Estructura de la Materia. Séptima Sesión Postulados de la Mecánica Cuántica (2)

Transcripción

1 Estructura de la Materia Séptima Sesión Postulados de la Mecánica Cuántica ()

2 Postulado 1 Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible Ψ(x 1,y 1,z 1,x,y,z,,x N,y N,z N,t)

3 Corolario Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo Ψ(x 1,y 1,z 1,x,y,z,,x N,y N,z N ) y se llama función de onda de estado estacionario (3N variables).

4 Postulado Para cada observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda

5 También se conoce como postulado de Born. Max Born ( ). Premio Nóbel en Postulado 3

6 Postulado 3 El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio.

7 Comentario Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir. Qué es contar?

8 Comentario Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir. Qué es contar? Contar es hacer una biyección con los naturales.

9 Comentario () Las mediciones pueden tomar cualquier valor en un rango dado (y por lo tanto, existe un continuo de valores). En probabilidad: Discreto Funciones de probabilidad discretas. Continuo Funciones de probabilidad continuas o densidades de probabilidad. Las funciones de probabilidad determinan una distribución de las probabilidades

10 Función de probabilidad Número que sale al tirar dados

11

12

13 La probabilidad de todo el espacio es 1. P(S)=1

14

15 P(1), P(6), P(3x7), P(3<x7), P(3x<7), (3<x<7), P(-x)

16 Continua

17 Continua Probabilidad = Área bajo la curva

18 Continua b a f(x)dx F(b)- F(a) P(a x b)

19 Continua Las probabilidades de puntos son cero, ya que a a f(x)dx F(a)- F(a) 0

20 Continua Probabilidad de todo el espacio f(x)dx 1

21 Comentario (3) Ambas determinan una distribución de probabilidad.

22 Comentario (4) El cuadrado de la función de onda es una densidad de probabilidad. Por lo tanto la función de onda debe ser: Continua. Univaluada. Finita (debe existir la integral del cuadrado).

23 Postulado de Born d 1

24 Resolución de Problemas Particulares 1. Se substituye la masa de la partícula.. Se substituye el potencial V para el caso del problema particular. 3. Se resuelve el problema para Ψ y para E.

25 Resolución de Problemas Particulares () En general hay varias funciones Ψ que matemáticamente cumple con ser solución de la ecuación de Schrödinger. Se escogen aquellas que además de cumplir con las restricciones físicas del problema cumplen con:

26 Resolución de Problemas Particulares (3) d 1 O sea, aquellas que sean: Continuas. Univaluadas. Finitas.

27 Resolución de Problemas Particulares (4) Con Ψ se pueden encontrar zonas del espacio donde existe mayor probabilidad de encontrar a las partículas.

28 Partícula en un pozo de potencial unidimensional V= V=0 V= 0 a x

29 Ĥ E Ĥ Tˆ Vˆ Tˆ - ħ m

30 En una dimensión : Tˆ Vˆ - ħ d m dx solo dependede x - ħ ħ m m d d dx ( x) dx ( x) Vˆ ( x) ( x) E - Vˆ ( x) ( x) 0 E( x)

31 0 (x) dx ) ( d 1 ) ( ) ( dx ) ( d 0 ) ( E dx ) ( d m ) ( Vˆ caja : Fuera dela fuera x x x x x x x ħ

32 Resumen Ψ(x) = 0 (- < x < 0) No sabemos (0 x a) Ψ(x) = 0 (a < x < )

33 Gráfica de (x) (x) 0 a x

34 Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja?

35 Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja? Ψ fuera = 0 Ψ fuera = 0 P fuera = 0

36 Dentro de la caja ) ( me dx ) ( d 0 ) ( E dx ) ( d m 0 ) ( E - 0 dx ) ( d m 0 V x x x x x x ħ ħ ħ

37 Dentro de la caja () me ħ Es una constante. Le pongo nombre: - Constante, yo te bautizo como.

38 Dentro de la caja (3) me ħ d ( x) dx ( x) Debemos resolver esta ecuación diferencial de orden. O sea, necesitamos encontrar una función que derivada dos veces sea igual a menos por ella misma.

39 Dentro de la caja (4) Toda ecuación diferencial de orden n tiene n soluciones (linealmente independientes). Les propongo estás dos soluciones: I ( x) Asen x II ( x) Bcos x

40 Dentro de la caja (5) I d dx d dx A ver si es cierto ( x) Asenx Asenx Asenx Acosx Asenx II d dx d dx ( x) Bcosx Bcosx Bcosx -Bsen x - Bcosx encontramos dos funciones que cumplen con que derivadas dos veces son iguales a - por ellas mismas.

41 Dentro de la caja (6) Por lo tanto: I II Son soluciones de la d dx ( x) Asenx ( x) Bcosx ( x) ( x) ecuación diferencial :

42 Dentro de la caja (7) Pero cumplen con ser funciones de onda aceptables? Cumplen con el postulado de Born? Son continuas, univaluadas y finitas?

43 Gráfica de (x) (x) 0 a x

44 Cuánto debe valer (0)?

45 Cuánto debe valer (0)? Ψ(0) = 0 Para que la función sea continua en x = 0

46 Dentro de la caja (8) Por lo tanto: I II (0) Asen (0) tendría que ser 0 (0) Bcos (0) tendría que ser 0

47 Función Seno La función seno cumple con ser cero en x=0.

48 Función Coseno La función coseno no cumple con ser cero en x=0. El coseno no es una función de onda aceptable para este problema.

49 Gráfica de (x) (x) 0 a x

50 Cuánto debe valer (a)?

51 Cuánto debe valer (a)? Ψ(a) = 0 Para que la función sea continua en x = a

52 Por lo tanto ( a) Asen (a) tendría que ser 0 Le quito el subíndice porque ya solo me quedé con una función

53 Función Seno Dónde se hace cero la función seno?

54 Función Seno Dónde se hace cero la función seno? En 0 y en múltiplo enteros de. Por lo tanto, para que la función sea aceptable, su argumento debe cumplir con: a n; n Z

55 De donde: Pero n a n a me ħ ;n Z me ħ

56 Despejando la energía Z ;n 8ma h n E h me(4) a n h La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada ħ

57 Energía de la partícula h E n 8ma ;n Z La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada