CAPÍTULO 2 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA. CONCEPTOS BÁSICOS

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1 CAPÍTULO ELEMENTOS FINITOS DE BARRA. CONCEPTOS BÁSICOS. INTRODUCCIÓN Desde un punto de vista estricto, a mayor parte de as estructuras deberían casificarse dentro de o que en e capítuo precedente hemos denominado sistemas estructuraes continuos con infinitos grados de ibertad y, por tanto, para conocer su comportamiento frente a a acción de cargas exteriores debería ser necesario integrar as correspondientes ecuaciones diferenciaes de equiibrio. Sin embargo, este tipo de anáisis es con frecuencia difíci, o imposibe, debido a a geometría de a estructura, a naturaeza de as condiciones de contorno, a distribución de as propiedades mecánicas de os materiaes, e tipo de cargas, etc., y en a práctica es necesario utiizar métodos más simpificados que permitan anaizar a estructura de manera aproximada. E método de os eementos finitos es uno de os procedimientos que existen para aproximar e comportamiento de una estructura con infinitos grados de ibertad por e de otra, con aproximadamente as mismas propiedades físicas y geométricas, pero con un número finito de grados de ibertad, cuyas ecuaciones de equiibrio pueden expresarse por un sistema agebraico de ecuaciones simutáneas con un número imitado de incógnitas. E objetivo de este capítuo es introducir os conceptos básicos de método de os eementos finitos mediante su apicación a anáisis de sencios probemas de barras sometidas únicamente a fuerzas axies. La organización de capítuo es a siguiente: En primer ugar se estudia detaadamente a soución de probema de tracción (o compresión) de barras con eementos finitos unidimensionaes de dos nodos, incidiendo en as anaogías con a soución de cácuo matricia de estructuras estudiada en e capítuo precedente y presentándose varios ejempos de apicación. Tras eo, se introducen os conceptos básicos de a formuación matricia de eementos finitos que será utiizada a o argo de curso..

2 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos. BARRA SOMETIDA A FUERZAS AXILES Consideremos una barra de ongitud sometida a una fuerza por unidad de ongitud b(x), y a un sistema de fuerzas puntuaes X i apicadas en p puntos diferentes x i. Todas as fuerzas actúan en a dirección de eje de a barra (ver Figura.). La barra puede tener despazamientos prescritos u j en m puntos distintos x j. A deformarse a barra por acción de as fuerzas exteriores y/o por os despazamientos impuestos, aparecen en su interior tensiones σ(x) y deformaciones ε(x) du, que en materiaes eásticos están reacionadas entre sí en cada punto por a ey de Hooke σ Eε E du (.) donde E es e móduo de easticidad de a barra. Figura. Barra sometida a fuerzas axies. En a configuración de equiibrio de a barra, as tensiones y as fuerzas exteriores satisfacen e Principio de os Trabajos Virtuaes (PTV) que se definió en e Apartado..Dicho principio se expresa en forma matemática para e probema de a barra que tratamos como p V δε σ dv δu b + δu i X i (.) 0 i donde δu y δε son e movimiento y deformación virtua genéricos de un punto de a fibra media de a barra; δu i es e movimiento virtua de punto de actuación de a carga puntua X i,yv es e voumen de a barra. E segundo miembro de (.) representa e trabajo virtua de as fuerzas exteriores sobre os despazamientos virtuaes δu, mientras que a integra de primer miembro es e trabajo virtua interno que reaizan as tensiones reaes en a barra σ sobre as deformaciones virtuaes δε. Teniendo en cuenta que dv da, donde A es e área de a sección transversa, a ecuación (.) queda, tras efectuar a integración correspondiente y utiizar (.), como du p δε EA 0 δu b + δu i X i (.3) 0 i Puede demostrarse [T7] que e probema de obtener a configuración de equiibrio de a barra bajo a actuación de as fuerzas exteriores se reduce a.

3 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA encontrar e campo de despazamientos u(x) que satisfaga (.3) y as condiciones de contorno sobre os despazamientos prescritos (condiciones cinemáticas). La soución aproximada de este probema por e método de os eementos finitos consiste simpemente en encontrar un campo de despazamientos aternativo que aproxime u(x) y que, asimismo, satisfaga a ec.(.3) y as condiciones cinemáticas. Para aproximar e campo de despazamientos u(x) escogemos a opción más sencia, utiizando funciones poinómicas definidas ocamente para cada eemento, como u(x) ū(x) a o + a x + a x + + a n x n n a i x i (.4) i En (.4) ū(x) es e campo de despazamientos aproximado y n es e número de puntos de eemento donde se supone conocido e despazamiento. Dichos puntos se denominan nodos. Por otra parte, a o, a,..., a n son constantes que dependen únicamente de os vaores de despazamiento ū(x) en os nodos. Para mayor senciez de a notación, en o sucesivo no haremos distinción entre e campo de despazamientos u(x) y e campo aproximado ū(x). En a práctica es usua escribir (.4) como u(x) N (e) (x)u(e) + N (e) (x)u(e) + + N n (e) (x)u (e) n n N (e) i (x)u (e) i (.5) i donde N (e) (x),..., N(e) n (x) son as funciones de interpoación poinómicas definidas en e dominio de eemento (denominadas funciones de forma) yu (e) i es e vaor aproximado de despazamiento en e nodo i. La función N (e) i (x) interpoa dentro de eemento únicamente os despazamientos correspondientes a nodo i y por eo se denomina función de forma de nodo i. Sededucede(.5) que para que u(x) coincida con u (e) i en e nodo i, a función de forma N (e) i (x) hadevaer uno en e nodo i y cero en e resto de os nodos. La sustitución de a expresión aproximada de u(x) paracadaeementoene PTV permite obtener as ecuaciones agebraicas de equiibrio de a estructura, en función de os despazamientos de os nodos de a maa de eementos finitos. Dichas ecuaciones pueden escribirse en a forma matricia: Ka f (.6) donde, por anaogía con e cácuo matricia de estructuras de barras, K se denomina matriz de rigidez de a maa de eementos finitos, y a y f vectores de despazamientos y de fuerzas nodaes, respectivamente. Tanto K como f pueden obtenerse a partir de as contribuciones individuaes de cada eemento, como ocurría en e anáisis matricia de estructuras de barras. La soución de (.6) proporciona os vaores de os despazamientos nodaes a partir de os que pueden encontrarse as deformaciones y tensiones en e interior de cada eemento. Para iustrar todos estos conceptos estudiaremos en os apartados siguientes e anáisis de una barra de sección constante mediante dos maas de uno y dos eementos finitos unidimensionaes de dos nodos, respectivamente..3

4 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos.3 BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE. DISCRETIZACIÓN EN UN ELEMENTO LINEAL Sea a barra de sección constante de a Figura.. Para empezar discretizaremos a barra en un único eemento de barra de dos nodos que definen una variación inea de despazamiento u(x) en su interior como u(x) a o + a x (.7) Lógicamente u(x) tiene que tomar en os nodos y os vaores u () y u (), respectivamente. Es decir u(x () ) u() y u(x () ) u() (.8) siendo x () y x () as coordenadas de os nodos y. E índice indica que os vaores se refieren a eemento número. Figura. Barra de sección constante. Discretización en un eemento de barra de dos nodos. Sustituyendo as condiciones (.8) en (.7) se obtiene e sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente u () a o + a x () u () a o + a x () (.9).4

5 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA de donde pueden despejarse as constantes a o y a a o x() u() x () u() x () x () y a u() u () x () x () (.0) Sustituyendo (.0) en (.7), puede reescribirse ésta como u N () (x)u() + N () (x)u() (.) donde N () y N () son as funciones de forma de os nodos y de eemento, respectivamente, que tienen a expresión siguiente N () (x) x() x () ; N () x x() (x) () (.) siendo () x () x () a ongitud de eemento. Se deduce de (.) que cada función de forma N () i (i, ) varía ineamente en e interior de eemento y vae uno en e nodo i yceroeneotronodo(verfigura.). Estaútima propiedad es consecuencia directa de a definición oca de a aproximación poinómica (.) y permite siempre anticipar a geometría de as funciones de forma de eemento, como veremos en repetidas ocasiones. Antes de seguir conviene tener bien cara a diferencia entre a numeración noda oca y goba. En a Taba. se muestra dicha distinción para os números de os nodos, as coordenadas y os despazamientos nodaes. Obsérvese que debido a que sóo hemos tomado un eemento os números ocaes y gobaes coinciden. Eemento nodos coordenadas despazamiento oca goba oca goba oca goba x () x u () u x () x u () u Taba. Parámetros ocaes y gobaes en e ejempo de a Figura.. Las derivadas de as funciones de forma se pueden escribir como dn () () y dn () () (.3) De esta manera se puede obtener a deformación axia en cuaquier punto dentro de eemento por ε du dn() u () + dn() u () u() () + u() () (.4).5

6 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos Obsérvese que por ser as funciones de forma ineaes a deformación es constante sobre e eemento. Las fuerzas entre eementos se transmiten únicamente a través de os nodos. Dichas fuerzas nodaes, que denominaremos de equiibrio, pueden cacuarse para cada eemento haciendo uso de PTV, que se escribe para e eemento considerado como x () x () δε EAε x () x () δub + δu () X() + δu () X() (.5) donde δu (), δu(), X() y X () son os despazamientos virtuaes y as fuerzas nodaes de equiibrio de os nodos y de eemento, respectivamente. E despazamiento virtua puede también interpoarse en función de os despazamientos virtuaes de os dos nodos de eemento. Así, de acuerdo con (.), puede escribirse δu N () δu () + N () δu () (.6) Por otra parte, a deformación virtua puede expresarse en función de os despazamientos virtuaes nodaes como δε d (δu) dn() δu () + dn() δu () (.7) La ec.(.5) se escribe, tras sustituir convenientemente (.), (.3) y (.4), como x () x () [ dn () δu () + dn() δu () ] [ dn () (EA) u () + dn() u () ] () x [ () N x () δu () + N () δu () ] () b δu X() + δu () X() (.8) y, agrupando términos δu () [ x () x () x () x () ( dn () N () + dn() (EA) dn() ] () b X() + δu (EA) dn() u () + dn() [ x () x () u () ) () x x () ( dn () (EA) dn() N () (EA) dn() u () ) u () + ] b X() 0 (.9).6

7 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA Como os despazamientos virtuaes son arbitrarios, e cumpimiento de (.9) para cuaquier vaor de δu () y δu () obiga a que os vaores de os corchetes sean nuos, o que proporciona as dos ecuaciones siguientes: x () x () ( dn () (EA) dn() u () + dn() x () x () (EA) dn() u () ) N () b X() 0 x () x () ( dn () (EA) dn() u () + dn() () x x () (EA) dn() u () ) N () b X() 0 (.0) De sistema de ecuaciones anterior se deducen os vaores de X () y X (). En forma matricia ( () () () dn x dn ) ( () () (EA) dn dn ) (EA) x () ( () () dn dn ) ( () () (EA) dn dn ) u () (EA) u () (.) () x N () x () N () b X () X () La ecuación anterior expresa e equiíbrio entre as fuerzas nodaes de equiíbrio, a carga repartida sobre e eemento y os despazamientos nodaes y puede escribirse como K () a () f () q () con K () ij f () i () x x () () x x () dn i () (EA) dn j () N () i b i,j, a () [u (),u() ]T ; q () [X (),X() ]T (.) donde K (), a (), f () y q () son a matriz de rigidez, e vector de despazamientos nodaes, e vector de fuerzas nodaes equivaentes y e vector de fuerzas nodaes de equiibrio de eemento, respectivamente..7

8 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos Si e móduo de Young, a sección de a barra y a carga repartida son constantes dentro de eemento, se obtiene K () ( EA ) () [ ] ; f () (b)() { } (.3) expresiones que coinciden con as obtenidas para a barra bajo cargas axies en e Capítuo. Dicha coincidencia no es fortuita, y podía haberse anticipado, ya que en ambos casos se parte de a misma hipótesis de distribución inea de despazamientos, o que evidentemente conduce a idénticas expresiones para a matriz de rigidez y e vector de fuerzas en os extremos de a barra. Las ecuaciones que expresan e equiibrio goba de a estructura se pueden obtener por un proceso idéntico a expicado para as estructuras de barras en e Capítuo. Así, en cada nodo se tiene que satisfacer a ecuación básica de equiibrio de fuerzas X (e) i Xj ext (.4) e donde e sumatorio se extiende sobre todos os eementos que concurren en e nodo en cuestión, X (e) i es a fuerza de equiibrio que aporta cada eemento y Xj ext a fuerza puntua exterior sobre e nodo de número goba j. Para a maa de un soo eemento que se considera, a ec.(.4) se escribe, teniendo en cuenta a Figura., como nodo : X () R nodo : X () P Utiizando (.) y operando cuidadosamente es fáci egar a sistema de ecuaciones goba que, haciendo uso de as reaciones de a Taba., puede escribirse en forma matricia como o ( EA ) [ ] { } u u { R + b } P + b Ka f (.5) donde K, a y f son a matriz de rigidez, e vector de despazamientos nodaes y e vector de fuerzas nodaes equivaentes de toda a maa, respectivamente. La ec.(.5) se resueve añadiendo a condición u 0 para obtener u EA (P + b ) ; R (P + b) (.6).8

9 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA La deformación y e axi (constantes) en e único eemento vienen dados por ε () dn() u () + dn() u () u() () P + b EA N () (EA) () ε () P + b La soución exacta para este sencio probema es [T7] u EA ε EA [ bx + (P + b) x [P + b( x)] ] (.7) (.8) En a Figura.3 se comparan as souciones exacta y aproximada para un vaor de P 0yb T/m. Se aprecia en dicha figura que e error obtenido en e vaor de despazamiento en e extremo es nuo, o que reamente debe considerarse como una excepción [O3]. En e interior de a barra a aproximación con un soo eemento proporciona una variación inea de despazamiento diferente de a variación exacta parabóica de (.8). En e Apartado.4 comprobaremos como a soución en e interior de a barra mejora sensibemente utiizando una maa de dos eementos. Figura.3 Barra de sección constante bajo fuerza uniformemente repartida. Soución exacta y aproximada utiizando uno y dos eementos de barra de dos nodos..9

10 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos.4 BARRA DE SECCIÓN CONSTANTE. DISCRETIZACIÓN EN DOS ELEMENTOS LINEALES Discretizaremos ahora a misma barra de ejempo anterior en dos eementos ineaes como se muestra en a Figura.4, donde se puede apreciar a diferencia entre funciones de forma ocaes y gobaes. Figura.4 Barra de sección constante. Discretización en dos eementos de dos nodos. Obtendremos en primer ugar as ecuaciones de a discretización a partir de as funciones de forma ocaes para cada eemento. Los despazamientos en e interior de cada eemento se aproximan por: Eemento Eemento u(x) N () (x)u() + N () (x)u() u(x) N () (x)u() + N () (x)u() (.9).0

11 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA Eemento Eemento Las funciones de forma y sus derivadas son ahora N () x() N () x ; () x x() ; () dn () dn () () () N () x() N () x ; () x x() ; () dn () dn () () La deformación axia en un punto cuaquiera de cada eemento es () (.30) ε du () dn u() + () dn u() ε du () dn u() + () dn u() (.3) La expresión matricia de equiibrio se obtiene a partir de PTV de manera idéntica a como se hizo en as ecs.(.) (.0) para e caso de un soo eemento. Así, pues, puede encontrarse fácimente q () K () a () f () ; q () K () a () f () (.3a) donde K () f () x () x () x () x () (EA) dn () dn () [ N (), N() ] T, X() q () [ X () a () [ u () ] T, u() K () () x dn () x () EA f () x () x () q () [ X () dn () [ N (), N() ] T, X() a () [ u (), u() ] T dn () dn () ] T b () dn () dn () dn () dn () dn () dn () ] T b () dn () dn () dn () dn () (.3b) son, respectivamente, as matrices de rigidez, os vectores de fuerzas nodaes equivaentes, os vectores de fuerzas nodaes de equiibrio y os vectores de despazamientos nodaes de os eementos y. Para cacuar as integraes que aparecen en as expresiones anteriores conviene tener en cuenta as equivaencias entre a definición oca y goba de as variabes que se ha resumido en a Taba...

12 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos Eementos nodos coordenadas despazamiento oca goba oca goba oca goba x () x u () u x () x u () u x () x u () u 3 x () x 3 u () u 3 Taba. Parámetros ocaes y gobaes en e ejempo de a Figura.4. Sustituyendo as ecs.(.30) en (.3) y utiizando a Taba., es fáci obtener, si as propiedades de eemento y a carga repartida son constantes dentro de cada eemento, K () ( EA )() [ ] f () (b)() K () [, ] T f () (b)() (.33) ( EA )() [ ] [, ] T La expresión (.4) de equiibrio de fuerzas nodaes se escribe ahora en forma desarroada como (ver Figura.4) Nodo : X () R Nodo : X () + X () 0 Nodo 3 : X () P (.34) Finamente, sustituyendo (.3) en (.34), y una vez ordenada ésta adecuadamente, se puede escribir en forma matricia ( EA ) () ( ) EA () 0 ) () ( + EA ) () ] ( EA 0 ( ) EA () ( EA ( ) EA () [ ( EA ) () ) () { u u u 3 } b 4 + R b b 4 + P (.35) Ka f (.36) De o anterior se deduce que a matriz de rigidez goba K puede obtenerse cacuando primeramente a de cada eemento por separado como K (e) K(e) K (e) (e) x K (e) K (e) x (e) (EA) (e).

13 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA ( EA )(e) [ ] (.37) y ensambando seguidamente as matrices individuaes de todos os eementos siguiendo precisamente as mismas regas de Capítuo para as estructuras de barras. E mismo proceso es apicabe a vector de fuerzas nodaes equivaentes. Por tanto, si sobre os eementos actuan fuerzas uniformemente repartidas, e ensambaje de vector f puede efectuarse a partir de vector de fuerzas nodaes equivaentes de os diferentes eementos dado por f (e) f (e) f (e) x (e) x (e) N (e) N (e) b(e) ( b ) (e) { } (.38) Sustituyendo ( ) EA () ( ) EA () EA y resoviendo e sistema con u 0 se encuentra u 0 ; u ( P + 3b ) EA 4 u 3 EA (P + b) ; R (P + b) La deformación y e esfuerzo axi en cada eemento se obtienen por Eemento Eemento (.39) ( ) du () ε () u () P + 3b 4 EA N () (EA) () ε () P + 3b 4 ( ) du () ε () u 3 u () ( ) b EA 4 + P N () (EA) () ε () b 4 + P (.40) En a Figura.3 se ha representado a variación de despazamiento u yde esfuerzo axi en cada eemento. Obsérvese que, de nuevo, os despazamientos nodaes coinciden con os vaores exactos. Asimismo se puede observar a mejor aproximación de campo de despazamientos a o argo de a barra. Por otra parte, vemos que mejora también a aproximación de esfuerzo axi, aunque e error cometido es aún importante y su disminución exigiría una discretización más tupida. De eo se deduce una concusión genera de gran interés práctico: os errores en a aproximación de os campos de deformaciones y tensiones son siempre mayores que e error en os despazamientos. Estaafirmación tiene una expicación intuitiva, ya que a obtenerse as deformaciones y tensiones a partir de as derivadas de campo de despazamientos (aproximado), es ógico que e error en aquéas sea mayor..3

14 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos.5 GENERALIZACIÓN DE LA SOLUCIÓN CON VARIOS ELEMENTOS DE DOS NODOS E proceso de soución expicado en os apartados anteriores puede generaizarse fácimente para e caso de que se utiice una discretización con n eementos de dos nodos. La matriz de rigidez y e vector de fuerzas de cada eemento se obtienen por K (e) (e) x x (e) (EA) (e) f (e) x (e) x (e) N (e) N (e) que, tras sustituir as expresiones de as funciones de forma, b(e) (.4) N (e) x(e) x ; N (e) x x(e) ; (.4) se convierte (para propiedades geométricas, mecánicas y de carga constantes) en K (e) ( EA )(e) [ ] ; f (e) (b)(e) { } (.43) E proceso de ensambaje conduce, tras operar, a a ecuación matricia goba k () k () [ k () k () + k ()] k ()... 0 [ 0 k () k () + k (3)] k (3) [ k (n ) + k (n)] k (n) } {{ k (n) k (n) } K con k EA u u u 3... u n } u n {{ a } (b) () + P (b) () + (b)() + P (b) () + (b)(3) + P 3.. (b) (n ) + (b)(n) + P n (b) (n) + P }{{ n } f (.44) donde K es función únicamente de a ongitud, de móduo de easticidad y de área de a sección transversa de os diferentes eementos individuaes, y f de vaor de a fuerza repartida b (e) actuando sobre cada eemento, de su ongitud y de as fuerzas puntuaes P i que actúen en os diversos nodos de a maa..4

15 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA Dichas fuerzas pueden ser reacciones incógnitas que deberán cacuarse en e proceso de soución de (.44), siguiendo procedimientos generaes de cácuo matricia de estructuras de barras [L], [T6]..6 FORMULACIÓN MATRICIAL DE LAS ECUACIONES DEL ELEMENTO E método que hemos seguido para obtener as expresiones de a matriz de rigidez y e vector de fuerzas nodaes equivaentes de a barra en os apartados anteriores es muy úti para expicar os conceptos básicos de discretización a nive preiminar, pero poco práctico para e estudio de probemas más compejos en donde interviene más de una variabe de despazamientos o deformaciones. En todos estos casos es indispensabe e uso de una formuación matricia que permita agrupar variabes y operaciones de forma compacta. Adicionamente, a formuación matricia permite desarroar una metodoogía de cácuo muy sistemática que se repite invariabemente para todos os probemas de anáisis de estructuras por eementos finitos. Presentaremos seguidamente as ideas fundamentaes en as que se basa dicha formuación. En apartados anteriores hemos considerado más didáctico distinguir siempre con e índice e todas as variabes asociadas a un eemento aisado. No obstante, puesto que generamente todas as expresiones que utiizaremos se referirán a un soo eemento, prescindiremos de aquí en adeante, para mayor simpicidad, de distinguir con e índice e aas variabes asociadas con un eemento, manteniéndoo soamente en agunas variabes muy significativas, taes como as dimensiones de eemento (, A (e) y V (e) ); os vectores de despazamientos, coordenadas y fuerzas nodaes (a (e), x (e) y f (e) ); a matriz de rigidez de eemento K (e),yaguna otra variabe eementa reevante. Todas as demás variabes y vectores deberán también interpretarse, a menos que se indique o contrario, como pertenecientes a un soo eemento aisado..6. Matriz de funciones de forma Consideremos un eemento de dos nodos perteneciente a una barra que trabaja a esfuerzo axi, simiar a uno cuaquiera de os considerados en os apartados anteriores. Dentro de eemento e despazamiento u se expresa, ta y como ya hemos visto, por u N u + N u (.45) La expresión anterior puede escribirse en forma matricia como u {u} [N,N ] { } u u Na (e) (.46).5

16 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos donde N [N,N ] ; a (e) { } u u (.47) son a matriz de funciones de forma yevector de despazamientos nodaes de eemento, respectivamente. Este útimo vector ya había aparecido con anterioridad. [Obsérvese que, de acuerdo con e nuevo criterio adoptado, hemos prescindido en (.45) (.47) de índice e que hasta ahora caracterizaba as funciones de forma y os despazamientos nodaes de eemento]..6. Matriz de deformación E vector de deformaciones se puede escribir como ε {ε} { dn u + dn u } [ dn, dn { } ] u u Ba (e) (.48) donde B [ dn, dn ] (.49) es a matriz de deformación de eemento..6.3 Matriz constitutiva E vector de tensiones se expresa por σ [N] (EA) ε [EA] ε DBa (e) (.50) donde D [EA] (.5) es a matriz de propiedades mecánicas o matriz constitutiva. En e probema que consideramos ε,σ y D tienen una soa componente. En genera, e vector σ tendrá t componentes y, por tanto, si n es e número de variabes nodaes y d os grados de ibertad de cada nodo, as dimensiones de as matrices y vectores que intervienen en a ecuación constitutiva son σ t D t t B [t (n d)] a (e) [(n d) ] (.5).6

17 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA.6.4 Expresión de Principio de os Trabajos Virtuaes E PTV para un eemento aisado se escribe en forma matricia como δεt σ δut b + [δa (e) ] T q (e) (.53) E carácter unidimensiona de probema que consideramos puede quizás oscurecer as razones de a utiización de a traspuesta de vectores en a expresión anterior. Esto es necesario ya que os integrandos de PTV son escaares (expresan e trabajo de as fuerzas externas e internas) que se obtienen como producto de un vector fia por otro coumna..6.5 Matriz de rigidez y vector de fuerzas nodaes equivaentes De (.45) y (.5) se deduce [δu] T [δa (e) ] T N T [δε] T [δa (e) ] T B T (.54) Por consiguiente, sustituyendo (.48), (.50) y (.54) en a expresión de os trabajos virtuaes de eemento se obtiene [δa(e) ] T B T DBa (e) [δa(e) ] T N T b [δa (e) ] T q (e) (.55) donde b {b} es e vector de fuerzas repartidas actuando en e eemento. Sacando factor común e vector de despazamientos virtuaes se obtiene [δa (e) ] T [ ( B T DB ) a (e) NT b q (e) ] 0 (.56) Como e cumpimiento de a ecuación anterior para cuaquier despazamiento virtua arbitrario obiga a que e corchete que mutipica a [δa (e) ] T sea nuo, se obtiene e siguiente sistema de ecuaciones agebraicas de equiibrio de eemento ( B T DB ) a (e) NT b q (e) (.57) o K (e) a (e) f (e) q (e) donde K (e) f (e) B T DB NT b (.58).7

18 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos son, respectivamente, a matriz de rigidez y e vector de fuerzas nodaes equivaentes debido a cargas repartidas de eemento, que se obtienen a partir de as matrices de funciones de forma, de deformación y constitutiva de cada eemento. Hay que destacar que e proceso anterior de obtención de a matriz K (e) y e vector f (e) es totamente genera. La forma expícita de K (e) y f (e) para e eemento de barra de dos nodos puede encontrarse de nuevo sin más que sustituir en (.58) as matrices adecuadas. Así, en este caso, N [N, N ] [N,N ] [ x x, x x ] B [B, B ] [ dn, dn ] [, ] (.59) y sustituyendo en (.58) D [EA] y b {b} K (e) f (e) { } (EA) [, ] { } (b )(e) x x (b)(e) x x ( EA { } )(e) [ ] (.60) expresiones que, obviamente, coinciden con as (.43) deducidas por procedimientos no matriciaes. Finamente apuntaremos que a obtención de a matriz de rigidez y e vector de fuerzas nodaes equivaentes suee hacerse en a práctica a partir de as submatrices y subvectores correspondientes. La forma de operar es muy sencia si se desarroan as ecs.(.58) como K (e) f (e) { } B T B T N T D [B, B ] { } N T b { } N T b N T b B T DB. B T DB B T DB. B T DB (.6) De (.6) puede definirse a matriz K (e) ij eemento como que reaciona os nodos i y j de K (e) ij d.d B T i (d t) D (t t) B j ; i, j, (.6) (t d).8

19 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA y e vector de fuerzas nodaes equivaentes de nodo i de eemento como f (e) i (d ) N T i (d d) b i, (.63) (d ) Para e caso particuar de eemento de dos nodos (d t )setiene K (e) ij dn i EA dn j f (e) i N i b (b)(e) (e) EA)(e) ( )i+j( (.64) a partir de as que pueden obtenerse as expresiones de K (e) y f (e). Todo este panteamiento puede resutar de poca reevancia para e caso de eemento de barra de dos nodos, puesto que as operaciones a efectuar son, de cuaquier manera, muy sencias. No obstante, esta técnica de obtener as matrices y vectores de eemento es a más indicada en a práctica, obteniéndose una mejor organización genera de cácuo..7 RESUMEN DE LAS ETAPAS DEL ANÁLISIS DE UNA ES- TRUCTURA POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FI- NITOS Resumiremos as etapas esenciaes que deben seguirse en e anáisis de una estructura por e método de os eementos finitos haciendo referencia a as expresiones matriciaes obtenidas en e apartado anterior:. Dividir a estructura en una maa de eementos finitos.. Para cada eemento cacuar a matriz de rigidez y e vector de fuerzas nodaes equivaentes. Para e probema de a barra a tracción: K (e) BT DB : K (e) ij BT i DB j f (e) NT b ; f (e) i NT i b (.65) 3. Ensambar as matrices de rigidez y os vectores de fuerzas nodaes equivaentes de os distintos eementos en a matriz de rigidez y e vector de fuerzas de toda a estructura, respectivamente: Ka f K IE K (e) e ; f IE f (e) e (.66).9

20 Cácuo de Estructuras por e Método de Eementos Finitos donde e símboo IE indica ensambaje de as diversas matrices y vectores e eementaes. 4. Una vez impuestas as condiciones de contorno, cacuar os despazamientos nodaes resoviendo e sistema de ecuaciones de a discretización. En os nodos con movimientos prescritos cacuar as reacciones correspondientes: a K f (.67) 5. Cacuar para cada eemento otras magnitudes de interés, taes como deformaciones, tensiones o esfuerzos: ε (e) B (e) a (e) ; σ (e) D (e) B (e) a (e) (.68) En temas posteriores se detaará a obtención de as matrices y vectores que intervienen en cada una de as etapas anteriores para diferentes tipoogías estructuraes..0