MECÁNICA CUÁNTICA AVANZADA 2013 Resonancias en el potencial de caparazón

Transcripción

1 MECÁNICA CUÁNTICA AVANZADA 2013 esonancias en el potencial de caparazón 1. Desplazamiento de fase y amplitud de dispersión en onda S Consideremos la dispersión en un potencial de caparazón repulsivo: V (r) = γ 2 2m δ(r ) ; γ > 0, γ 1, k, (1.1) donde k es el módulo del vector número de ondas de la onda plana incidente. La fase de dispersión en onda S δ 0 exacta ( γ) fue determinada en clase; el resultado es cot δ 0 (k) = k γ (1 + cot2 k) cot k. (1.2) La correspondiente amplitud de dispersión en onda S es, por lo tanto, f 0 (k) = {k[cot δ 0 (k) i]} 1 { [ = k [i + cot k] 1 ik γ + k ]} 1 γ cot k. (1.3) La factorización es particularmente útil para estudiar los polos no triviales (k 0) de f 0, que como sabemos están relacionados con estados ligados y resonancias. 2. Posición de las resonancias: análisis a partir del desplazamiento de fase Las resonancias aparecen en valores de k tales que δ 0 (k) = π/2, i.e. cot δ 0 (k) = 0. De (1.2) se sigue que esta condición se cumple cuando Las dos soluciones de esta ecuación cuadrática son [ cot 2 k + γ cot k + 1 = 0. (2.1) k cot k = γ 2k 1 ± 1 4k2 γ 2 ], (2.2) 1

2 y cada una de ellas da lugar a una serie infinita de valores de k que satisfacen la ecuación (2.1), debido a la periodicidad de la cotangente. En el límite γ k el factor 4k 2 /γ 2 dentro de la raíz cuadrada se puede despreciar, y se obtienen expresiones sencillas para las dos familias de soluciones: (I) cot k 0 k (2n + 1) π 2 (n Z), (II) cot k γ k. (2.3) Nótese que γ k puede interpretarse como un límite de baja energía, en el sentido de que γ 1 tiene dimensiones de longitud y corresponde a la magnitud del potencial (i.e. 2 γ 2 2m se puede interpretar como una energía típica asociada al potencial). La segunda condición para la aparición de una resonancia es que la pendiente de cot δ 0 (k) sea negativa ( δ 0 (k) > 0) en el punto en que la función se anula. Partiendo de la ecuación (2.1) se encuentra [cot δ 0 (k)] ( = 1 1 γ + 2k ) cot k (1 + cot 2 k). (2.4) γ Sustituyendo las soluciones aproximadas (2.3) se obtiene (I) [cot δ 0(k)] (II) [cot δ 0(k)] = 1 1 γ 1, ( = ) (1 + γ2 γ k 2 ) γ2 k 2, (2.5) donde se ha usado tanto γ k como γ 1. Por lo tanto, las soluciones aproximadas de tipo (II) satisfacen la condición de resonancia, mientras que las de tipo (I) no lo hacen. Un estudio analítico más detallado, que tenga en cuenta las correcciones en k/γ y (γ) 1, es delicado: como se verá más adelante de manera explícita, alrededor de las resonancias δ 0 tiene una dependencia muy fuerte de la energía, y no es fácil controlar las aproximaciones al resultado exacto. Por este motivo, a menudo es más simple utilizar las técnicas asociadas a la presencia de polos en la amplitud de dispersión, que aíslan las resonancias de forma robusta. 3. Posición de las resonancias: análisis a partir de los polos de la amplitud de dispersión Dado que i + cot z 0 z C, los únicos polos no triviales corresponden a 1 ik γ + k γ cot k = 0 cot k = i γ k. (3.1) 2

3 Las soluciones de la ecuación (3.1) son, en general, complejas; por ejemplo, para γ = 3 se puede verificar numéricamente 1 que k i es una solución. 2 Dada una solución k, la parte real de k 2 está asociada a la energía E de una resonancia, y su parte imaginaria a la anchura Γ de la misma: 2 k 2 2m = E + iγ 2, (3.2) e.g. E /(m 2 ) con anchura Γ /(m 2 ) para la solución mencionada. Si utilizamos γ k la condición (3.1) se convierte en cot k γ k k cot k γ, (3.3) es decir, hemos encontrado sólo las soluciones de tipo (II) en (2.3) lo cual es consistente con el análisis anterior, ya que las de tipo (I) no tenían el signo correcto en la derivada de δ 0. Además, dado que la solución es real en este límite, las resonancias resultan ser infinitamente estrechas (Γ = 0); la primera contribución a la parte imaginaria de la solución es O((γ) 1 ). 4. elación de las resonancias con estados ligados de un pozo infinito Es fácil encontrar soluciones aproximadas en k de la ecuación (3.3): para γ 1 γ 1 las soluciones de (3.3) deben estar cerca de k = nπ, con n {1, 2, 3,...} basta dibujar la función k cot k para que resulte evidente: k cot k Es fácil encontrar soluciones exactas e.g. utilizando la función Findoot de Mathematica. 2 Existe también la solución k i, que sigue estando en la hoja no física Im k < 0; sin embargo, e k > 0 implica Γ < 0, i.e. el signo incorrecto de la anchura. 3

4 Ahora bien, cerca de k = nπ es posible expandir la cotangente en serie de Laurent: cot k = 1 k nπ 1 3 (k nπ) + O((k nπ)3 ), (4.1) y si mantenemos sólo el primer término y lo sustituimos en (3.3) se obtiene precisamente k nπγ nπ, (4.2) 1 + γ donde en el último paso hemos usado γ 1. Por lo tanto, tenemos para las localizaciones de las resonancias k (n) nπ y las energías correspondientes son, n {1, 2, 3,...}, (4.3) E (n) 2 π 2 n 2 2m 2. (4.4) Estos son precisamente los niveles de energía de una partícula de masa m confinada en un pozo infinito de radio. Si queremos calcular la primera corrección en γ, podríamos expandir en serie de Taylor en (4.2) y quedarnos con k nπ ( 1 1 (γ) 2 ) E (n) 2 π 2 n 2 2m 2 ( 1 2 (γ) 2 ). (4.5) Esta es una aproximación mejor que (4.4) de la energía real de la resonancia, aunque usar esta fórmula no sería completamente consistente para calcular la corrección completa habría que incluir términos subdominantes también en las ecs. (3.3) y (4.1). 5. Anchuras de las resonancias Ahora examinamos las anchuras de las resonancias. Para ello, en primer lugar introducimos la ecuación (1.2) en la fórmula para Γ { 1 { 1 d(cot δ 0 ) Γ = 2 dk d(cot δ 0 ) de = 2 E=E} de dk = k=k} { 1 (5.1) m d(cot δ 0 ) = 2 2 k dk. k=k} La derivada relevante es d dk cot δ 0(k) = ( 1 γ 2k ) (1 cot k + cot 2 k ), (5.2) γ 4

5 y como en la resonancia cot k γ/k (ecuación (3.3)) nos queda d ( ) ) dk cot δ 0(k) 1 (1 res γ + + γ2, (5.3) donde k es el número de ondas de la resonancia. Usando las condiciones γ, γ/k 1 para despreciar γ 1 en el primer paréntesis y 1 γ 2 /k 2 en el segundo,3 y sustituyendo k = nπ/, resulta k 2 y por lo tanto d dk cot δ 0(k) γ2 3 n 2 π 2, (5.4) Γ (n) 2π3 2 n 3 mγ 2 4 = 4πn (γ) 2 E(n). (5.5) Como habíamos deducido, las anchuras están controladas por el parámetro (γ) 1 : a medida que γ aumenta, la resonancia se hace más estrecha. Nótese, por otra parte, que la condición γ k nos ha llevado, consistentemente, a la aproximación γ nπ la aproximación funcionará mejor para las resonancias a baja energía. 6. Comparación con resultados exactos Es instructivo estudiar hasta qué punto nuestras aproximaciones funcionan bien desde el punto de vista cuantitativo, comparando resultados exactos con los que se obtienen al orden dominante de la expansión en γ y γ/k. Por ejemplo, para γ = 20 y γ = 100 las posiciones exactas de la primera resonancia son k i y k i, respectivamente, mientras que la predicción aproximada era k π. En términos de energías y anchuras, se tiene: γ m2 E (approx) 2 m 2 Γ (approx) m2 E (exact) 2 2 m 2 Γ (exact) También para Γ se confirma que la aproximación funciona mejor para el valor de γ más alto. La teoría general de dispersión nos dice que alrededor de estas resonancias estrechas la sección eficaz total será aproximadamente un pico lorentziano dado por la fórmula de Breit-Wigner; así, usando los valores exactos de (E, Γ) las resonancias apenas discutidas tendrán el siguiente aspecto: 3 Mantener estos términos generaría parte de las correcciones subdominantes, pero se aplica un comentario similar al realizado antes sobre las correcciones a las energías de resonancia aproximadas. 5

6 En este plot la energía está normalizada al valor del estado fundamental del pozo infinito E (0) = 2 π 2, así que el pico aparece cerca del valor 1 de la abscisa predicho 2m 2 por la aproximación (4.4). Obviamente, la aproximación es mejor para el valor mayor de γ, que corresponde también a la resonancia más estrecha. 7. Interpretación y manifestaciones experimentales La conclusión final de este análisis es que para γ muy grande (medido en términos de y k) el potencial se convierte en una barrera impenetrable, y las resonancias tienden a localizarse en las energías de los estados ligados confinados en su interior, haciéndose cada vez más estables (Γ más pequeña vida media τ = /Γ mayor) a medida que γ aumenta. Desde este punto de vista, la aproximación hecha para obtener expresiones analíticas para las resonancias ha resultado ser muy útil, porque nos ha proporcionado una interpretación física interesante del problema sin necesidad de analizar todos los detalles de la solución exacta para cot δ 0. Veamos cómo se manifiestan estas propiedades en el resultado exacto para la sección eficaz, fácilmente obtenible con programas de manipulación algebraica como Mathematica o Maple. Si usamos la expresión de la amplitud de dispersión (1.3) para calcular la sección total eficaz en onda S σ = 4π 2 f 0 2, y la dibujamos e.g. para γ = 100 6

7 Σ 2 Π vemos claramente los picos de resonancia que hemos predicho, situados cerca de los valores {1, 4, 9,...} de la abscisa. Dichos picos aparecen superpuestos a una dependencia no trivial de σ de la energía, caracterizada por una oscilación cuyos máximos presentan alturas similares a las de las resonancias. Finalmente, en los valles entre dichos picos, justo en los valores {1, 4, 9,...} y, por lo tanto, muy cerca de las resonancias, la sección eficaz se anula (efecto amsauer-townsend). Evidentemente, cuando γ disminuye y la anchura de las resonancias aumenta los dos tipos de picos se solapan, y la estructura de la sección eficaz total es menos nítida por ejemplo, para γ = 20: Σ 2 Π El origen de estas tres características prominentes de la sección eficaz (ceros, oscilaciones entre ceros, resonancias) se entiende fácilmente mirando el correspondiente gráfico de cot δ 0, e.g. para γ = 100: 7

8 Los puntos en los que σ = 0 corresponden a las divergencias de cot δ 0 a k = nπ/, mientras que los máximos locales de σ corresponden a los ceros de cot δ 0. Las resonancias, por definición, son los ceros con pendiente de cot δ 0 negativa (lo que hace que a) Γ, dada por la ecuación (5.1), sea positiva; b) la sección eficaz presente una forma de Breit-Wigner a la correspondiente energía; y c) la amplitud de dispersión presente un polo). Los ceros con pendiente positiva, que no generan polos en la amplitud de dispersión y no son resonancias, corresponden a las soluciones (I) de (2.1). 4 Este modelo proporciona un laboratorio teórico simple para entender fenómenos como la interacción de electrones libres con las capas electrónicas en orbital S de gases nobles, o la dispersión de núcleos atómicos con capas cerradas; de hecho, no es casual que la estructura de la serie de resonancias recuerde la de las líneas que aparecen en espectroscopía atómica. Es notable que sea posible generar una estructura tan rica con un potencial que depende sólo de dos parámetros, γ y. La sección 4.4(c) del libro de Gottfried y Yan contiene una discusión mucho más detallada de este problema, con algunas pequeñas diferencias técnicas debidas a que los autores consideran la versión en una dimensión (que por otra parte es totalmente equivalente al sector en onda S del problema tridimensional). 4 La fuerte dependencia de la energía de cot δ 0 cerca de k = nπ/, donde pasa de anularse a divergir en un intervalo pequeño, se ve explícitamente en la ecuación (5.4): la derivada de la cotangente es proporcional a (γ) 2 1. Como se mencionó anteriormente, esta estructura complicada de cot δ 0 hace que el análisis de las resonancias sea delicado. En este sentido, la identificación no ambigua de las resonancias a partir de los polos de la amplitud evita el farragoso trabajo de estudiar todos los ceros de cot δ 0 y el signo de la pendiente en los mismos cerca de una divergencia. 8