2. Dispersión elástica a dos cuerpos: análisis en ondas parciales.

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena Dispersión elástica a dos cuerpos: análisis en ondas parciales. [Ros XVI.4, Ynd 21.5] Cinemática y propiedades generales de funciones de onda Empearemos recordando algunas propiedades básicas del comportamiento de un partícula cuántica en un potencial central. Esto será útil para construir un formalismo que permita relacionar las propiedades de dicho potencial con los observables de dispersión. Ecuación de Schrödinger Consideramos la ecuación de Schrödinger estacionaria para una partícula en un potencial central. En particular, dicha ecuación describe un sistema de dos partículas en el sistema de referencia c.m. Nos concentramos en autoestados del hamiltoniano con momento angular total y tercera componente del momento angular bien definidos, Ĥψ Ell (r) = Eψ Ell (r), ˆL 2 ψ Ell (r) = 2 l(l + 1)ψ Ell (r), ˆL ψ Ell (r) = l ψ Ell (r). (2.1) Separando variables, la dependencia angular de la función de onda está dada por los armónicos esféricos, ψ Ell (r) = χ El (r)y l l (θ, ϕ) = 1 r u El(r)Y l l (θ, ϕ), ˆL 2 Yl l (θ, ϕ) = 2 l(l + 1)Yl l (θ, ϕ), ˆL Yl l (θ, ϕ) = l Yl l (θ, ϕ), (2.2) y toda la información dinámica no trivial está contenida en la ecuación de onda para la componente radial, u 2m El (r) + 2 [E V eff(r)] u El (r) = 0, V eff (r) := V (r) + 2 l(l + 1) 2mr 2. (2.3) Funciones de onda para partículas libres En el caso de una partícula libre, V = 0, es natural elegir autoestados simultáneos de Ĥ y el operador momento, ya que [Ĥ0, ˆp j ] = 0 j. En general dichos autoestados

2 2-2 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena son ondas planas, φ p (r) = e ip r/ = e ik r ; k := p, E = p2 2m = 2 k 2 2m. (2.4) donde k es el vector número de ondas. La normaliación de estos estados es φ p φ p = (2π ) 3 δ (3) (p p ). (2.5) La forma de la descomposición de una onda plana en la base de armónicos esféricos, en un sistema de referencia en el que k, es e ik r = e ikr cos θ = i l (2l + 1)P l (cos θ)j l (kr), (2.6) 4π donde P l (cos θ) = 2l+1 Y 0 l(θ, ϕ) es el polinomio de Legendre de orden l y j l es una función de Bessel esférica, cuya relación con la función ordinaria de Bessel es π j l (x) = 2x J l+ 1 (x). (2.7) 2 En el apéndice se recuerdan algunas propiedades de las funciones de Bessel esféricas de primera y segunda especie. Nótese que si se resuelve directamente (2.3) para V = 0 se obtiene u El (r) = r [Aj l (kr) + By l (kr)], (2.8) donde y l es una función de Bessel esférica de segunda especie y A, B son constantes de integración determinadas por las condiciones de contorno. Como y l diverge para valores pequeños de su argumento (cf. apéndice), y el requisito de que ψ Ell sea regular en el origen inmediatamente implica u El (0) = 0, es inmediato B = 0 u El (r) = Aj l (kr). Multiplicando por los armónicos esféricos y sumando sobre todos los valores l del momento angular se recupera, a menos de una normaliación irrelevante, el resultado (2.6). Comportamiento de la función de onda en r 0 Supongamos que el potencial satisface la condición lim r 0 r2 V (r) = 0, (2.9) i.e. es finito en el origen o, si diverge, lo hace más despacio que r 2. En tal caso el potencial efectivo V eff en (2.3) está dominado, para valores pequeños de r, por el

3 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena 2-3 término de barrera centrífuga, que además será siempre arbitrariamente mayor que la constante E. Por lo tanto la función de onda radial satisfará u El (r) l(l + 1) r 0 r 2 u El (r) u El (r) Ar l+1 + Br l, (2.10) r 0 donde A, B son constantes de integración determinadas por las condiciones de contorno. Como la regularidad de la función de onda en el origen de coordenadas está garantiada sólo si u El (0) = 0, esto inmediatamente implica B = 0. Por lo tanto, ψ Ell (r) r 0 Ar l Y l l (θ, ϕ). (2.11) En particular, la probabilidad de encontrar la partícula en r = 0 se anula para l 1; este es el análogo cuántico del hecho de que para L > 0 la trayectoria de una partícula clásica nunca se acerca a menos de una cierta distancia mínima al centro del potencial en que se mueve. Comportamiento de la función de onda en r Supongamos que el potencial satisface la condición de corto alcance lim rv (r) = 0. (2.12) r Esto inmediatamente implica que, para r, tanto V (r) como, por supuesto, el término de barrera centrífuga son despreciables respecto a E en (2.3). 1 Por lo tanto, con E > 0 u 2mE El (r) + 2 u El (r) 0 u El (r) A l (k) sin[kr + l (k)], r r k 2 := 2mE 2, (2.13) mientras que E < 0 daría lugar a soluciones de tipo estado ligado, con una ley de disminución exponencial. Las constantes de integración A l, l, cuya dependencia del número de ondas k (i.e. de la energía) hemos enfatiado, estarán determinadas por las condiciones de contorno del problema. Nótese que el caso de una partícula libre se tiene u El (r) = Arj l (kr) A r k sin(kr l π ), (2.14) 2 como resultado de haber impuesto la regularidad de la función de onda en el origen. En el caso general V 0, el valor del desfase l será distinto de l π 2, y contendrá 1 Nótese que, en particular, el potencial de Coulomb no es de este tipo. Aunque la condición requerida es más fuerte que la propiedad lim r V (r) = 0 que bastaría para poder despreciar V respecto a E en la ecuación de onda radial, cuando tratemos explícitamente el caso coulombiano veremos que es realmente necesario que el potencial decaiga más rápidamente que r 1 en el infinito.

4 2-4 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena información sobre la dinámica asociada al potencial. Para enfatiar la diferencia con el caso libre, se adopta la convención de escribir el comportamiento asintótico de la función de onda radial como u El (r) A l (k) sin[kr + δ l (k) l π ], (2.15) r 2 y las cantidades δ l (k) son llamadas de(s)fasajes o fases de dispersión. Descomposición de la amplitud de dispersión en ondas parciales Al concebir un experimento de dispersión y derivar la relación entre la función de onda del sistema y la sección efica que se observará en el mismo, hemos supuesto que el comportamiento asintótico está dado por la condición de radiación de Sommerfeld ψ(r) e ik r + f(k, θ) eikr r r. (2.16) Por otra parte, hemos apenas estudiado la forma asintótica de la función de onda en un canal específico de momento angular. Para conectar los dos resultados, consideremos la descomposición de la amplitud de dispersión f en armónicos esféricos, f(k, θ) := 1 (2l + 1)a l (k)p l (cos θ), (2.17) k donde ya estamos implícitamente asumiendo un sistema de coordenadas en el que k, y k es el número de ondas del ha incidente. Los coeficientes a l (k) son llamados amplitudes de dispersión en onda parcial. Como es habitual, nos referiremos a l = 0 como canal en onda S, l = 1 como canal en onda P etc. Si sustituimos (2.17) y (2.6) en (2.16) tenemos ψ(r) r (2l + 1)P l (cos θ) il 1 2kr Por otra parte, dada (2.15) ψ(r) = r u El (r) r 1 kr { [1 + 2ia l (k)] e ikr l π 2 e i(kr l π 2 )}. (2.18) 2l + 1 4π P l(cos θ) i l (2l + 1)e iα l sin[kr + δ l (k) l π ]P 2 l(cos θ). Nótese que hemos fijado convenientemente la constante A l (k) de (2.15) como (2.19) A l (k) = 4π(2l + 1) i l e iαl(k), (2.20) k

5 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena 2-5 para que la normaliación de la función de onda coincida con la fijada implícitamente por (2.16). Finalmente, igualando ambas expresiones e imponiendo que los coeficientes de P l sean iguales l se llega a α l (k) = δ l (k), y a l (k) = e iδ l(k) sin δ l (k) = e2iδ l(k) 1 2i. (2.21) Esta expresión proporciona la relación deseada entre observables microscópicos y macroscópicos: las fases δ l (k), que contienen toda la información sobre la interacción, están relacionadas unívocamente con la proyección en el canal en onda l de la amplitud de dispersión, que a su ve determina la sección efica: V (r) δ l (k) dσ dω Sección efica total: teorema óptico Dada la descomposición en ondas parciales de la amplitud de dispersión (2.17), es fácil obtener la descomposión en ondas parciales de la sección efica total σ: σ(k) = dω dσ dω = dω f(k, θ) 2 = 4π (2l + 1)(2l k 2 + 1)a l (k)a l (k) dω (Y0 l ) Y0 l l,l =0 }{{} (2.22) =δ ll = 4π k 2 (2l + 1) a l (k) 2 = 4π k 2 (2l + 1) sin 2 δ l (k) := σ l (k). Por otra parte, usando (2.17) es fácil comprobar que Im f(k, θ = 0) = 1 (2l + 1)Im[a l (k)] P l (1) = 1 k }{{} k =1 ergo (2l + 1) sin 2 δ l (k), (2.23) σ(k) = 4π k Im f(k, θ = 0), (2.24) i.e. la sección efica total de dispersión (elástica) está determinada por la parte imaginaria de la amplitud de dispersión hacia adelante (ángulo de dispersión θ = 0). Este resultado es llamado teorema óptico. Más adelante veremos que se puede generaliar a procesos de dispersión cualesquiera, y que es una consecuencia profunda de la conservación de la probabilidad (unitaridad de la evolución temporal) de la teoría cuántica.

6 2-6 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena Propiedades generales de las fases de dispersión Las propiedades asintóticas de la función de onda cruciales para proporcionar sentido a un experimento de dispersión dependen de manera crucial del concepto de potencial de corto alcance, que a nivel intuitivo no es más que la condición de que las partículas se comporten de manera esencialmente libre dentro de la región de interacción. Idealmente, el tamaño de dicha región está determinado por un parámetro r 0, de modo que a efectos prácticos V (r) r r 0 0. (2.25) La existencia de una escala de longitud intrínseca r 0 en el problema permite calibrar las demás cantidades físicas; en particular, los números de onda tales que kr 0 1, correspondientes a longitudes de onda Compton λ = 2π/k r 0, corresponderán al régimen de energías pequeñas, y viceversa. Bajo esta hipótesis, es fácil desarrollar argumentos heurísticos que permiten conectar propiedades cualitativas del potencial con el comportamiento de las fases de dispersión como función de la energía. Los detalles se pueden encontrar en el apéndice que sigue. En particular, se prueban las siguientes propiedades: (i) Comportamiento a bajas energías: en un potencial de tamaño r 0 y comportamiento regular para r 0 se tiene δ l (k) cte. (kr 0) 2l+1, (2.26) kr0 0 i.e. la dependencia de las fases de dispersión de la energía sigue una ley de potencia con exponente determinado por el valor del momento angular. Esto, a su ve, genera una jerarquía entre los distintos canales de momento angular, y hace que a bajas energías la sección efica total esté dominada por el canal en onda S; en particular σ(k) 4π kr0 0 k 2 sin2 δ 0 (k) 4π k 2 δ2 0(k) 4πr0 2, (2.27) i.e. los valores naturales de la sección efica son el área superficial 4πr 2 0 de la región esférica en la que la interacción no es despreciable. (ii) Carácter atractivo/repulsivo del potencial: el signo de las fases de dispersión en el régimen de baja energía está determinado por el signo del potencial, i.e. por su carácter atractivo o repulsivo: signo{δ l } signo{v }. (2.28) Nótese que, desde el punto de vista de la función de onda radial, δ l (k) es simplemente el desfase respecto a la oscilación característica de una onda esférica;

7 db I dθ dϕ b dϕ θ Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena 2-7 O la propiedad que acabamos de enunciar permite establecer el carácter cualitativo de la fuera de interacción estudiando si el desfase retrasa o adelanta la oscilación. χ El (r) δ l (k) < 0 V > 0 δ l (k) =0 r δ l (k) > 0 V < 0

8 2-8 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena Apéndice: propiedades de las funciones de Bessel esféricas Las funciones j n () = ( 1) n n [ 1 d d y n () = ( 1) n+1 n [ 1 ] n ( ) sin ; n = 0, 1, 2,..., ] d n (cos ) ; n = 0, 1, 2,... d (2.29) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial x 2 f (x) + 2xf (x) + [x 2 n(n + 1)]f(x) = 0. (2.30) Su expansión en serie de Laurent para valores pequeños del argumento es [ ] j n () = n 1 (2n + 1)!! + O(2 ), y n () = (n+1) [ (2n 1)!! + O( 2 ) ], (2.31) mientras que para se encuentra el comportamiento asintótico j n () y n () 1 sin ( n π ), 2 (2.32) 1 cos ( n π ). 2 Apéndice: propiedades de las fases de dispersión Para demostrar las propiedades enunciadas realiaremos varias manipulaciones de las funciones de onda radiales, bajo la hipótesis de que su comportamiento en la región r r 0 sea regular. Esto esencialmente significa que las funciones de onda no se anulen y sean monótonas, aunque el enunciado preciso de las propiedades necesarias se puede volver complicado en potenciales concretos. Trabajaremos utiliando χ El (r) = u El (r)/r; la versión fuerte de la hipótesis de alcance limitado es que para r > r 0 la función de onda se pueda aproximar bien con la solución de la ecuación V = 0 que posee la forma asintótica correcta en r, i.e. χ El (r) r r 0 χ (0) El (r) := C [j l(kr) cos δ l (k) y l (kr) sin δ l (k)] C r r sin[kr + δ l(k) lπ/2], (2.33)

9 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena 2-9 donde C es una normaliación irrelevante. La propiedad básica en que nos apoyaremos (demostrada en Messiah I, III-8) es la siguiente: dado un potencial de soporte compacto V (r) = r>r0 0, (2.34) la derivada logarítmica de la función de onda radial evaluada en r 0 γ l (k) := χ El (r) χ El (r) (2.35) r=r0 es una función monótona decreciente de la energía. En adelante, supondremos que aunque V no sea estrictamente cero para r > r 0 esta propiedad se mantiene, de manera que γ l es una función bien comportada; y supondremos además que es una buena aproximación usar (2.33) para obtener Esto es equivalente a γ l (k) γ (0) l (k) := k j l (kr 0) cos δ l (k) y l (kr 0) sin δ l (k) j l (kr 0 ) cos δ l (k) y l (kr 0 ) sin δ l (k). (2.36) tan δ l (k) γ l(k)j l (kr 0 ) kj l (kr 0) γ l (k)y l (kr 0 ) ky l (kr 0). (2.37) Para estudiar el comportamiento de baja energía de las fases de dispersión, basta considerar el límite kr 0 0 de (2.37). Utiliando los términos dominantes de la serie de Laurent para j l, y l se llega inmediatamente a tan δ l (k) kr0 0 { l r0 γ l l r 0 γ l 1 (2l 1)!!(2l + 1)!! } (kr 0 ) 2l+1, γ l := lim k 0 γ l (k). (2.38) Si el denominador de esta expresión no tiene un cero, esto inmediatamente implica que para kr 0 pequeño tan δ l (k) es proporcional a (kr 0 ) 2l+1, y a su ve pequeña; luego se sigue tan δ l (k) δ l (k) cte. (kr 0 ) 2l+1, (2.39) como habíamos enunciado. La excepción r 0 γ l (l + 1) haría que el denominador explotara; como veremos más adelante, esto corresponde a la situación en que aparece una resonancia en canal l a baja energía. Para derivar la propiedad relativa al signo del potencial es necesario trabajar algo más, e introducir hipótesis adicionale. En primer lugar definimos la cantidad adimensional ɛ l (k) := 1 k [ γ l (k) γ (0) l ] (k), (2.40)

10 2-10 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena que cuantifica la bondad de la aproximación (2.36). Por otra parte, se puede manipular la expresión (2.37) convirtiéndola en donde tan δ l (k) ɛ l (k)j 2 l (kr 0) ɛ l (k)j l (kr 0 )y l (kr 0 ) + W [j l (kr 0 ), y l (kr 0 )], (2.41) W [j l (x), y l (x)] := j l (x)y l(x) j l (x)y l (x) (2.42) es el wronskiano de j l, y l. encuentra Usando las propiedades de las funciones de Bessel se W [j l (x), y l (x)] = 1 x 2, (2.43) ergo tan δ l (k) En el caso en que efectivamente ɛ l (k) 1, esto implica (kr 0 ) 2 ɛ l (k)j 2 l (kr 0) (kr 0 ) 2 ɛ l (k)j l (kr 0 )y l (kr 0 ) 1. (2.44) tan δ l (k) (kr 0 ) 2 ɛ l (k)j 2 l (kr 0), (2.45) y como el miembro derecho es pequeño lo será también la tangente, y valdrá tan x x, así que finalmente δ l (k) (kr 0 ) 2 ɛ l (k)j 2 l (kr 0). (2.46) Por otra parte, manipulando la definición de ɛ l (k) se obtiene y como ɛ l (k) = χ El (r)χ(0) El (r) χ El(r)χ (0) El (r) kχ El (r)χ (0) El (r), (2.47) d [ ] χ El dr (r)χ(0) El (r) χ El(r)χ (0) El (r) = χ El (r)χ(0) El (r) χ El(r)χ (0) El (r) = (eq. Schrödinger) se sigue [ χ El (r)χ(0) El (r) χ El(r)χ (0) El (r) ]r=r 0 = = V (r)χ El (r)χ (0) El (r) r0 0 (2.48) dr V (r)χ El (r)χ (0) El (r) (2.49)

11 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena 2-11 y, finalmente ɛ l (k) = 1 k r0 0 dr V (r) χ El(r)χ (0) El (r) χ El (r 0 )χ (0) El (r 0). (2.50) Si tanto el potencial como la función de onda radial son suaves en [0, r 0 ] y no cambian de signo, esto implicaría que el signo de ɛ l está determinado por el de V ; pero como (2.46) enseña que los signos de δ l y ɛ l son opuestos, se sigue la propiedad enunciada.

12 2-12 Mecánica Cuántica Avanada Carlos Pena