1. Propagación de ondas en los sólidos. 2. Interacción de los sólidos iónicos con la radiación IR 3. Calor específico. 4. Temperatura de fusión.

Transcripción

1 La aproximación armónica ha permitido predecir alguno de los comportamientos característicos de los sólidos. En los apartados previos hemos visto que esta aproximación permite entender fenómenos como: 1. Propagación de ondas en los sólidos. 2. Interacción de los sólidos iónicos con la radiación IR 3. Calor específico. 4. Temperatura de fusión. Sin embargo esta aproximación no es capaz de dar cuenta de algunos otros fenómenos físicos característicos de los materiales cristalinos. Los más llamativos y que revisaremos de forma cualitativa son: 1. Expansión térmica 2. Interacción fonón-fonón. 3. Conductividad térmica.

2 Algunas nociones sobre la aproximación armónica La energía potencial para dos átomos que interactúan tiene la forma de la figura. Las fuerzas atractivas y repulsivas existentes dan lugar a un mínimo de energía en el que se sitúa la distancia de equilibrio entre estos átomos. Sin embargo el potencial no es simétrico. Como se ve en la figura, solo para un entorno muy pequeño de la distancia de equilibrio el potencial se puede considerar armónico ( es decir parabólico con la distancia.).

3 Dilatación térmica Cuando aumentamos la temperatura las amplitudes de vibración de un átomo en el modelo armónico se van a ver incrementadas (ver apartado previo sobre la dilatación térmica), sin embargo su posición media (x 1, x 2, x 3 ) no varía (ver figura adjunta) y por tanto las distancias entre átomos no pueden modificarse. Por tanto un sólido en el modelo armónico no puede dilatarse Si se considera un potencial más realista, similar al bien conocido que rige la interacción entre átomos, un incremento de la temperatura incrementará la distancia entre átomos vecinos tal y como muestra la figura (x 1, x 2, x 3 ) como consecuencia de la asimetría de la función potencial con respecto a la posición de equilibrio.

4 Por tanto vamos a necesitar considerar términos cúbicos y superiores en los desplazamientos para poder explicar ciertos propiedades. En una dimensión podríamos manejar una expresión del tipo U(x)=Cx 2 -g x 3 -fx 4 Donde típicamente el término gx 3 permite tener una asimetría en la curva y el término fx 4 da mayor anchura a la base de la parábola.

5 Usando el potencial previo podemos hacer una primera estimación de la dependencia de la distancia entre átomos mediante la estadística de Boltzmann. Es decir tal y como habíamos visto, de forma cualitativa, en la aproximación armónica, el sólido no dilata

6 Se usa e x 1+x

7 Y obtenemos que el sólido tiene un coeficiente de dilatación α l constante. Por tanto queda probado que la introducción de un potencial anarmónicoimplica que la existencia de dilatación térmica en el sólido. Una consecuencia de este hecho es que al depender las distancias entre átomos de la temperatura también lo harán las constantes de fuerza y por ello habrá una dependencia de las frecuencias propias con la temperatura o visto de otro modo con el volumen del sólido

8 Partiendo del resultado para el valor promedio de la posición podemos hacer un cálculo más aproximado si sustituimos KT por la energía determinada para el sistema cuántico. A altas temperaturas se recupera el resultado del que partíamos.

9 Vemos con esta sencilla aproximación que las dependencias con la temperatura del coeficiente de dilatación térmica y del calor específico van a ser similares.

10 Relación entre la dilatación térmica y el calor específico. El parámetro de Grüneisen. Se puede encontrar una relación entre el coeficiente de dilatación térmica y el calor específico dentro de la aproximación anarmónica(ahscroftpag ) que viene dada por: Donde c v es el calor específico 3 B es el modulo de compresibilidad Y γes el parámetro de Grüneisendado por: γda cuenta de como se modifican las relaciones de dispersión del sólido por el hecho de que el sólido dilate (modifique su volumen V)

11 El valor de γdepende muy ligeramente de la temperatura para los sólidos aislantes a temperaturas próximas a 0 K y también a temperaturas superiores a la temperatura de Debye. También el parámetro B es muy poco dependiente de la temperatura. Por tanto en estos rangos de temperatura el coeficiente de dilatación sigue la tendencia del calor específico.

12 El valor de γdepende muy ligeramente de la temperatura para los sólidos aislantes a temperaturas próximas a 0 K y también a temperaturas superiores a la temperatura de Debye. También el parámetro B es muy poco dependiente de la temperatura. Por tanto en estos rangos de temperatura el coeficiente de dilatación sigue la tendencia de el calor específico.

13 En la tabla anterior se ve que el parámetro γes sensiblemente parecido en todos los sólidos si bien suele variar con el tipo de enlace. Por ello algunos autores clasifican el carácter iónico-covalente o covalente de los sólidos a partir de valores del parámetro γ. Este parámetro es también interesante porque permite correlacionar estados vibracionales microscópicos con parámetros macroscópicos termodinámicos (c v, B, α, etc). Finalmente y dada su definición γes un parámetro que mide la anarmonicidad del sólido