3.1. Ecuación de movimiento y cuadraturas

Transcripción

1 Capítuo 3 Fuerzas centraes 3.1. Ecuación de movimiento y cuadraturas Sea un campo de fuerzas que depende únicamente de a distancia a origen: F = F ( r ). A este tipo de fuerzas se as ama centraes. Si a fuerza es conservativa, entonces existirá una función V = V ( r ), a energía potencia, como un campo escaar ta que F ( r ) = V ( r ). Figura 3.1: Las fuerzas centraes sóo dependen de a distancia a Bajo estas condiciones origen. m d r dt = F ( r ), constituye a a ecuación de movimiento y tiene una primera cuadratura que es e teorema de conservación de a energía mecánica tota: E = 1 mṙ + V ( r ). (3.1) 58

2 CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES 59 Como V = V ( r ), e probema tiene simetría esférica, por o que se utiizará un sistema de coordenadas para su descripción, teniendo en cuenta que e movimiento se reaiza en e pano x y, o que se traduce en que θ = π, o que da Figura 3.: Simetría esférica para probemas con fuerzas centraes. x = r cos φ y = r sin φ z = 0. La eección se faciita observando que: F ( r ) = F ( r ) 1r r = r 1 r, por consiguiente, r F = 0, que de acuerdo con as eyes de Newton, nos indica que L =cte. Es decir, e torque neto arededor de origen es cero y e momento anguar debe ser constante. Entonces: L = 1 z ( = cte.) Como en coordenadas esféricas, a veocidad tiene a forma v = ṙ1 r + r θ 1 θ + r sin θ φ 1 φ y puesto que θ = π y θ = 0, entonces, se puede escribir v = ṙ + r φ, por o que a conservación de a energía queda: E = 1 m ( ṙ + r φ ) + V ( r ). Además, e producto vectoria L = r p, nos da, considerando a Fig. 3.1, en a que se muestra que 1 r 1 φ = 1 z : L = mr φ 1z.

3 VELOCIDAD AREOLAR Y ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA Figura 3.3: Reación entre vectores unitarios en e pano x y. t t 0 = r r 0 Siendo una constante, se tendrá entonces: φ = mr. Por o tanto, de teorema de conservación de a energía se tiene: 1 m ( ṙ + m r ) = E V(r). Expresión que despejando ṙ, se puede integrar, obteniéndose así: dr, (3.) [e V(r)] m m r o que constituye a segunda cuadratura de probema. La integra proporciona r = r(t) una vez conocida a forma de V = V(r). 3.. Veocidad areoar y ecuación de a trayectoria En a Fig. 3., se observa que e eemento de área da = 1 r dφ, puede variar con e tiempo de forma que A = da dt = 1 r φ, y reempazando a expresión para φ, se obtiene que este cambio con e tiempo denominado veocidad areoar resuta: A = m = cte. E hecho de que a veocidad areoar sea constante es una consecuencia directa de a centraidad de a fuerza y expresa matemáticamente e enunciado de a segunda ey de Keper.

4 CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES 61 Figura 3.4: Área barrida por un vector a o argo de un eemento de arco. También de φ =, se tiene: mr dφ = mr dt, por o que a ecuación de a trayectoria se puede escribir, utiizando a segunda cuadratura: dφ = o bien φ = dr mr [E V(r)] m r, m r dr + cte. m [E V(r)] r Voviendo a a primera cuadratura E = 1 mṙ + mr + V(r), se muestra que se puede considerar a parte radia de movimiento como un movimiento inea propio de una partícua sometida a un potencia efectivo V ef = V(r) + mr, donde e término, se denomina energía mr centrífuga. Cuando E = V(r) + mr, Figura 3.5: Potencia efectivo y puntos de retorno. se tiene ṙ = 0. Esta condición determina os puntos de retorno para os que a dirección de movimiento se invierte Probema de Keper Para e potencia V(r) = α, donde α es una constante que está dada r por α = Gm 1 m.

5 PROBLEMA DE KEPLER E potencia efectivo es: V ef = mr α r, por o que, considerando a ecuación para φ, se tiene introduciendo e potencia de Keper: φ = r dr m ( + cte. E + α)) r r Si se hace e cambio de variabe u = 1, r con o que du = dr, se obtiene: r φ = du me + mαu u + cte. Figura 3.6: Potencia efectivo de Keper. Utiizando a integra dx ax + bx + c = 1 ( ) ax + b arcsin, a b 4ac se tiene para a ec. en φ: que se puede reescribir φ φ 0 = arcsin ( ) u + mα, m α + me sin ( φ φ 0 ) = mα r me + m α, de donde, despejando r: r = mα me + m α sin ( φ φ 0 ). Si se eige φ 0 = π, a ecuación para r queda: r = mα + me + m α cos φ. (3.3)

6 CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES 63 Comparando con a ecuación genera de as cónicas r = p 1 + ɛ cos φ, se obtiene que para e parámetro p y a excentricidad ɛ, se tienen: p = mα ; ɛ = 1 + E mα. Figura 3.7: Propiedades de a eipse. Se obtiene movimiento finito soamente cuando E < 0 y consiguientemente, ɛ < 1. Considerando as propiedades de a eipse, se pueden escribir expresiones expícitas para os semiejes en términos de as variabes físicas. Así, e semieje mayor, será: a = en tanto que para e semieje menor: La forma de a trayectoria está determinada por e vaor de a excentricidad ɛ. Así, se tendrá: ɛ < 1 = eipse E < 0, ɛ = 1 = parboa E = 0, ɛ > 1 = hiprboa E > 0. p 1 ɛ = α E, b = a 1 ɛ = m E Leyes de Keper A fines de s. XVI y principios de s. XVII, as ideas copernicanas aún no eran bien aceptadas y a Igesia se encargaba mediante sus tribunaes de inquisición de persuadir a os inteectuaes de a época a no hacer púbicos sus apoyos a a reciente teoría heiocéntrica de Copérnico. Tycho Brahe ( ) era un gran señor danés y un admirabe astrónomo

7 PROBLEMA DE KEPLER cuyos trabajos tienen a caidad de ser continuos y sistemáticos por más de 0 años, jamás reaizados en ese entonces. E 4 de febrero de 1600, Brahe tiene un encuentro con Johannes Keper ( ) y e proporciona generosamente e conjunto de datos que había acumuado de a una y os panetas. Muchos astrónomos desde os tiempos de Ptoomeo, trataban de comprender e movimiento de paneta Marte y cuando Keper recibe os datos de Brahe, su objetivo era justamente poder expicar ese misterioso movimiento de paneta rojo. Keper recurre a cácuos matemáticos y a nuevos métodos geométricos y por supuesto a a intuición e inspiración que siempre deben acompañar a un científico. A pesar de todo, e movimiento de Marte se resistía a ser satisfactoriamente expicado, hasta que Keper decide romper con e dogma de que e movimiento de os astros denotaba a perfección, es decir, trayectorias circuares y adopta uego de argos e intensos razonamientos a a eipse como a trayectoria de Marte y extrapoa este resutado a os otros panetas. Vovamos a as ecuaciones anteriormente formuadas y de a veocidad areoar, tratemos de haar e período de revoución: o que da πab 0 da = T 0 m dt, T = mπab. Ahora, utiizando as reaciones geométricas y físicas de as trayectorias eípticas para e probema de Keper, se obtiene: T = m que puede expresarse como: πa ( a ) m p 1 ɛ = πa a, T = 4π m α a3 (Tercera ey de Keper). Finamente, expresando todo en términos sóo de variabes físicas: m T = πα E, (3.4) 3 o que muestra que e período depende soamente de a energía de a partícua.

8 CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES 65 Los enunciados de as denominadas eyes de Keper, formuadas en e s. XVII son: Primera ey de Keper.- Los panetas se mueven en órbitas eípticas en as que e so ocupa uno de os focos. Segunda ey de Keper.- Las áreas barridas por os radios vectores en tiempos iguaes, son iguaes. Tercera ey de Keper.- E cuadrado de período de revoución es proporciona a cubo de semieje mayor Ecuación diferencia de a órbita La ecuación de movimiento se puede escribir F = m a. Como a aceeración en coordenadas esféricas es: a = ( r r θ r sin θ φ ) [ 1r 1 d ( + r θ ) ] r sin θ cos θ φ 1θ 1 d ( +[ r sin θ φ )] 1φ. r dt r sin θ dt Como θ = π y θ = 0, entonces a = ( r r φ ) [ 1r 1 d ( + r φ )] 1φ. r dt Entonces: F(r) 1 [ r = m ( r r φ ) 1r + 1 d ( r φ ) ] 1φ, r dt cuyas componentes son: F(r) = m ( r r φ ) (3.5) y m d ( r φ ) = 0. (3.6) r dt De (3.6), se tiene 1 d r dt = 0, o que expresa a conservación de momento anguar. De (3.5) y utiizando a expresión de φ: F(r) = m r mr 3.

9 PROBLEMA DE KEPLER Por otro ado, y ṙ = dr dφ dφ dt = φ dr dφ r = d ( φ dr ) ( ) dφ d φ dφ dφ dt = dr φ dφ dφ + φ d r. dφ Utiizando nuevamente a expresión de φ y uego de agunos cácuos, se obtiene: ( ) r = dr + d r m r 5 dφ m r 4 dφ. Por o que reempazando en F(r): ( ) F(r) = dr + d r m r 5 dφ m r 4 dφ mr, 3 o que finamente, permite obtener a ecuación diferencia de a órbita: d r dφ ( ) dr r = mr4 F(r). (3.7) r dφ Esta ecuación, se puede expresar también en términos de u, donde u = 1. r Por o que se tendrá: d ( ) 1 u = 1 du dφ u dφ d ( ) 1 u = ( ) du 1 d u dφ u 3 dφ u dφ. La ec. (3.7) queda en términos de u: d ( ) 1 u dφ u d ( 1 u dφ ) 1 u = m ( ) 1 u F, 4 u con o que resuta finamente, a ecuación de a órbita en términos de u: d u dφ + u = m ( ) 1 u F. (3.8) u Si se conoce a ey de fuerzas F, es posibe resover (3.7) y (3.8). Por otra parte, si se conoce a órbita, se puede encontrar F.

10 CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES Ley de a gravitación universa de Newton Los seres humanos desde su aparición sobre a Tierra sintieron os efectos de a gravedad y a medida que fueron evoucionando, trataron de entender e cómo y e por qué de a actuación de esta fuerza que rige todos nuestros actos de a vida cotidiana. Para todos os seres que habitamos e paneta Tierra, es evidente a infuencia que ejerce a fuerza de gravedad; es parte esencia de todas nuestras actividades desde nuestra más temprana edad puesto que incuso os bebés tienen a noción de que deben sostenerse a ago para no caer. Un momento cuminante en a historia de a Física fue e descubrimiento reaizado por Isaac Newton de a Ley de a Gravitación Universa: todos os objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporciona a producto de sus masas e inversamente proporciona a cuadrado de a distancia que separa sus centros. A someter a una soa ey matemática os fenómenos físicos más importantes de universo observabe, Newton demostró que a física terrestre y a física ceeste son una misma cosa. E concepto de gravitación ograba de un soo gope: Revear e significado físico de as tres eyes de Keper sobre e movimiento panetario. Dar cuenta de a curiosa e inexpicabe observación de Gaieo Gaiei de que e movimiento de un objeto en caída ibre es independiente de su masa. Resover e intrincado probema de origen de as mareas. Ahora, considerando e movimiento panetario en órbitas eípticas y recordando que para una cónica cuaquiera se tiene r = p 1 + ɛ cos φ y trabajando con a ecuación diferencia de a órbita (3.8), se tiene que u = 1 + ɛ cos φ p du dφ = ɛ p sin φ d u = ɛ cos φ, dφ p

11 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON expresiones que reempazadas en (3.8), da ( 1 F = u) u mp, ( ) que en términos de r se escribe F(r) = 1 mp r, de donde F(r) = α r. Newton estabeció que F = G Mm 1r, (3.9) r donde G = 6, N m, es a denominada constante de gravitación kg universa Veocidad de escape Figura 3.8: Cuerpo de masa m sometido a campo gravitatorio de a Tierra. La veocidad de escape de a Tierra para una partícua es a veocidad mínima requerida (sobre a superficie terrestre) para que a partícua pueda abandonar su campo gravitatorio. Sean M y R, a masa y e radio de a Tierra. Entonces, una partícua de masa m está sometida a campo gravitaciona de a Tierra y a fuerza de atracción entre a Tierra y a partícua es: F = G Mm r 1r. Utiizando a segunda ey de Newton, se observa que se pierde a dependencia con m y se ega a una integra de a forma: 0 v 0 vdv = GM siendo v 0 a veocidad con a cua a partícua sae de a superficie terrestre. Resoviendo as integraes, se tiene: R dr r, v 0 = GM R.

12 CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES 69 Por otra parte, en a superficie de a Tierra: mg = G Mm r, reación que nos permite escribir finamente para a veocidad de escape a expresión: v 0 = gr. (3.10) Tomando os vaores g = 9,81 m/s y R = 6378 km, se haa que a veocidad de escape toma e vaor v 0 = 11,18 km/s. Ejempo: Haar a fuerza de atracción entre una varia uniforme infinitamente arga con densidad inea λ y una masa m situada a una distancia d de a varia. Figura 3.9: Atracción entre una masa m y una varia de densidad inea λ Para a resoución de este probema, se eige un eemento infinitesima dx de a varia para describir a interacción con m. Por otra parte, as direcciones de os vectores unitarios deben ser tomadas en cuenta. Po o que uego de estas consideraciones, e eemento de fuerza vendrá dado por: x y cos θ = d ; con o que se puede integrar, resu- x +d x +d Como sin θ = tando d F = G mλdx x + d ( sin θ 1x cos θ 1 y ). F = Gmλ 1 x xdx (x + d ) Gmλ 1 dx 3/ y (x + d ). 3/ E integrando de a primera integra es una función impar, por o que a integra es idénticamente nua; por o que F = Gmλ d 1 y.

13 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON En e caso de que a varia no fuese infinitamente arga y tuviese una ongitud igua a a, se puede demostrar que a fuerza de atracción es: F = Gmλa d a + d 1y.