Ondas de Materia. Los fotones fueron los primeros entes físicos a los cuales se les asoció la dualidad ONDA PARTÍCULA.

Transcripción

1 Ondas de Materia

2 Donde: Ondas de Materia La Luz: Su partícula asociada es el fotón, cuya energía y momentum son funciones de sus parámetros oscilatorios (frecuencia o longitud de onda) Eγ Eγ = hν = ω, pγ = = k c h ω =, k = π c Los fotones fueron los primeros entes físicos a los cuales se les asoció la dualidad ONDA PARTÍCULA. La Materia: Algunas partículas materiales son el electrón, los protones y los neutrones. Motivados por las simetrías que la naturaleza presenta, no parece fuera de lugar la pregunta: si a la luz(fenómeno clasicamente oscilatorio) en ciertas condiciones, se le pueden asociar propiedades corpusculares, entonces podría asociarsele a la materia (corpusculos) propiedades oscilatorias en ciertas circunstancias?

3 La expresión general: Hipótesis de De Broglie (194) E E = hν = ω, p= = k c relaciona los aspectos corpusculares (E,p) con los oscilatorios (w,k). La relación entre E y p dependerá de la masa de la partícula. En el caso de los fotones, la masa es cero: Para las partículas materiales: m= 0 E = pc m 0 p E = v c m La longitud de onda que corresponde a la partícula (Longitud de onda de De Broglie) es: λ = h p Consecuencia: Al igual que con la luz, se deberá observar difracción e interferencia para un haz de partículas. Prueba experimental: C. Davisson, L.Germer y G.P. Thompson, en 197, realizaron experimentos, en los cuales se observaron patrones de difracción para un haz de electrones al pasar por una red cristalina, similares a los que producia un haz de rayos X.

4 Experimento de G.P Thompson: El Patrón de difracción, con electrones, corresponde al mismo que se obtendría con rayos X, si la longitud de onda del haz incidente fuera: hc λ e = = E Donde la energía y el momentum de cada electrón son: e E y p e h p e e

5 Experimento de la doble rendija: La distancia entre los máximos satisface: λe hc h x L, λe = = d E p e e Para observar el patrón de interferencia y/o el de difracción se necesitan obstáculos y/o aberturas con tamaño del mismo orden de magnitud que la longitud de onda asociada: d λ e

6 Cuál es el orden de magnitud es la Longitud de Onda de De Broglie? Ejemplo 1: Si en el experimento de C. Davisson y L Germer, la diferencia de potencial aplicada para acelerar los electrones es 65[V]: λ h p h e =, Ee = = e V λe = e e p m me V Usando: m 9,1 10 [ Kg], e 1, 6 10 [ C], h 6, [ Js] e Lo cual es el orden de magnitud de la separación d entre los planos cristalinos en un sólido típico. Por lo tanto se puede observar el patrón de dispersión. resulta λ 0,15[ nm] d 0, 08[ nm] Ejemplo : Consideremos a una partícula macroscópica con baja rapidez. ( M = 10 6 [ g], v= 10 6 m )... λ = 6, [ m] s Esta longitud es mucho menor que cualquier obstáculo o abertura asequible en un experimento (mucho menor al tamaño de un núcleo atómico). Por lo tanto los aspectos ondulatorios de los objetos macroscópicos no se manifiestan. e cris 15 tamaño del núcleo atómico: 10 [ m]

7 La Función de Onda y los Campos de Materia Qué es una onda de materia? Qué cantidad asociada con una partícula va cambiando (oscilando) en el espacio en el transcurso del tiempo? Analogía con los Fotones: Fotones Campos Electromagnéticos E x t (, ) ( ωt) ikx = E0e Materia Campos de Materia Función de Onda Electromagnética (Onda Plana). y las cantidades: ( Eγ = ω, pγ = k) ( Eγ = pγc ω = kc) ( xt, ) ( ωt) ikx Ψ = Ae Función de Onda de una Partícula (Onda Plana). p k Eγ = ω p= k E = ω kc ω = m m y las cantidades: (, )

8 A qué cantidad física corresponde la función de onda? En 196, Max Born, le dio una interpretación estadística. En el caso de movimiento en una dimensión, la cantidad: (, ) Ψ x t dx = dp corresponde a la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo [x,x+dx] del espacio. Se puede hacer una generalización para movimiento en tres dimensiones: (,,, ) Ψ x y zt dxdydz = dp corresponde a la probabilidad de encontrar la partícula en el volumen: [x,x+dx] X [y,y+dy] X [z,z+dz]

9 Interpretación estadística de la función de onda. Experimentos de la doble rendija: Es bien conocido para fotones. I E + E = E I ηε γ γ 1 E es proporcional a la densidad volumétrica de energía electromagnética; la cual a su vez es proporcional a la densidad volumétrica de fotones: I η ω γ

10 En el caso de materia, como los electrones, se hace una analogía: 1 I Ψ +Ψ = Ψ Ψ =αη e El cuadrado de la función de onda es proporcional a la densidad de electrones. La constante alfa es arbitraria; si la elegimos como el inverso del número total de electrones, la función de onda (al cuadrado) estará normalizada. 1 η dx N (, ) e e α = Ψ xt dx= = = dp ( ) N e e dn N e Ψ xt, dx= 1

11 Partícula Libre Una partícula libre tiene energía y momentum constantes. La función de onda es aquella que describe a una onda plana: p = k:" cte" E = ω:" cte", :" cte" k :" cte" p = mv:" cte" ( ω ) La velocidad de fase de la onda es: ω E f, p v = = E =, p= mv v v f = k p m Ello no es una contradicción, dado que Vf es un parámetro de la onda de materia que no es observable. Por qué?

12 La probabilidad de encontrar la partícula: Ψ = A " cte" es igual para todos los puntos del espacio. Por lo cual su localización está indefinida. No se puede medir la velocidad de una partícula no localizada. Cómo se mide la velocidad de una partícula? En conclusión, la medición de la velocidad de una partícula requiere que ella esté localizada en algún lugar del espacio Paquete de Ondas.

13 Partículas y Paquetes de Ondas Un paquete de ondas es la suma de ondas de frecuencias distintas:

14 En forma más rigurosa, el paquete queda descrito por medio de una transformada de Fourier. xt ikx ( ωt) k e dk (, ) ( ) Ψ = Ψ Si el paquete se encuentra localizado, entonces será posible medir su velocidad. Utilizando análisis de Fourier, se encuentra que el paquete se mueve con una velocidad: v g dω de d p p mv = = = = = = dk dp dp m m m v Donde a Vg se le denomina velocidad de grupo.

15 Relaciones de Incertidumbre. El paquete: xt ikx ( ωt) k e dk (, ) ( ) Ψ = Ψ Es la transformada de Fourier de una función espectral: Ψ ( k ) Son o no son los anchos dx y dk independientes entre si? NO! Según el análisis de Fourier: ki x 1

16 Relaciones de Incertidumbre de Heisenberg (Werner Heisenberg, 195) Incertidumbre entre Posición-Momentum. p = k Dado que,obtenemos: xi p Incertidumbre Tiempo-Energía. Observando que la duración temporal del paquete al pasar de un punto del x t = v espacio es, se obtiene: xi p v ti p p E t E = p v p m = i

17 Interpretación Física de las relaciones de Incertidumbre. Relaciones de Incertidumbre: Interpretación Física: { xi p, Ei t } x : p : t : E : Error en la determinación de la posición de la partícula. Error en la determinación del momentum de la partícula. Incertidumbre en el tiempo de medición (duración). Error en la determinación de la energía de la partícula. La mejor precisión posible, en una medición, permite simultáneamente las incertidumbres: xi p, Ei t Principio de Incertidumbre de Heisenberg: (I) No se pueden determinar simultáneamente la coordenada x y el momentum p de una partícula con una precisión arbitraria. (II) No se puede determinar la energía E de una partícula con precisión arbitraria por medio de una medición durante un tiempo finito.

18 Consecuencias. (I) La partícula no sigue una trayectoria definida. Si se supiera cuál es la trayectoria x=x(t), se podría determinar simultáneamente y sin incertidumbre el momentum p=m(dx(t)/dt) de la partícula. Ello contradice el Principio de Incertidumbre de Heisenberg. ( ) () x= x t x= 0 p= mx t p= 0 { xi p } CONTRADICCIÓN (II) La energía de un sistema puede fluctuar del valor E impuesto por la conservación de la energía, dentro del rango: t E E E t Fluctuaciones en el vacío: Vacío E = e mc e e + t 10 mc e 0 [ s] Vacío

19 Dinámica Cuántica. Ecuación de Schrödinger. ( rt, ) Ψ Cuál es la ecuación de determina a la Función de Onda? Así como en Mecánica Clásica F=ma y en Electromagnetismo están las Ecuaciones de Maxwell, se postula que la función de onda satisface la llamada Ecuación de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 196). + + Ψ, +, Ψ, = Ψ, m x y z t ( rt) U( rt) ( rt) i ( rt) donde m y U son la masa y la energía potencial de la partícula. Normalización, la probabilidad total de encontrar a la partícula en el espacio: 1 = Ψ, Todo el ( Universo) ( rt) lo anterior se debe a que si la partícula existe, entonces es una certeza que se encuantre en algún lugar. Continuidad, tanto la función de onda, como sus primeras derivadas (respecto a las coordenadas espaciales) son funciones continuas (siempre, que el potencial no tenga discontinuidades de magnitud infinita). Ψ ( r t) dr 3 Ψ Ψ Ψ,,,, Continuas x y z

20 Estudiaremos el movimiento unidimensional y con potenciales no dependientes del tiempo, con lo cual la ecuación es más simple. Ψ, + Ψ, = Ψ, m x t ( xt) U( x) ( xt) i ( xt) Todo el ( eje X ) ( xt) 1 = Ψ, dx No se puede derivar la Ecuación de Schrödinger, en forma puramente teórica, de la misma forma en que tampoco se puede con F=ma ó las ecuaciones de Maxwell. Ellas son sujetas a verificación experimental. Sin embargo se puede entender la razón de la forma de esta ecuación.

21 Partícula libre: Motivación para la Ecuación de Schrödinger. F = 0 p = " cte" U = 0 E = EK = " cte" ( xt, ) Ψ = Ae i ( pix tie) la forma explicita para la función de onda es conocida en este caso; consideremos las igualdades: i Ψ x t = E Ψ x t t p m x m (, ) (, ) Ψ ( xt, ) = Ψ( xt, ) ( xt, ) Ψ( xt, ) p Ψ E = = i m m x t Ecuación de Schrödinger para la partícula libre.

22 Partícula en presencia de una fuerza externa: F x p m = U( x) Energía total E = + U ( x ) p " cte" dp = Fdt Ψ( x, t) Ae ω, k " cte" i ( pix tie) En el caso particular: U = " cte" F = 0 { p = " cte" E = " cte" } i i p Ψ x t = Aexp pix tie = Aexp pix + U t m Con lo cual: (, ) ( ) De la forma explicita de la función de onda, se sigue: ( xt) ( xt),, p Ψ Ψ E = + U + UΨ ( x, t) = i m m x t Hipótesis de Schrödinger: la misma ecuación es valida para cualquier potencial.

23 Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo. Al ser U = U(x) independiente del tiempo: E U = 0 E = EK + U( x) = " cte" ω = t E it iωt ( xt, ) e ψ ( x) e ψ ( x) Ψ = = Al sustituir esta forma de la función de onda en la Ecuación de Schrödinger, se obtiene: ( x) ψ + U x x = E x m x ( ) ψ ( ) ψ ( ) que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

24 Ejemplos de solución de la Ecuación de Schrödinger Ejemplo 1. Partícula Libre: ( x) ( x) ψ ψ U( x) = = E x + k x = m x x me k = Base de soluciones : 0 ψ ( ) ψ ( ) 0 ψ ( x) = Aexp ( ikx), ψ ( x) = Bexp ( ikx) + Solución general: ( x) = ( x) + ( x) = Aexp ( ikx) + Bexp ( ikx) ψ ψ ψ + Función de Onda completa: ( xt, ) ψ ( ) Ψ = i t x e ω

25 La interpretación física de las soluciones base, es que representan ondas planas que se propagan con una dirección definida: hacia la derecha o hacia la izquierda. iωt ( xt, ) ψ ( x) e Aexp i( kx ωt) Ψ + = + = iωt ( x, t) ψ ( x) e Aexp i ( kx ωt) Ψ = =

26 Ejemplo. Pared infinita de Potencial: ( ) U x 0 x > 0 = x 0 Zona Zona x x ( ) U x 0 = La partícula no puede penetrar en ella. ψ ( ) = 0 ( ) > 0 U x = 0 La energía y el momentum son: La partícula es libre. ( x) ( x) ( x) Aexp ( ikx) Bexp ( ikx) ψ = ψ+ + ψ = + k E =, p = k m reflejada x incidente

27 Aplicando como condición de contorno que la función de onda sea continua en x=0: Se desprende de lo anterior: ψ + ( 0 ) = ψ ( 0 ) + ( ) ψ ( ) ψ 0 = 0 0 = 0 A+ B= 0 La función de onda resultante sería: ( x) A exp ( ikx) exp ( ikx) iasen( kx) Csen( kx) ψ = = = Conclusión: La partícula puede tener cualquier energía E, la cual es, en si, una condición inicial. La interpretación física es que si se lanza a la partícula con una energía E, cualquiera, en contra de la pared, ella va a rebotar con la misma energía cinética.

28 Ejemplo 3. Pozo de potencial infinito: ( ) U x 0 0< x< a = x ( 0, a) ( 0, ) ( ) ( x) 0 Sí x a U x = ψ = exterior No hay partícula fuera del pozo. Zona: ( ) 0< x< a U x = 0 La partícula es libre. ( ) ( ) ( ) ψ interior x = A exp ikx + A exp ikx 1 Con energía y momentum relacionados por: me k =, p = k

29 Al aplicar las condiciones de contorno en los extremos de la caja: + ( ) ψ ( ) 0= ψ 0 = 0 = 0 + A = 0 ( x) A exp ( ikx) exp ( ikx) ia sen( kx) Csen( kx) ψ = 1 = 1 = + ( a ) ψ ( a ) Csen( ka) 0= ψ = = 0 = 0 ka = nπ n = { 1,,3,... } Nótese que la imposición de la condición de contorno cuantiza las posibles energías del sistema. Si normalizamos la función de onda En π = ma nπ Csen 0 < x < a ψ n ( x) = a 0 x ( 0, a) n a 0 ( ) ψ n x dx = 1 C = a

30 Ejemplo 4. Peldaño de potencial: ( ) U x 0 x < 0 = U0 0 x Zona: x ( ) < 0 U x = 0 la partícula es libre. ( x ) A exp ( ikx) A exp ( ikx) ψ < = + 0 I R

31 Zona: ( x) ψ x 0 U( x) = U0 = E U 0 x m x ( ) ψ ( ) La solución es: ψ ( x ) = A exp ( ik x) + Bexp ( ik x) 0 T Con: ( U ) m E k =, p = k 0 Hay que considerar los casos en que la energía total es mayor o menor que la altura de la barrera en forma separada. ( U ) m E 0 ( A) : E > U0 k = :" Real" ψ = + ( x ) A exp( ikx ) Bexp( ikx ) 0 T La partícula pasa el peldaño y se propaga como una partícula libre (At), con la energía cinética y el momentum: K ( ) E = E U p= k 0,

32 ( ) ( E) mu0 B : E < U0 k = i = ik :" Imaginario Puro" En Teoría Clásica, la partícula no puede existir en la zona a la derecha del escalón (pues tendría energía cinética negativa). E = E + U E = E U < K 0 K 0 0 En teoría cuántica, esta no es una zona prohibida, sino una zona permitida suprimida. La función de onda es ahora una suma de exponenciales reales: ( x 0) AT exp ( kx ) Bexp ( kx ) ψ = + +

33 Para cumplir con el requerimiento de normalización, es necesario que B=0, pues representa una exponencial infinitamente creciente y se haría imposible conseguir: ψ ( x) dx= 1 La partícula no atravieza indefinidamente al peldaño, sino que penetra en él con una probabilidad que decrece en forma muy rápida a medida que avanza.

34 ***Revisemos con más cuidado el caso (A): E > Uo*** me ψ ( x < 0 ) = AIexp ( ikx) + ARexp ( ikx) = ψ I ( x) + ψ R( x) ; k = ψ I ψ R ψ ( ) ( ) x 0 = AT exp ik x ; k = ψ T m E ( U ) 0 Al colocar las condiciones de contorno, en x=0, las cuales son la continuidad de la función de onda y de su primera derivada: ( ) ψ ( + ) ( ) ψ ( + ) ψ 0 = 0... AI+ AR = AT ψ 0 = 0... ika ika = ik A I R T Con lo cual los coeficientes serán: k k A A ; A k = = A k+ k k+ k R I T I

35 Conclusión: La solución describe a ondas que al incidir pueden reflejarse o transmitirse, con probabilidades bien definidas. ( x) AIexp ( ikx) ( x) ARexp ( ikx) ( x) A exp( ikx) ψ I = ψ R = ψ T = T Incidente Reflejada Transmitida Hay solo una constante libre Ai la cual es determinada por el flujo incidente de partículas (u ondas): J = α A I

36 Ejemplo 5. Barrera de potencial finita (E < Uo). Efecto Túnel. 0 x < 0 U( x) = U0 > E 0 x a 0 a< x Zona: x ( ) < 0 U x = 0 La partícula es libre. me ψ ( x < 0 ) = AIexp ( ikx) + ARexp ( ikx) = ψ I ( x) + ψ R( x) ; k = ψ I ψ R

37 Zona: 0 x a U( x) = U0 ψ ( x) = m x ( E U ) ψ ( x) 0 La solución es: ( ) ( ) ( ) ψ 0 x a = B exp k x + B exp k x ; k = 1 mu ( E) 0 Zona: a< x U( x) = 0 La partícula es libre. me ψ ( a < x) = AIexp ( ikx) + A Rexp ( ikx) ; k = transmitido Reflejado? Notemos que en el lado derecho de la barrera, existe solo la onda que se propaga a la derecha. ( ) ( ) A = 0 ψ a < x = A exp ikx R I

38 Los significados de las ondas parciales son: ( x) AIexp ( ikx) ( x) ARexp ( ikx) ( x) A exp( ikx) ψ I = ψ R = ψ T = T Incidente Reflejada Transmitida Nuevamente queda una constante libre Ai, la cual tiene que ver con el flujo de partículas incidente.

39 Al imponer las condiciones de contorno en x=0 y x=a: x = 0: ( ) ψ ( + ) ( ) ψ ( + ) ψ 0 = 0... A + A = B + B 1 ψ 0 = 0... ika ika = kb + kb x = a: ( ) ψ ( ) ( ) ψ ( ) I I R R 1 ψ a = a... B e + B e = A e + ka ka ika 1 T ψ a = a... kb e kb e = ika e + ka ka ika 1 T Hay 5 parámetros desconocidos y 4 ecuaciones, por lo cual pueden despejarse 4 de ellas en términos de una sola: {,,, } A A B B A T T 1 I

40 Una cantidad interesante es el coeficiente de transmisión, el cual representa la probabilidad que una partícula incidente atraviese la barrera y siga su curso a la derecha. T = 1 U mu ( ) 1; 4EU ( 0 E) T = + senh ka < k = A A T I ( E) Revisemos un caso extremos que nos permita hacer algunas aproximaciones: 16E η a U0 E; ka 1 T e ; η = U 0 mu 0

41 Aplicación: Vidas medias. El tiempo de vida media para el estado metaestable, puede ser estimado por medio de: τ τ 0 e ka Para un estado muy estable: τ τ 1 T

42 Diodo de Efecto Túnel