bt + x 1 b) ˆx = bt = ; f 1 0 En tal caso F f 2 Se trata de un solitón de número k 2 propagándose a lo largo de la recta ˆx = bt En consecuencia el solitón 1 pasa de moverse a lo largo de la recta ˆx = bt a hacerlo a lo largo de ˆx = bt + x 1. El solitón 2 pasa de moverse a lo largo de la recta ˆx = bt + x 2 a hacerlo a lo largo de ˆx = bt con k 1 x 1 = k 2 x 2 = ln k 1 k 2 k 2 +k 1 En las siguienes figuras se ilustra este comportamiento

9 14 Capitulo 6 Segundo transcendente Otro tipo de solución puede encontrarse a través de una reducción de similaridad. Es fácil comprobar que KdV es invariante bajo una transformación de escala de la forma de forma que las siguientes variables x ax t a 3 t u a 2 u (2.11) xt 1/3, ut 2/3 son invariantes de escala. Tiene pues perfecto sentido hacer la transformación: de forma que: y la ecuación de KdV se reduce a: z = x(3t) 1/3 u = (3t) 2/3 f(z) (2.12) = z t 3t z x = (3t) 1/3 z f zzz + (6f z)f z 2f = 0 (2.13) Haciendo se obtiene donde De forma que una solución es: f = y z y 2 p zz 2yp z = 0 p = y zz 2y 3 zy y zz 2y 3 zy + α = 0 (2.14) que es PII

10 2.. LA ECUACIÓN DE KORTEWEG DE VRIES 15 Primer transcendente Otro tipo de solución puede obtenerse mediante la reducción de similaridad z = x + 3t 2 u = t + f(z) (2.15) que conduce a la ecuación que puede integrarse como 1 6ff z + f zzz = 0 (2.16) f zz 3f 2 + z + α = 0 (2.17) que es PI Soluciones Elipticas Volviendo a las soluciones de onda plana dadas por (2.3) y haciendo A = 0 u 2 z = 2B + 2Au + cu 2 + 2u 3 = 2(u u 1 )(u u 2 )(u u 3 ) (2.18) cuya solución es: ( [ 2 u3 u 1 u = u 2 (u 2 u 1 ) cn (z z 0 ); k]) (2.19) 2 con k 2 = u 2 u 1 u 3 u 1 (2.20) c = 2(u 1 + u 2 + u 3 ) A = u 1 u 2 + u 2 u 3 + u 1 u 3 B = u 1 u 2 u 3 siendo u i las tres soluciones de (2.19). Esta solución representa una onda fuertemente no lineal en la que la velocidad, la forma y la frecuencia dependen de la amplitud en una forma nada trivial. Estas ondas, denominadas ondas cnoidales, se pueden observar a veces en los ríos. Contiene la solución de un solitón en el limite k = 1 (u 2 = u 3 = 0).

11 16 Capitulo 6 3. Par de Lax para KdV Cosideremos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: ψ xx + (λ(τ) V (x, τ))ψ = 0 (3.1) donde τ es un parámetro de deformación del potencial y ψ = ψ(x, τ). Consideremos ahora la ecuación ψ τ = 2(V + 2λ)ψ x V x ψ (3.2) Para que (3.2) y (3.2) sean compatibles, ha de ser ψ xxt = ψ txx, para lo que se requiere V τ + V xxx 6V V x = 0 λ τ = 0 (3.3) Este es un resultado del mayor interés pues significa que para un potencial V (x, τ) que se deforme con arreglo a KdV, los autovalores λ(τ) permanecen sin deformación Este es un ejemplo de lo que se denomina transformación isospectral La ecuación no lineal KdV es por tanto equivalente al par de ecuaciones lineales (3.1) y (3.2). Dichas ecuaciones se denominan el par de Lax de KdV Transformación de Scattering Inverso GGKM (Gardner, Green, Kruskal y Miura) propusiero que la evolución temporal de V (x, τ) en (3.3) puede estudiarse a través de las propiedades del problema mecanico-cuántico asociado. La idea es la siguiente: 1) Dada una condición inicial V (x, 0), introducirla como potencial de la ecuación de Schrödinger (3.1) y resolver el problema de scattering directo, es decir, encontrar los denominados datos de scattering, es decir: a) Espectro discreto: λ = k 2 n, n = 1..N El comportamiento de las funciones en el infinito ha de ser: lim x ψ n (x) = c n e knx donde c n son las constantes de normalización definidas de forma que ψ n 2 dx = 1 b) Espectro continuo: λ = k 2

12 3.. PAR DE LAX PARA KDV 17 y En este caso la solución en el ± ha de ser: lim x ψ = a(k)e ikx lim x ψ = e ikx + b(k)e ikx Donde a(k) y b(k) son respectivamente los coeficientes de reflexión y transmisión El conjunto de valores λ n, c n, a(k), b(k) constituyen los datos de scattering 2) Cuando V evoluciona como función de τ, sus datos de scattering también evolucionan pero el espectro de autovalores ha de permanecer constante. La evolución de las autofunciones puede obtenerse mediante (3.2) y por lo tanto obtendremos los datos de scattering para τ 3) El último paso corresponde a resolver lo que se denomina el problema de scattering inverso, es decir, como reconstruir el potencial V (x, τ) a partir de los datos de scattering. Ello es posible mediante la resolución de una ecuación integrodiferencial lineal denominada: Ecuación de Gelfand-Levitan-Marchenko. Potencial inicial u(x,0) Datos de scattering a t=0 Potencial final u(x,t) Datos de scattering a t>0 Diagrama IST El conjunto de los tres pasos anteriores se denomina transformación de scattering inverso por analogia con la trasformación de Fourier Dato inicial u(x,0) FT u(k,0) u(x,t) IFT Diagrama de FT u(k,t)