CAPÍTULO 4 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES 4.1 INTRODUCCIÓN

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1 CAPÍTULO 4 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES 4.1 INTRODUCCIÓN En este tema se presenta la aplicación del método de los elementos finitos al análisis de estructuras en las que se cumplen las hipótesis de la elasticidad bidimensional (tensión o deformación plana). La mayor parte de los conceptos que aparecerán a lo largo del capítulo serán utilizados al tratar otros problemas de estructuras en dos, e incluso tres dimensiones. Por consiguiente, este capítulo puede considerarse, en gran parte, como introductorio a la metodología general de aplicación del método de los elementos finitos a estructuras bi y tridimensionales. Existe una gran variedad de estructuras de interés práctico dentro de la ingeniería en las que se puede hacer uso de las hipótesis de la elasticidad bidimensional. Dichas estructuras se caracterizan por tener todas una forma aproximada de prisma recto. No obstante, según la proporción que guarden las dimensiones de dicho prisma, y la disposición de las cargas, pueden clasificarse en uno de los dos tipos siguientes: Problemas de tensión plana. Se dice que una estructura prismática está en estado de tensión plana si una de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas contenidas en su plano medio (Figura 4.1). Entre los problemas de estructuras que se incluyen dentro de esta categoría podemos citar los de análisis de vigas de gran canto, placas con cargas en su plano, presas de contrafuertes, etc. Problemas de deformación plana. Una estructura prismática estáenestadode deformación plana si una de sus dimensiones (longitud) es mucho mayor que las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas uniformemente distribuidas a lo largo de toda su longitud y contenidas en planos ortogonales al eje que une los centros de gravedad de sus distintas secciones transversales (Figura 4.2). Dentro de esta clasificación se pueden incluir entre otros, los problemas de muros de contención, presas de gravedad, tuberías bajo presión interior y diversos problemas de ingeniería del terreno (túneles, análisis de tensiones bajo zapatas, etc.). 4.1

2 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Figura 4.1 Ejemplos de problemas de tensión plana. Figura 4.2 Ejemplos de problemas de deformación plana. 4.2

3 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES Una de las principales ventajas de la teoría de la elasticidad bidimensional es que permite el estudio de los problemas de tensión y deformación plana de forma unificada, aunque, de hecho, cada uno de ellos represente una serie de tipologías estructurales que funcionalmente no guardan ninguna relación entre sí. El capítulo se inicia con una breve descripción de los conceptos fundamentales de la teoría de la elasticidad bidimensional, para seguidamente plantear la solución con elementos finitos triangulares de tres nodos. Tras ello se presenta la utilización de otros tipos de elementos bidimensionales y se detalla la obtención de funciones de forma de diferentes familias de elementos rectangulares y triangulares. El capítulo finaliza con la descripción de la formulación general de elementos isoparamétricos y el uso de la integración numérica en problemas bidimensionales. 4.2 TEORÍA DE LA ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL Presentaremos los conceptos que hay que conocer de la teoría de la elasticidad bidimensional para la utilización del método de los elementos finitos Campo de desplazamientos Las características geométricas y de cargas de una estructura en estado de tensión o deformación plana permiten establecer la hipótesis de que todas las secciones perpendiculares al eje prismático z se deforman en su plano y de manera idéntica. Por consiguiente, basta con conocer el comportamiento de cualquiera de dichas secciones. Así, consideremos una sección genérica contenida en el plano x y de cualquiera de las estructuras de las Figuras 4.1 y 4.2. El campo de desplazamientos de la sección está perfectamente definido si se conocen los desplazamientos en las direcciones x e y de todos sus puntos. El vector de desplazamientos de un punto se define, por tanto, como u(x, y) = { } u(x, y) v(x, y) (4.1) donde u(x, y) y v(x, y) son los desplazamientos del punto en direcciones de los ejes x e y, respectivamente Campo de deformaciones Del campo de desplazamientos (4.1) se pueden deducir fácilmente las deformaciones haciendo uso de la teoría general de la elasticidad [T3]. Así ε x = u x ε y = v y γ xy = u y + v x γ xz = γ yz =0 (4.2) 4.3

4 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Con respecto a la deformación longitudinal ε z hay que señalar que en el caso de deformación plana se hace la hipótesis de que es nula. Por otra parte, en un estado de tensión plana dicha deformación no es nula, pero se supone que lo es la tensión σ z. Por consiguiente, en ninguno de los dos casos hay que considerar la deformación ε z ya que no interviene en las ecuaciones del trabajo de deformación al ser el producto σ z ε z nulo. Así, pues, el vector de deformaciones significativas de un punto se define para tensión y deformación plana como ε =[ε x,ε y,γ xy ] T (4.3) Campo de tensiones Se deduce de la ec.(4.2) que las tensiones tangenciales τ xz y τ yz son nulas. Por otra parte, por los mismos motivos explicados en el apartado anterior para la deformación ε z,latensión σ z no trabaja y el vector de tensiones significativas es σ =[σ x,σ y,τ xy ] T (4.4) Relación tensión deformación La relación entre tensiones y deformaciones se deduce de la ecuación constitutiva de la elasticidad tridimensional [T3], con las hipótesis simplificativas descritas anteriormente (σ z = 0 para tensión plana, ε z = 0 para deformación plana y γ xz = γ yz = 0 en ambos casos). Tras realizar las correspondientes operaciones puede encontrarse la siguiente relación matricial entre tensiones y deformaciones σ = D ε (4.5) En (4.5) D es la matriz de constantes elásticas (o matriz constitutiva) d 11 d 12 0 D = d 21 d 22 0 (4.6) 0 0 d 33 Del teorema de Maxwell Betti se deduce que D es siempre simétrica [T3], y d 12 = d 21. Para elasticidad isótropa se tiene Tensión plana Deformación plana d 11 = d 22 = E E(1 ν) 1 ν 2 d 11 = d 22 = (1 + ν)(1 2ν) ν d 12 = d 21 = νd 11 d 12 = d 21 = d 11 d 33 = E 2(1 + ν) = G d 33 = 1 ν E 2(1 + ν) = G (4.7) siendo E el módulo de elasticidad y ν el coeficiente de Poisson. 4.4

5 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES Si el sólido está sometido a un estado de deformación inicial, tal como puede suceder en el caso de deformación térmica, la relación (4.5) debe modificarse. La deformación total ε es ahora igual a la elástica ε e más la inicial ε 0, a diferencia de lo considerado en la ec.(4.5) en que toda la deformación era elástica. Por otra parte, las tensiones siguen siendo proporcionales a las deformaciones elásticas, con lo que la ecuación constitutiva se escribe como σ = D ε e = D (ε ε 0 ) (4.8) Para el caso usual de deformación inicial isótropa por efectos térmicos el vector ε 0 tiene la expresión siguiente: Tensión plana α T ε 0 = α T 0 Deformación plana α T ε 0 =(1+ν) α T 0 (4.9) donde α es el coeficiente de dilatación térmica y T el incremento de temperatura en cada punto. La diferencia entre los valores de las deformaciones iniciales térmicas para tensión y deformación plana se debe a las diferentes hipótesis para σ z y ε z en cada caso. En materiales anisótropos la deformación inicial debida a efectos térmicos debe considerarse primeramente en las direcciones principales del material y efectuar posteriormente la transformación a ejes globales para encontrar las componentes cartesianas del vector ε. Esto conduce a que la componente τxy ya no es nula. Para más detalles consultar [H2] y [Z3]. Sobre el sólido pueden actuar también unas tensiones iniciales definidas en cada punto por un vector σ 0. Dichas tensiones, denominadas también tensiones residuales, pueden ser debidas a diferentes causas. Por ejemplo, si en una estructura cargada y en equilibrio eliminamos algunos de sus elementos resistentes se produce una situación de desequilibrio debido precisamente a las tensiones iniciales existentes. La búsqueda de la nueva posición de equilibrio debe efectuarse teniendo en cuenta dichas tensiones. Las tensiones totales se obtienen como suma de las debidas a la nueva deformación de la estructura y las iniciales. Por consiguiente, en el caso más general el vector de tensiones se obtiene por donde σ = D (ε ε 0 )+σ 0 (4.10) σ 0 =[σ 0 x,σ0 y,τ0 xy ]T (4.11) es el vector de tensiones iniciales. Las tensiones residuales son frecuentes en piezas soldadas y en piezas de fundición. Otro ejemplo es el análisis de túneles donde al 4.5

6 t = [ t x,t y ] T ; δu i = [ δu i,δv i ] T ; q i = [ U i,v i ] T (4.14) Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos calcular el equilibrio de la zona excavada es preciso considerar las tensiones que existen en el macizo circundante antes de la excavación Expresión del Principio de los Trabajos Virtuales La expresión integral de equilibrio en problemas de elasticidad bidimensional puede obtenerse haciendo uso del Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) ya utilizado en capítulos anteriores. Así, teniendo en cuenta las tensiones y deformaciones que contribuyen al trabajo virtual de la estructura, la expresión del PTV puede escribirse por (δε xσ x + δε y σ y + δγ xy τ xy )tda= (δub x + δvb y )tda+ A A (4.12) + (δut x + δvt y )tds+ (δu i U i + δv i V i ) l i El segundo miembro representa el trabajo de las fuerzas repartidas por unidad de volumen b x,b y ; de las fuerzas repartidas sobre el contorno t x,t y ; y de las fuerzas puntuales U i,v i sobre los desplazamientos virtuales δu,δv. El primer miembro, por otro lado, representa el trabajo que las tensiones σ x,σ y,τ xy realizan sobre las deformaciones virtuales δε x,δε y y δγ xy. A y l son el área y el contorno de la sección transversal del sólido y t su espesor. En problemas de tensión plana t coincide con el espesor real, mientras que en problemas de deformación plana es usual asignar a t un valor unidad. La ec.(4.12) se puede reescribir en forma matricial como A δεt σ tda = A δut b tda + δu T t tds + δu T i q i (4.13) l i donde δε = [ δε x,δε y,δγ xy ] T ; δu = [ δu,δv ] T ; b = [ b x,b y ] T De (4.2) y (4.5) se deduce que en las integrales de PTV sólo intervienen primeras derivadas de los desplazamientos, lo que exige continuidad de clase C o a la aprox imación de elementos finitos. Este requisito se mantiene para todos los problemas en los que se hace uso directo de la teoría de la elasticidad, como el análisis de sólidos de revolución y de sólidos tridimensionales que se estudian en capítulos posteriores. El PTV es el punto de partida de la obtención de las ecuaciones de la discretización como veremos en el apartado siguiente. 4.6

7 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES 4.3 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO TRIANGULAR DE TRES NODOS Para mayor claridad consideraremos primeramente la utilización del sencillo elemento triangular de tres nodos. Este elemento está considerado el primero en el estudio de problemas estructurales por el método de los elementos finitos. Ya hemos comentado que mucho antes de la aparición de este método, Courant sugirió la utilización de una interpolación polinómica lineal sobre subdominios triangulares para aproximar la solución numérica de ecuaciones diferenciales [C6]. Años después, Turner et al. [T9] en un clásico artículo propusieron la división de los dominios bidimensionales en triángulos de tres nodos para facilitar su análisis matricial. Por ello, dicho elemento es también conocido como elemento de Turner. El triángulo de tres nodos pronto adquirió gran popularidad entre ingenieros estructurales [C1]. De las muchas aplicaciones prácticas de dicho elemento en su primera etapa hay que destacar las relacionadas con el cálculo de presas de gravedad, que constituyeron una auténtica innovación en la metodología tradicional de análisis de dichas estructuras [O3,Z3,Z8]. La clave del éxito del elemento triangular de tres nodos fue su gran versatilidad y sencillez que, como veremos, permite asimilar fácilmente el proceso de análisis de un dominio bidimensional complejo a las etapas del clásico cálculo matricial de estructuras de barras, familiar a la mayor parte de los ingenieros de estructuras. Por contrapartida, es un elemento de precisión limitada, como corresponde a su aproximación lineal, lo que obliga usualmente a la utilización de mallas muy tupidas. Pese a ello, en la actualidad, sigue siendo un elemento popular y competitivo, además de servir de ejemplo excelente para introducir la formulación de elementos finitos en problemas bidimensionales Discretización del campo de desplazamientos En la Figura 4.3 se muestra la sección transversal de una estructura cualquiera que se analiza bajo las hipótesis de la elasticidad bidimensional. La primera etapa del análisis es como siempre la discretización en elementos finitos. En la misma figura puede verse la discretización de la sección en elementos triangulares de tres nodos. Es importante recordar de nuevo que la malla de elementos finitos representa una idealización de la geometría real. Por consiguiente, el análisis por elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la estructura real. Solamente comprobando la convergencia de la solución podemos estimar el grado de aproximación de la solución de elementos finitos a la exacta. Un elemento triangular de tres nodos típico se caracteriza por los números de sus nodos 1, 2 y 3 y sus coordenadas. Los tres nodos del elemento tienen en la malla la numeración global i, j, k y coordenadas (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )y(x 3,y 3 ). Los números globales de los nodos i, j, k se corresponden con los locales 1, 2 y 3, respectivamente. En la práctica es usual utilizar la numeración local para el cálculo de las matrices del elemento y hacer uso de la correspondencia entre números locales y globales para el ensamblaje, similarmente a como ocurre en cálculo matricial de estructuras [L2]. 4.7

8 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Figura 4.3 Discretización de una estructura en elementos triangulares de tres nodos. Variables nodales. Considerando un elemento aislado, como el de la Figura 4.3, podemos expresar los dos desplazamientos cartesianos de un punto cualquiera del interior del elemento en función de los desplazamientos de sus nodos como u = N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 v = N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 (4.15) donde (u i,v i ) y N i son los desplazamientos horizontal y vertical y la función de forma del nodo i del elemento, respectivamente. No hay ninguna razón fundamental para escoger las mismas funciones para definir la aproximación de los desplazamientos en direcciones horizontal y vertical. No obstante, por simplicidad, y a menos que haya claros indicios de que dicha aproximación debe diferenciarse, es usual utilizar la misma interpolación para ambos desplazamientos u y v. La ec.(4.15) puede escribirse matricialmente como u 1 v { } [ ] 1 u N1 0 N u = = 2 0 N 3 0 u 2 (4.16) v 0 N 1 0 N 2 0 N 3 v 2 u 3 v 3 o u = Na (e) (4.17) 4.8

9 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES donde { } u u = v (4.18) es el vector de desplazamientos de un punto del elemento. [ ] Ni 0 N =[N 1, N 2, N 3 ] ; N i = 0 N i (4.19) son la matriz de funciones de forma del elemento y del nodo i del elemento, respectivamente, y a (e) = a (e) 1 a (e) 2 a (e) 3 con a (e) i = { } ui v i (4.20) son el vector de desplazamientos nodales del elemento y de un nodo i. Adviértase que N y a (e) están compuestos de tantas submatrices N i y subvectores a (e) i, respectivamente, como nodos tiene el elemento. Esto es una propiedad general que se cumple en todos los casos, como veremos repetidamente alolargodellibro. La expresión de las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos se puede obtener como sigue. Los tres nodos del elemento definen una variación lineal del campo de desplazamientos que puede escribirse como u = α 1 + α 2 x + α 3 y v = α 4 + α 5 x + α 6 y (4.21) Si suponemos que la interpolación de u y v se efectúa de idéntica manera, basta con obtener la expresión de las funciones de forma para uno de los dos desplazamientos. Así, por ejemplo, para el desplazamiento u se tiene que cumplir que sus valores en los nodos coincidan con las correspondientes incógnitas nodales. Es decir u 1 = α 1 + α 2 x 1 + α 3 y 1 u 2 = α 1 + α 2 x 2 + α 3 y 2 (4.22) u 3 = α 1 + α 2 x 3 + α 3 y 3 Resolviendo dicho sistema de ecuaciones y sustituyendo en (4.21) los valores encontrados para α 1,α 2 y α 3 se obtiene la siguiente expresión para u u = 1 [ ] (a1 2A (e) + b 1 x + c 1 y)u 1 +(a 2 + b 2 x + c 2 y)u 2 +(a 3 + b 3 x + c 3 y)u 3 (4.23) 4.9

10 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos donde A (e) es el área del elemento, y a i = x j y k x k y j, b i = y j y k, c i = x k x j ; i, j, k =1, 2, 3 (4.24) Comparando (4.23) con (4.15) se deduce que las funciones de forma del elemento son N i = 1 2A (e) (a i + b i x + c i y), i =1, 2, 3 (4.25) La representación gráfica de dichas funciones se muestra en la Figura 4.4. Puede comprobarse, como ejercicio, que las funciones de forma toman el valor unidad en un nodo y cero en los otros dos. Figura 4.4 Funciones de forma del elemento triangular de tres nodos Discretización del campo de deformaciones Sustituyendo (4.15) en (4.2) se obtienen las tres deformaciones significativas en un punto del elemento como ε x = u x = N 1 x u 1 + N 2 x u 2 + N 3 x u 3 ε y = v y = N 1 y v 1 + N 2 y v 2 + N 3 y v 3 (4.26) γ xy = u y + v x = N 1 y u 1 + N 1 x v 1 + N 2 y u 2 + N 2 x v 2 + N 3 y u 3 + N 3 x v

11 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES y en forma matricial ε = u x v y u y + x v == N 1 x 0 N 1 y 0 N 1 y N 1 x. N 2 x. 0. N 2 y 0 N 2 y N 2 x. N 3 x. 0. N 3 y 0 N 3 y N 3 x u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 (4.27) o donde ε = Ba (e) (4.28) B =[B 1, B 2, B 3 ] (4.29) es la matriz de deformación del elemento, y N i x B i = 0 N i y 0 N i y N i x (4.30) es la matriz de deformación del nodo i. Adviértase que B está compuestadetantas submatrices B i como nodos tiene el elemento, lo que también es una propiedad de carácter general. Particularizando para el elemento triangular de tres nodos se obtiene B = 1 b 1 0. b 2 0. b 3 0 2A (e) 0 c 1. 0 c 2. 0 c 3 (4.31) c 1 b 1. c 2 b 2. c 3 b 3 y, por consiguiente B i = 1 b i 0 2A (e) 0 c i (4.32) c i b i Discretización del campo de tensiones La expresión discretizada del vector de tensiones en el interior del elemento se obtiene mediante sustitución directa de la ec.(4.28) en (4.5) por σ = D ε = DBa (e) (4.33) 4.11

12 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Si existieran tensiones o deformaciones iniciales la expresión a utilizar se deduce de (4.8) como σ = D (ε ε 0 )+σ 0 = DBa (e) D ε 0 + σ 0 (4.34) Puede apreciarse de (4.32) que la matriz de deformaciones del elemento triangular de tres nodos es constante, lo que implica que las deformaciones y tensiones son constantes en todo el elemento. Esto es consecuencia directa del campo de desplazamientos lineal escogido, cuyos gradientes son, obviamente, constantes. Por consiguiente, en zonas de alta concentración de tensiones será necesario utilizar una malla tupida para aproximar la solución de tensiones con suficiente precisión Ecuaciones de equilibrio de la discretización Para la obtención de las ecuaciones de equilibrio de la discretización partiremos de la expresión del PTV aplicada al equilibrio de un elemento aislado, como el de la Figura 4.5. Hay que resaltar que, aunque nos referiremos al elemento triangular de tres nodos, la mayoría de las expresiones que se obtendrán en este apartado son completamente generales y aplicables a cualquier elemento bidimensional. Vamos a suponer que sobre el elemento actúan fuerzas repartidas por unidad de área (fuerzas másicas) b, y en sus lados fuerzas repartidas por unidad de longitud (fuerzas de superficie) t. Las fuerzas de superficie pueden ser de dos tipos: a) Debidas a fuerzas exteriores que actúan sobre los lados del elemento que forman parte del contorno exterior de la estructura, y b) Debidas a las fuerzas de interacción entre elementos que se transmiten a través de sus lados comunes. Estas últimas pueden ignorarse desde un principio pues se anulan en el ensamblaje. Figura 4.5 Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos. Supondremos ahora que el equilibrio del elemento se establece únicamente en los nodos. Podemos entonces definir unas fuerzas puntuales que actúen sobre los nodos (denominadas fuerzas nodales de equilibrio) y que equilibren las fuerzas 4.12

13 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES debidas a la deformación del elemento y al resto de las fuerzas actuantes sobre el mismo. Para el cálculo de las fuerzas nodales de equilibrio haremos uso de la expresión del PTV aplicada al elemento, que se escribe como 3 3 A (e) δεt σtda = A (e) δut b tda + l (e) δut t tds + δu i U i + δv i V i (4.35) i=1 i=1 donde δu i y δv i son los desplazamientos virtuales de los nodos del elemento y U i y V i las fuerzas nodales de equilibrio que corresponden a dichos desplazamientos. El trabajo virtual de dichas fuerzas puede despejarse de la ecuación anterior como A (e) δεt σ tda A (e) δut b tda l (e) δut t tds=[δa (e) ] T q (e) (4.36) donde para el elemento triangular de tres nodos De (4.17) y (4.28) podemos escribir δa (e) =[δu 1,δv 1,δu 2,δv 2,δu 3,δv 3 ] T q (e) =[U 1,V 1,U 2,V 2,U 3,V 3 ] T (4.37) δu T =[δa (e) ] T N T ; δε T =[δa (e) ] T B T (4.38) Sustituyendo (4.38) en (4.36) se obtiene, tras sacar factor común δa (e) en el primer miembro, [δa (e) ] T [ A (e) BT σ tda A (e) NT b tda l (e) NT t tds ] =[δa (e) ] T q (e) (4.39) Teniendo en cuenta que los desplazamientos virtuales son arbitrarios, se deduce que A (e) BT σ tda A (e) NT b tda l (e) NT t tds = q (e) (4.40) La ec. (4.40) expresa el equilibrio entre las fuerzas nodales de equilibrio y las fuerzas debidas a la deformación del elemento (primera integral), las fuerzas másicas (segunda integral) y las de superficie (tercera integral). Sustituyendo ahora el vector de tensiones σ por su valor en función de los desplazamientos nodales se obtiene A (e) BT (DBa (e) Dε 0 + σ 0 ) tda A (e) NT b tda l (e) NT t tds = q (e) (4.41) 4.13

14 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos y operando o donde [ ] A (e) BT DBtdA a (e) A (e) BT Dε 0 tda + + A (e) BT σ 0 tda (4.42) A (e) NT b tda l (e) NT t tds = q (e) K (e) a (e) f (e) = q (e) (4.43) K (e) = A (e) BT DBtdA (4.44) es la matriz de rigidez del elemento, y f (e) = f (e) ε + f (e) σ + f (e) b + f (e) t (4.45) el vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento, siendo f ε (e) = A (e) BT D ε 0 tda (4.46) f (e) σ = A (e) BT σ 0 tda (4.47) f (e) b = A (e) N T b tda (4.48) f (e) t = l (e) N T t tds (4.49) los vectores de fuerzas nodales equivalentes debidos a deformaciones iniciales, tensiones iniciales, fuerzas repartidas por unidad de área y fuerzas repartidas en el contorno, respectivamente. Hay que destacar que las expresiones de la matriz de rigidez y de los vectores de fuerzas nodales equivalentes obtenidas son totalmente generales y, por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional. En apartados posteriores se presentará la particularización de dichas expresiones al elemento triangular de tres nodos, así como a otros elementos bidimensionales de interés práctico. La ecuación de equilibrio global de la malla se obtiene, como en el caso de problemas unidimensionales, estableciendo simplemente que la suma de las fuerzas nodales de equilibrio en cada nodo debe ser igual a la fuerza nodal exterior. Es decir e q (e) i = p ext j (4.50) 4.14

15 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES donde el sumatorio representa la suma de las contribuciones de los vectores de fuerzas nodales de equilibrio de los distintos elementos que comparten el nodo de número global j, yp ext j representa el vector de fuerzas puntuales exteriores actuando en dicho nodo. Dicha ecuación es idéntica a la que estudiamos en el Capítulo 1 para el ensamblaje de las ecuaciones matriciales de estructuras de barras. Por consiguiente, las ecuaciones de equilibrio de la malla se pueden obtener a partir de las contribuciones de las matrices de rigidez y los vectores de fuerzas nodales equivalentes de los diferentes elementos, siguiendo las mismas reglas que en el caso de estructuras de barras. Así pues, tras el ensamblaje, la ecuación matricial global se puede escribir como Ka= f (4.51) donde K, a y f son, respectivamente, la matriz de rigidez, el vector de desplazamientos nodales y el vector de fuerzas nodales equivalentes de toda la malla. Hay que señalar de nuevo que las fuerzas nodales de equilibrio debidas a fuerzas de interacción entre los contornos de dos elementos adyacentes se anulan en el ensamblaje, debido a que dichas fuerzas tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos en cada elemento. Por tanto, a efectos prácticos, solamente hay que considerar el efecto de las fuerzas de superficie cuando se trate de fuerzas exteriores actuantes sobre lados de elementos que pertenezcan al contorno de la estructura Particularización de la matriz de rigidez y los vectores de fuerzas para el elemento triangular de tres nodos Matriz de rigidez Para el elemento triangular de tres nodos la ec. teniendo en cuenta (4.29), como K (e) = B T 1 B T A (e) 2 B T 3 D [B 1, B 2, B 3 ]tda = B T 1 DB 1 B T 1 DB 2 B T 1 DB 3 =... A (e) B T 2 DB 2 B T 2 DB 3 tda Simétrica... B T 3 DB 3 (4.44) se puede escribir, (4.52) Por consiguiente, una submatriz de rigidez típica, K (e) ij, que relacione los nodos i y j del elemento se puede calcular como K (e) ij = A (e) BT i DB j tda (4.53) 4.15

16 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos sustituyendo (4.6) y (4.32) K (e) [ ] [ ] [ ] 1 d11 d bi 0 c 12 0 ij = i 1 bj 0 A (e) 2A (e) d 0 c i b 21 d 22 0 i 0 0 d 33 2A (e) 0 c j tda (4.54) c j b j Puesto que el integrando es constante, se obtiene tras operar, K (e) ij = ( t )(e) [ ] b i b j d 11 + c i c j d 33 b i c j d 12 + b j c i d 33 4A c i b j d 21 + b i c j d 33 b i b j d 33 + c i c j d 22 (4.55) deduciéndose la expresión correspondiente al caso de tensión o deformación plana de acuerdo con los valores de los elementos d ij de D. Obsérvese que K (e) ij es simétrica ya que siempre d 12 = d 21. Vectores de fuerzas nodales equivalentes a) Fuerzas repartidas por unidad de área f (e) b = N T b tda = A (e) A (e) N T 1 b N T 2 b N T 3 b tda (4.56) Por tanto, el vector de fuerzas repartidas correspondiente a un nodo i es f (e) b = i A (e) NT i b tda (4.57) Si la fuerza b está uniformemente repartida sobre todo el elemento, se obtiene, haciendo uso de (4.25) f bi = (At)(e) 3 { } bx by (4.58) es decir, la fuerza repartida total actuante sobre el elemento se reparte equitativamente entre los tres nodos, lo cual era un resultado intuible. Si la fuerza por unidad de área corresponde al peso propio y el eje de la gravedad coincide con el eje y se tiene que b x =0yb y = ρg, donde ρ y g son la densidad del material y el valor de la gravedad, respectivamente. b) Fuerzas repartidas sobre el contorno f (e) t = l (e) NT t tds (4.59) Por consiguiente, para un nodo i perteneciente a un lado cargado f (e) t i = l (e) NT i t tds = l (e) { } Ni t x N i t y tds (4.60) 4.16

17 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES En el cálculo de f (e) t hay que tener en cuenta que al referirse la integral a un lado del elemento, la función de forma del nodo no perteneciente a dicho lado vale cero sobre el mismo. Así, si el lado cargado es el 1-2 y las fuerzas t x y t y están uniformemente repartidas sobre dicho lado, se obtiene de (4.60) que la fuerza total sobre el lado se reparte equitativamente entre los dos nodos del mismo y el vector f (e) t es t x f (e) t = (l 12 t) (e) 2 t y t x t y 0 (4.61) 0 donde l (e) 12 es la longitud del lado 1-2. Se deduce fácilmente que si los lados cargados sonel1-3yel2-3,laexpresión de f (e) t es en cada caso f (e) t = (l 13 t) (e) 2 t x t y 0 0 t x t y ; f (e) t = (l 23 t) (e) t x t y t x t y (4.62) c) Fuerzas debidas a deformaciones iniciales Sustituyendo (4.29) en (4.46), se obtiene f ε (e) = A (e) BT D ε 0 tda= A (e) B T 1 D ε0 B T 2 D ε0 tda (4.63) B T 3 D ε0 y el vector de fuerzas debidas a deformaciones iniciales del nodo i es f ε (e) i = B T A (e) i D ε 0 tda (4.64) Utilizando (4.6) y (4.32) se puede obtener, para ε 0 constante sobre el elemento, f ε (e) [ ] d 1 bi 0 c 11 d 12 0 i = i A (e) 2A (e) d 0 c i b 21 d 22 0 i 0 0 d 33 ε 0 x ε 0 y γxy 0 tda= = t(e) 2 { bi (d 11 ε 0 x + d 12ε 0 y )+c id 33 γxy 0 } c i (d 21 ε 0 x + d 22ε 0 y )+b id 33 γ 0 xy (4.65) 4.17

18 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Para el caso de deformaciones térmicas se utilizarán las expresiones de ε 0 de la ec.(4.9). d) Fuerzas debidas a tensiones iniciales Sustituyendo (4.29) en (4.47), se obtiene f (e) σ = A (e) BT σ 0 tda= A (e) y el vector de fuerzas de tensiones iniciales del nodo i es f (e) σ i B T 1 σ0 B T 2 σ0 tda (4.66) B T 3 σ0 = A (e) BT i σ 0 tda (4.67) Haciendo uso de (4.11) y (4.32), se obtiene para σ 0 constante sobre el elemento f (e) σ i [ ] 1 bi 0 c = i A (e) 2A (e) 0 c i b i σx 0 σy 0 τxy 0 tda = t(e) 2 { bi σx 0 + c iτxy 0 } c i σ 0 y + b i τ 0 xy (4.68) 4.4 OBTENCIÓN GENERAL DE LAS FUNCIONES DE FORMA DE ELEMENTOS BIDIMENSIONALES DE CLASE C o En este apartado estudiaremos la obtención de las funciones de forma de diversos elementos bidimensionales rectangulares y triangulares de lados rectos de clase C o. En un apartado posterior generalizaremos la utilización de dichos elementos al caso de elementos con lados curvos haciendo uso del concepto de interpolación isoparamétrica Polinomios completos en dos dimensiones. Triángulo de Pascal Dado el carácter polinómico de la aproximación del MEF, las funciones de forma sólo pueden reproducir exactamente variaciones polinómicas de grado igual o inferior al del polinomio completo de mayor grado contenido en dichas funciones. Se deduce de ello que la solución de elementos finitos será tanto mejor cuanto mayor sea el grado de dicho polinomio completo. En 2D un polinomio completo de grado n puede escribirse como p f(x, y) = α i x j y k ; j + k n (4.69) i=1 donde el número de términos en el polinomio es p =(n +1)(n +2)/2 (4.70) Así, para un polinomio lineal (p =3) f(x, y) =α 1 + α 2 x + α 3 y (4.71a) 4.18

19 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES mientras que para un polinomio cuadrátrico (p =6) f(x, y) =α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x 2 + α 6 y 2 (4.71b) Una forma inmediata de identificar los términos de un polinomio completo de dos variables es utilizar el triángulo de Pascal (Figura 4.6). Figura 4.6 Triángulo de Pascal en dos dimensiones. Las funciones de forma de muchos elementos contienen términos de polinomios incompletos. Por ejemplo, el elemento rectangular de cuatro nodos contiene el término xy del polinomio de segundo grado (ec.(4.78)). Dichos términos generan variables nodales que no contribuyen notablemente a aumentar la aproximación del elemento. Así, puede afirmarse que entre dos elementos cuyas funciones de forma contengan polinomios completos del mismo grado, es más recomendable aquél con menos variables nodales Funciones de forma de elementos rectangulares de clase Co. Coordenadas naturales en dos dimensiones Describiremos la obtención de las funciones de forma de varios elementos rectangulares de clase C o. Para facilitar el cálculo adoptaremos un sistema de coordenadas ξ, η para definir la geometría del elemento. Dichas coordenadas, denominadas naturales o intrínsecas, están normalizadas de manera que los elementos tienen los lados en ξ = ±1 yη = ±1 como se muestra en la Figura 4.7. La coordenada natural ξ fue introducida en elementos unidimensionales de barra en el Apartado 3.2. De la Figura 4.7 se deduce que ξ = x x c a ; η = y y c b (4.72) donde x c e y c son las coordenadas del centro del elemento. Así dξ dx = 1 a ; dη dy = 1 b (4.73) y un elemento diferencial de área se obtiene por dx dy = ab dξ dη (4.74) 4.19

20 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Figura 4.7 Geometría de un elemento rectangular genérico. Coordenadas cartesianas y naturales. Por tanto, para integrar una función f(x, y) sobre un elemento rectangular, puede efectuarse la siguiente transformación al sistema de coordenadas naturales A f(x, y)dx dy = (e) 1 1 g(ξ, η)ab dξ dη (4.75) Dentro de los elementos rectangulares de clase C o podemos distinguir dos familias claramente diferenciadas: la Lagrangiana y la Serendípita. Consideraremos seguidamente la obtención de las funciones de forma de elementos de ambas familias Elementos rectangulares Lagrangianos Las funciones de forma de estos elementos se basan en interpolaciones polinómicas de Lagrange en dos dimensiones. Esto permite obtener con facilidad la función de forma de un nodo cualquiera como producto de dos polinomios de Lagrange unidimensionales en cada una de las dos coordenadas ξ y η correspondientes a dicho nodo. Así, si li i (ξ) es el polinomio de Lagrange de grado I en dirección ξ del nodo i y lj i (η) eldegradoj en dirección η, la función de forma de dicho nodo es N i (ξ, η) =li i (ξ) li J (η) (4.76) Los polinomios de Lagrange unidimensionales en cada nodo pueden obtenerse directamente haciendo uso de (3.6a), con la coordenada ξ o η según el caso. En la Figura 4.8 se muestran algunos de los elementos rectangulares Lagrangianos más usuales. Obsérvese que una vez definido el número de nodos en cada una de las dos direcciones ξ y η, dichonúmero no puede variar a lo largo de las diferentes lineas nodales. Esta es una característica propia de los elementos Lagrangianos y que permite diferenciarlos a simple vista de los Serendípitos que luego estudiaremos. Es importante indicar que el número de términos polinómicos contenidos en las funciones de forma de un elemento Lagrangiano puede obtenerse automáticamente del triángulo de Pascal a partir del grado de los polinomios en las direcciones ξ y 4.20

21 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES Figura 4.8 Elementos rectangulares Lagrangianos más usuales. Términos polinómicos contenidos en sus funciones de forma. η, como se indica en la Figura 4.8. Se observa que las funciones de forma no son nunca polinomios completos y todas contienen un número de términos adicionales que crece con el orden del elemento. 4.21

22 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Seguidamente presentamos la obtención de las funciones de forma de algunos elementos rectangulares de la familia Lagrangiana Elemento rectangular Lagrangiano de cuatro nodos Este elemento es el más sencillo de la familia Lagrangiana. Obtendremos aquí sus funciones de forma en coordenadas naturales (Figura 4.9). Considerando un nodo i, los polinomios de Lagrange unidimensionales en cada dirección ξ y η coinciden con las funciones de forma del elemento de barra de dos nodos. Es fácil encontrar, por tanto, que l i 1 (ξ) =1 2 (1 + ξξ i) ; l i 1 (η) =1 2 (1 + ηη i) (4.77) donde ξ i y η i toman los valores de la tabla de la Figura 4.9. Por consiguiente, la función de forma del nodo i es N i (ξ, η) =l i 1 (ξ)li 1 (η) =1 4 (1 + ξξ i)(1 + ηη i ) (4.78) En la Figura 4.9 se muestra de forma gráfica la obtención de la función de forma del nodo 1. Figura 4.9 Elemento rectangular Lagrangiano de 4 nodos. 4.22

23 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES El elemento rectangular de cuatro nodos tiene un comportamiento excelente en problemas donde dominen los estados de tracción o compresión pura. Su precisión en zonas donde existan flexiones importantes es baja, siendo superiores en estos casos los elementos de mayor orden que se presentan en los apartados siguientes. Para mejorar el comportamiento del elemento de cuatro nodos se han desarrollado diversas técnicas, tales como la adición de modos de deformación de un orden más alto. Para los detalles consultar [O3] Elemento rectangular Lagrangiano cuadrático de nueve nodos Las funciones de forma del elemento rectangular Lagrangiano de nueve nodos (Figura 4.10), se obtienen como producto de dos polinomios de Lagrange de segundo grado en ξ y η. Dichos polinomios se obtienen directamente para cada nodo de las expresiones de las funciones de forma del elemento de barra cuadrático (ec. (3.11)). Así, por ejemplo, para el nodo 1 y la función de forma del nodo es l2 1 (ξ) =1 2 (ξ 1)ξ ; l1 2 (η) =1 (η 1)η (4.79) 2 N i (ξ, η) =l2 1 (ξ)l1 2 (η) =1 (ξ 1)(η 1)ξ η (4.80) 4 procediéndose de manera idéntica para el resto de los nodos. Tras operar, pueden encontrarse las siguientes expresiones: a) Nodos esquina N i = 1 4 (ξ2 + ξξ i )(η 2 + ηη i ) ; i =1, 3, 5, 7 (4.81) b) Nodos intermedios en los lados N i = 1 2 η2 i (η2 ηη i )(1 ξ 2 )+ 1 2 ξ2 i (ξ2 ξξ i )(1 η 2 ) ; i =2, 4, 6, 8 (4.82) c) Nodo central N 9 (ξ, η) =(1 ξ 2 )(1 η 2 ) (4.83) En la Figura 4.10 se presentan las funciones de forma de tres nodos característicos. Dichas funciones contienen los términos polinómicos que se muestran en la Figura 4.8. Se aprecia en dicha figura que el elemento Lagrangiano de nueve nodos contiene todos los términos del polinomio completo de segundo grado y 3 términos adicionales (x 2 y, xy 2 y x 2 y 2 ) de los de tercer y cuarto grado. Por consiguiente, la aproximación del elemento es simplemente cuadrática. 4.23

24 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Figura 4.10 Elemento rectangular Lagrangiano cuadrático de 9 nodos Elementos rectangulares Serendípitos Los elementos Serendípitos se obtienen de la manera siguiente: En primer lugar se selecciona el número de nodos de cada lado para definir una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc., sobre dichos lados que garantice la continuidad interelemental. Tras ello, se escoge el mínimo número de nodos en su interior de manera que se obtenga una variación polinómica en ξ y η completa y simétrica, 4.24

25 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES del mismo grado que la variación sobre los lados. En la Figura 4.11 se muestran algunos de los elementos rectangulares de la familia Serendípita más populares, así como los términos que intervienen en sus funciones de forma. Se observa que el elemento más sencillo de esta familia es el rectángulo de cuatro nodos ya estudiado y que, por consiguiente, pertenece a ambas familias, Lagrangiana y Serendípita. Se aprecia, asimismo, que los elementos cuadrático y cúbico, de 8 y 12 nodos, respectivamente, no tienen nodos internos, mientras que el de 17 nodos precisa un nodo en su interior para poder conseguir todos los términos del polinomio completo de cuarto grado [O3]. Las características de los elementos Serendípitos impiden que sus funciones de forma puedan obtenerse de un modo tan sistemático como las de los elementos Lagrangianos. De hecho, dichas funciones de forma suelen obtenerse en la práctica combinando la observación y el ingenio. De ahí la denominación Serendípita para esta familia de elementos como referencia a los descubrimientos ingeniosos del príncipe de Serendip, citado en los romances de Horacio Walpole en el siglo XVIII. No obstante, para los elementos más populares de la familia Serendípita, que se presentan en la Figura 4.11, la obtención de las funciones de forma es sencilla, como inmediatamente comprobaremos para el elemento de ocho nodos Elemento rectangular Serendípito cuadrático de 8 nodos Las funciones de forma de los nodos intermedios en los lados se obtienen de forma inmediata como producto de un polinomio de segundo grado en ξ (ó η) por otro de primer grado en η (ó ξ ). Puede comprobarse que dicho producto contiene los términos polinómicos deseados (ver Figura 4.11). Así pues, con carácter general puede escribirse para dichos nodos N i (ξ, η) = 1 2 (1 + ξξ i)(1 η 2 ) ; i =4, 8 N i (ξ, η) = 1 2 (1 + ηη i)(1 ξ 2 ) ; i =2, 6 (4.84) Para los nodos esquina no podemos adoptar la misma estrategia, pues el producto de los dos polinomios unidimensionales cuadráticos que corresponden a los lados que concurren en un vértice daría un valor nulo en el centro del elemento, con lo que en dicho punto la suma de las funciones de forma no sería la unidad. Por consiguiente, hay que adoptar un procedimiento distinto que se resume en las etapas siguientes: Etapa 1. Se obtiene la función de forma que correspondería al nodo esquina en cuestión si perteneciera a un elemento de cuatro nodos. Así, por ejemplo, para el nodo 1 (Figura 4.12) N1 L = 1 (1 ξ)(1 η) (4.85) 4 La función de forma anterior vale uno en el nodo esquina y cero en los restantes nodos con excepción de los dos adyacentes al nodo considerado. 4.25

26 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Figura 4.11 Elementos rectangulares Serendípitos más usuales. Términos contenidos en sus funciones de forma. Etapa 2. Se impone que la función de forma sea nula en uno de los nodos adyacentes, restando a la ec.(4.85) la mitad del valor de la función de forma en dicho nodo. Así, para anular N1 L en el nodo 2, se hace N 1 (ξ, η) =N L N 2 (4.86) 4.26

27 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES Figura 4.12 Elemento rectangular Serendípito cuadrático de 8 nodos. Obtención de las funciones de forma de un nodo lateral y otro esquina. Etapa 3. La función N 1 sigue valiendo 1/2 en el otro nodo adyacente al nodo esquina considerado (nodo 8). Por consiguiente, el paso final es anular N 1 en dicho nodo restándole la mitad del valor de su función de forma. Es decir N 1 (ξ, η) =N L N N 8 (4.87) 4.27

28 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Realizando las etapas anteriores para el resto de los nodos esquina puede encontrarse la expresión general de las funciones de forma como N i (ξ, η) = 1 4 (1 + ξξ i)(1 + ηη i )(ξξ i + ηη i 1) i =1, 3, 5, 7 (4.88) Del examen de los términos polinómicos contenidos en las funciones de forma (ver Figura 4.11) se desprende que el elemento Serendípito de ocho nodos tiene una aproximación cuadrática completa y contiene únicamente dos términos adicionales x 2 y y xy 2 del polinomio de tercer grado. Comparando dicho elemento con el equivalente de nueve nodos de la familia de Lagrange (ver Apartado ) se deduce que el elemento de ocho nodos tiene, con un nodo menos, el mismo grado de aproximación que el de nueve (conteniendo este último un término adicional x 2 y 2 debido a la existencia del nodo central). Por consiguiente, el elemento Serendípito de ocho nodos presenta una mejor relación grado de aproximación/número de variables nodales que el Lagrangiano de nueve. En la referencia [O3] pueden encontrarse las funciones de forma de elementos Serendípitos de órdenes superiores Funciones de forma de elementos triangulares Los elementos triangulares de clase C 0 se caracterizan porque sus funciones de forma contienen exactamente todos los términos de un polinomio completo de un grado determinado. Recordemos, por ejemplo, que el elemento de tres nodos del Apartado 4.3 contenía funciones de forma lineales. Por otra parte, los elementos de seis y diez nodos definen las aproximaciones completas de segundo y tercer grado siguientes: Elemento de seis nodos Elemento de diez nodos φ = α o + α 1 x + α 2 y + α 3 xy + α 4 x 2 + α 5 y 2 (4.89) φ = α o + α 1 x+α 2 y+α 3 xy+α 4 x 2 + α 5 y 2 + α 6 x 3 + α 7 x 2 y+α 8 xy 2 + α 9 y 3 (4.90) Por consiguiente, los desarrollos polinómicos correspondientes a las funciones de forma de cada elemento pueden obtenerse directamente del triángulo de Pascal. Asimismo, dicha propiedad permite conocer la distribución de nodos internos y en los lados, pues dicha distribución guarda una perfecta analogía con la de los términos de dicho triángulo. Las α i de las ecuaciones anteriores pueden calcularse siguiendo el procedimiento descrito en el Apartado para el triángulo de tres nodos. No obstante, este 4.28

29 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES métodoescomplejoparaelementosdeórdenes elevados y es mucho más sencilla la obtención directa haciendo uso de las coordenadas de área que describiremos seguidamente Coordenadas de área Si se une un punto interior P de un triángulo de área A con los tres vértices (Figura 4.13) se obtienen tres subáreas A 1,A 2 y A 3 tales que A 1 + A 2 + A 3 = A. Las coordenadas de área se definen entonces como L 1 = A 1 A ; L 2 = A 2 A ; L 3 = A 3 A (4.91) cumpliéndose obviamente que L 1 + L 2 + L 3 =1 (4.92) La posición del punto P puede definirse por dos cualquiera de dichas coordenadas. Las coordenadas de área de un nodo puede definirse también como cociente entre la distancia del punto P al lado opuesto dividida por la distancia entre el nodo y dicho lado (Figura 4.13). Por consiguiente, el centro de gravedad del triángulo tiene como coordenadas de área L 1 = L 2 = L 3 =1/3. Las coordenadas de área, baricéntricas, triangulares o trilineares, como también se las conoce, son clásicas de tratados de geometría [F2], aunque por su particular utilidad para la definición de funciones de forma de elementos triangulares han sido estudiadas y utilizadas ampliamente en relación con el método de los elementos finitos. Figura 4.13 Coordenadas de área del triángulo. 4.29

30 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Las coordenadas de área son doblemente interesantes porque pueden utilizarse para definir una interpolación paramétrica del elemento. Más aún, si la geometría y el campo de desplazamientos se definen por las mismas funciones de forma expresadas en coordenadas de área,elelementoesisoparamétrico. Así, para un elemento triangular de lados rectos puede escribirse la siguiente relación lineal entre las coordenadas de un punto y las de área x = L 1 x 1 + L 2 x 2 + L 3 x 3 y = L 1 y 1 + L 2 y 2 + L 3 y 3 (4.93) Estas ecuaciones representan la interpolación isoparamétrica de la geometría. Despejando L 1,L 2 y L 3 de (4.92) y (4.93) se obtiene L i = 1 2A (e) (a i + b i x + c i y) (4.94) donde A (e) es el área del triángulo y a i,b i y c i coinciden con los valores de (4.25) para el elemento triangular de tres nodos. Se comprueba, por tanto, que las coordenadas de área son precisamente las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos Expresión general de las funciones de forma de un elemento triangular completo Las funciones de forma de los elementos triangulares que contienen polinomios completos de grado M pueden obtenerse en función de las coordenadas de área por elprocedimiento siguiente: Sea i un nodo cualquiera que ocupa la posición (I,J,K) en los lados o en el interior del elemento. Los valores de I,J y K coinciden con los exponentes con que van afectadas cada una de las coordenadas de área L 1,L 2 y L 3, respectivamente, en la expresión de la función de forma del nodo. Por consiguiente, se cumple que I + J + K = M. Y la función de forma del nodo i viene dada por N i = l s1 I (L 1) l s1 J (L 2) l s3 K (L 3) (4.95) El superíndice s1 corresponde al número de orden que guarda el nodo i en dirección del eje L 1, es decir, para la coordenada de área L 1 =1,s1=1ypara L 1 =0,s1=M +1,(1 s1 M +1). li s1(l 1) es el polinomio en L 1 que pertenece a la familia de los polinomios de Lagrange de grado I asociado al nodo i l s1 I (L 1 )= j=1,m+1 j 1,s1 ( L1 L j 1) ( L s1 1 L j ) (4.96) 1 con idénticas expresiones para lj s2(l 2)ylK s3(l 3). En (4.96) L i 1 coordenada L 1 en el nodo i. es el valor de la 4.30

31 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES Con el objeto de que la ecuación (4.95) sea consistente para todos los nodos, es necesario tener en cuenta que L s1 0 (L 1 )=1. La dificultad mayor para aplicar la ec. (4.96) consiste en deducir los valores I,J,K de cada nodo. Esto puede hacerse fácilmente teniendo en cuenta que: a) La función de forma de cada nodo de vértice depende únicamente de una coordenada de área, de lo que se deduce el exponente que afecta a dicha función y, por tanto, el valor de I,J o K del nodo; b) Los nodos colocados sobre las rectas L 1 = cte tienen el mismo I, ocurriendo lo mismo con L 2 y J y L 3 y K, yc) Los valores I,J,K asociados a L 1, L 2 y L 3 decrecen de unidad en unidad desde sus valores máximos sobre las rectas L i = 1 que pasan sobre los nodos de vértice, hasta el valor cero sobre la recta L i = 0 que coincide con el lado opuesto al vértice en cuestión. (Figura 4.14). Aclararemos todos estos conceptos con varios ejemplos. Figura 4.14 Elementos triangulares lineal, cuadrático y cúbico y términos de sus funciones de forma. Valores nodales de las coordenadas de área L i y entre paréntesis los de las coordenadas (I,J,K) de cada nodo. 4.31

32 Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos Funciones de forma del elemento triangular lineal de tres nodos Las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos son polinomios de primer grado (M =1). Laposición de cada nodo y sus coordenadas de área puede verse en la Figura Nodo 1 Posición (I,J,K):(1, 0, 0) Coordenadas de área: (1, 0, 0) N 1 = l1 1 (L 1)l0 2 (L 2)l0 2 (L 3)=L 1 1 (L 1)= ( = L1 L j ( 1) L1 L1) 2 ( = L 1 1 L j ( = 1) L 1 1 L1) 2 j=1,2 j 1,1 ( L1 0 ) ( 1 0 ) = L 1 (4.97) Es inmediato encontrar que N 2 = L 2 y N 3 = L 3, resultado, por otra parte, ya conocido Funciones de forma del elemento triangular cuadrático de seis nodos Las funciones de forma de este elemento son polinomios completos de segundo grado (M =2). Laposición de los nodos y el valor de las coordenadas de área de cada nodo pueden verse en la Figura Nodo 1 Posición (I,J,K):(2,0,0) Coordenadas de área: (1, 0, 0) N 1 = l 1 2 (L 1)l 3 0 (L 2)l 3 0 (L 3)=L 1 2 (L 1)= j=1,3 j 1,1 ( L1 L j 1) ( L 1 1 L j 1) = ( ( L1 L1) 2 L1 L1) 3 ( ( = L 1 1 L1) 2 L 1 1 L1) 3 ( = (L 1 1/2) L1 0 ) ( ) =(2L 1 1)L 1 (4.98) (1 1/2) 1 0 Nodo 4 Posición (I,J,K):(1, 1, 0) Coordenadas de área: (1/2, 1/2, 0) N 4 = l 2 1(L 1 ) l 2 1(L 2 )l 3 0(L 3 )=l 2 1(L 1 )l 2 1(L 2 )= ( ( L1 L1) 3 L2 L2) 3 j=1,3 j 1,2 ( L2 0 ) ( L1 L j 1) ( L 2 1 L j ) 1 j=1,3 j 1,2 ( L2 L j 2) ( L 2 2 L j 2) = = ( ( ) = L 2 1 L1) (L 1 0)L 1 ( ) =4L 1 L 2 (4.99) 3 L 2 2 L 3 (1/2) 0 2 1/

33 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES Siguiendo el mismo procedimiento, se obtiene fácilmente para todos los nodos N 1 =(2L 1 1)L 1 ; N 2 =(2L 2 1)L 2 ; N 3 =(2L 3 1)L 3 N 4 =4L 1 L 2 ; N 5 =4L 2 L 3 ; N 6 =4L 1 L 3 (4.100) En la Figura 4.15 se muestra la geometría de dos funciones de forma características. Figura 4.15 Funciones de forma de un nodo esquina y un nodo lateral en un elemento triangular cuadrático Utilización de coordenadas naturales Es frecuente definir sobre la geometría normalizada del elemento triangular un sistema de coordenadas naturales α y β de manera que el elemento tenga los lados sobre los ejes α =0,β =0y1 α β = 0, como se indica en la Figura En dicho caso, las funciones de forma del elemento triangular de tres nodos vienen dadas por N 1 =1 α β ; N 2 = α, N 3 = β (4.101) de donde se deduce que las coordenadas de área L 2 y L 3 coinciden con las coordenadas α y β, respectivamente, y L 1 =1 α β. Figura 4.16 Coordenadas naturales en un elemento triangular. 4.33