ANALISIS EXPERIMENTAL DE TENSIONES Clase Nº 3. Elementos Finitos. Diferencias Finitas. Analogías.

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1 Análisis Experimental de Tensiones Ing. Diego Luis Persico ANALISIS EXPERIMENTAL DE TENSIONES Clase Nº 3 Elementos Finitos. Diferencias Finitas. Analogías. Conceptos previos. Funcionamiento Estructural Qué queremos decir cuando decimos que vamos a estudiar una estructura? La respuesta se debe buscar en las diciplinas en las que se basa la Mecánica Estructural moderna, es decir en la Teoría Matemática de la Elasticidad y la Teoría de la Resistencia de Materiales. El mérito permanente de estas diciplinas es el de haber respondido a esta pregunta introduciendo los conceptos de: (1) Fuerzas en Estructuras, (2) Desplazamientos en Estructuras, (3) Tensiones y (4) Deformaciones, basándose en la Física, Mecánica de Newton y en el Análisis Matemático, Cálculo Diferencial e Integral de Newton. Entonces cuando decimos que estudiamos una estructura queremos decir exclusivamente que (1) determinamos las causas deformantes que actúan sobre ellas y que cuantificamos por medio de fuerzas, (2) determinamos los desplazamientos que se desarrollan en la estructura, (3) determinamos las deformaciones específicas y finalmente (4) determinamos las tensiones que se dan en su interior. Estos 4 parámetros, Fuerzas, Desplazamientos, Deformaciones y Tensiones pueden ser determinados o evaluados usando las formas teóricas propuestas por esas dos diciplinas madre o por otras formas mas adecuadas y mas modernas o actuales. Independiente del modelo que usemos, no se debe olvidar que el sustento de cualquiera de ellos debe buscarse siempre en las dos diciplinas mencionadas. Dos métodos para realizar el análisis numérico de una estructura son el Método de Diferencias Finitas, MDF, y el Método de Elementos Finitos, MEF, sobre los cuales se supone que el alumno tiene nociones cuando menos elementales. Acá sólo recordamos las etapas o pasos que se dan en ellos. Es necesario destacar que la diciplina AET ha aportado métodos para la resolución numérico experimental de modelos estructurales teóricos. Nos referimos a la Resolución por Analogías Experimentales, RAE.

2 Análisis Experimental de Tensiones Ing. Diego Luis Persico MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y DE DIFERENCIAS FINITAS. I Tipos de problemas de mecánica Problemas de equilibrio. Problemas de autovalores. Problemas de propagación. Descripción del estado estacionario. Descripción del estado estacionario + valores críticos de parámetros. Descripción de la evolución instante a instante a partir de valores iniciales. II Ecuaciones resolutivas en problemas de mecánica. Sistemas discretos: Equlibrio Ecuaciones algebraicas. Autovalores Ecuaciones algebraicas. Propagación Ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas contínuos: Equlibrio Ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias. Autovalores Ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias. Propagación Ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias. III Soluciones exactas y aproximadas en problemas de la mecánica del contínuo. Solución Matemática. Sistema diferencial gobernate. Solución exacta Ecuaciones diferenciales Condiciones de borde Resolución analítica Cálculo diferencial Cálculo integral Solución aproximada contínua Método numérico de integración Aproximación con funciones contínuas Solución aproximada discreta Método numérico de discretización Ejemplo. Diferencias finitas Solución Física. Principios extremos de la física. Solución exacta Principios y teoremas energéticos Resolución analítica Cálculo variacional Minimización de un funcional Solución aproximada contínua Método numérico variacional Aproximación con funciones contínuas Ejemplo: Método de Ritz Solución aproximada discreta Método numérico de discretización Ejemplo. Elementos finitas

3 Análisis Experimental de Tensiones Ing. Diego Luis Persico Resolución por Analogías Experimentales, RAE Este es un campo variado y complejo, para el cual, acá, sólo se listan las principales analogías: I Torsión y Flexión en Barras Prismáticas Teoría de Saint Venant I.1 Analogía de la membrana con presión para la torsión sin flexión. Permite mediante la medición de alturas de membrana en una figura plana a la que se le aplica presión de un gas conocer las tensiones originadas por fuerzas de superficie equivalentes a un par torsor. I.2 Analogía de la membrana sin presión para la torsión sin flexión. I.3 Analogía de la membrana con presión para la flexión sin torsión. I.4 Analogía eléctrica para la torsión de barras de sección circular variable. I.4.a Analogía eléctrica de Jacobsen. Para la determinación experimental del factor de concentración de tensiones en ejes de sección circular con cambio brusco de diámetro. I.4.b Analogía eléctrica de Bautz. Para la determinación experimental del factor de concentración de tensiones en ejes de sección circular con cambio brusco de diámetro. II Estados planos o bidimensionales de Tensión y de Deformación. Función de Airy. II.1 Analogía entre los estados bidimensionales de tensión y de deformación. Función de Airy. II.2 Analogía 1 de Biot. Analogía entre el estado plano de tensiones originado por fuerzas de volumen y su homólogo generado por fuerzas de contorno o de borde. Permite mediante la medición de las tensiones en una figura plana a la que se le aplican fuerzas en el borde conocer las tensiones originadas por fuerzas de volumen. II.3 Analogía 2 de Biot. Analogía entre el estado plano de tensiones originadas por un estado permanente de temperaturas y su homólogo estado plano de tensiones originado por un cedimiento de apoyo en el contorno. Permite mediante la medición de las tensiones en una figura plana a la que se le aplican mecanicamente dislocaciones en el borde conocer las tensiones originadas por variaciones de temperatura estacionarias. II.4 Analogía de la placa delgada. La analogía es entre las ecuaciones diferenciales de Airy y las que gobiernan las deflexiones de una placa delgada. Permite mediante la medición de desplazamientos en una placa delgada cargada con fuerzas superficiales normales a ella conocer el estado plano de tensiones en una figura plana cargada en su plano. La figura puede ser simple o multiplemente conexa. III Campos elásticos generales. Sistemas Planos o espaciales. Estáticos o dinámicos. Sometidos a fuerzas de volumen o de fuerzas de superficie o sometidos a desplazazmientos. Analogía de Kron. III.1 Analogía de la malla o circuito eléctrico. La analogía se da en una malla o circuito eléctrico en el que las intensidades de corriente son análogas a las tensiones y las caídas de voltaje son análogas a las deformaciones. Permite mediante la medición de intensidades de corriente y de variaciones de voltaje en una malla eléctrica, diseñada para ser análoga al estructura estudiada, conocer el estado de tensiones y de deformaciones de dicha estructura.

4 Análisis Experimental de Tensiones Ing. Diego Luis Persico IV Estructuras elásticas de barras. Sistemas de Vigas, Reticulados y Pórticos Planos o espaciales. Isostáticos o Hiperestáticos. Sometidos a fuerzas o sometidos a desplazazmientos. Analogía de Bush. IV.1 Analogía del circuito eléctrico. La analogía se da entre un circuito eléctrico en el que las intensidades de corriente son análogas a las fuerzas aplicadas en los nodos de la estructura análoga de barras y las caídas de voltaje son proporcionales a las variaciones de distancia entre los nodos extremos de las barras. Permite mediante la medición de intensidades de corriente y caídas de voltaje en un circuito eléctrico, diseñado para ser análogo a la estructura de barras estudiada, conocer el estado de solicitaciones o esfuerzos en las barras de dicha estructura.

5 Análisis Experimental de Tensiones Ing. Diego Luis Persico RESUMEN DE ETAPAS EN MEF, MDF Y RAE Resumen de las etapas del Método de Elementos Finitos (1) Selección del tipo de elemento y del modelo de desplazamientos. (2 )Discretización del contínuo (3) Deducción de la matriz de rigidez de un elemento individual usando un principio variacional como ecuación de equilibrio, ecuación algebraica. (4) Ensamble de las ecuaciones algebraicas para el conjunto del sistema discretizado. (5) Obtención de los desplazamientos nodales incógnitos para las condiciones de borde del problema particular. (6) Cálculo de desplazaminetos en puntos interiotres de los elementos interpolando con las funciones del modelo de desplazamientos. (7) Calculo de deformaciones y tensiones. Las deformaciones específicas se obtienen de los desplazamientos usando las Relaciones Cinemáticas y las tensiones se obtienen usando las relaciones entre deformaciones y tensiones que se proponen. También recordar el método de las incógnitas geométricas para estructuras de barras. Resumen de las etapas del Método de Diferencias Finitas (1) Obtención teórica de las ecauciones diferenciales que gobiernan el problema. Ejemplo 1: La función desplazamiento v en flexión de barras Ejemplo 2: La función de Airy en estados planos de tensión (2 ) Discretización del contínuo generando una malla o cuadrícula con sus nodos. (3) Armado de las operadores que permiten obtener en forma discreta las primaras derivadas de la función incógnita en base a los valores numéricos de esa misma función en el entorno del nodo analizado. (3) Obtención de nodos fuera de la malla para representar las condiciones de borde. (4) Formación del sistema de ecuaciones algebraicas. (5) Obtención de los desplazamientos nodales incógnitos para las condiciones de borde del problema particular, mediante la resolución del sistema de ecuaciones algebraicas obtenido en el punto 6. (6) Cálculo de esfuerzos, tensiones y deformaciones usando los operadores respectivos. Resumen de Etapas en la RAE (1) Obtención de la ecuación diferencial que gobierna el problema. Ej. Torsión de barras. (2) Investigación para hallar el fenómeno natural cuya ecuación diferencial gobernante tiene idéntica forma matemática. Ej. Membrana elástica inflada con presión de aire. (3) Establecer la analogía. Ej. La función de Prandtl en la torsión de barras es análoga a la altura de la membrana inflada. (4) Establecer las constantes de proporcionalidad entre ambas funciones. (5) Medir la altura de la membrana, la que multiplicada por la constante de proporcionalidad nos da la función de tensión de Prandtl. (6) Mediante los valores numéricos de la función de Prandtl se obtienen por las fórmulas de pasaje las tensiones y deformaciones.

6 Análisis Experimental de Tensiones Ing. Diego Luis Persico NOCIONES SOBRE EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

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