Espacios de Hilbert. Capítulo Una Primera Aproximación al Método de Separación de Variables

Transcripción

1 Capítuo 3 Espacios de Hibert Uno de os objetivos de este curso es presentar métodos generaes que nos permitan resover a menos as ecuaciones de caor, ondas Lapace así como EDPs ineaes de segundo orden con coeficientes constantes as cuaes mediante cambios de coordenadas adecuados son equivaentes aaqueas. Uno de os primeros métodos que se usó para resover estas ecuaciones es e Método de Separación de Variabes e cua, en una primera aproximación, esbozaremos en este capítuo. Como veremos enseguida, dicho método invoucra e hecho de que tengamos que escribir una función dada como combinación inea infinita de determinadas funciones, por ejempo funciones trigonométricas, que forman a base de un cierto espacio vectoria. Eo hace que tengamos que extender a noción de base de un espacio vectoria de dimensión finita a a dimensión infinita. Todo eo se hace en e marco de o que amaremos un espacio de Hibert. E estudio de estos espacios es e objetivo básico de este capítuo. Pero si como hemos dicho anteriormente e Método de Separación de Variabes fue e primer método que se usó para resover un probema de EDPs, uno de os métodos más modernos que se usan actuamente de manera profesiona en as empresas de ingeniería, a saber e Método de os Eementos Finitos, necesita de nuevo de manera esencia un conocimiento cuanto menos eementa de os espacios de Hibert. Todo eo justifica sobradamente e estudio abstracto de os espacios de Hibert que nos proponemos desarroar en este capítuo. 3.1 Una Primera Aproximación a Método de Separación de Variabes Para iustrar este método ( también para justificar e estudio de agunos temas que abordaremos en os próximos capítuos) consideremos e probema de a difusión de caor en una barra acotada. Nos proponemos encontrar una función u = u (t, x) C 2 (]0, [ ]0,[) C ([0, [ [0,]) que satisfaga a EDP as condiciones iniciaes de contorno u t (t, x) =a 2 u xx (t, x) t>0, 0 <x< u (0,x)=f(x) 0 <x< (3.1) u (t, 0) = u (t, ) =0 t>0 siendo f :[0,] R una función dada. En e método de separación de variabes se supone que a soución de este probema se puede escribir en a forma u (t, x) =T (t) X (x) 31

2 32 Capítuo 3. Espacios de Hibert es decir, que a soución de (3.1) se puede expresar como producto de dos funciones, una de as cuaes depende únicamente de una de as dos variabes independientes, a otra sóo de a otra variabe independiente. Con eo se tiene que u t (t, x) =T 0 (t) X (x) u xx (t, x) =T (t) X 00 (x). Por tanto, si sustituimos en a ecuación de caor se tiene que T 0 (t) X (x) =a 2 T (t) X 00 (x). Las variabes de esta ecuación se pueden separar dividiendo por a 2 T (t) X (x) para obtener T 0 (t) a 2 T (t) = X00 (x) X (x). E término de a izquierda de esta ecuación depende únicamente de a variabe t mientras que e término de a derecha depende sóo de x; además ambos son iguaes, con o cua deben ser iguaes a una constante, amémosa λ. Por tanto La soución genera de a ecuación diferencia ordinaria (3.2) es T 0 (t) = λa 2 T (t) (3.2) X 00 (x) = λx (x). (3.3) T (t) =C 0 e λa2t, siendo C 0 una constante arbitraria, a soución de (3.3) es ³ ³ X (x) =C 1 cos λ x + C 2 sin λ x (3.4) siendo C 1 C 2 dos constantes arbitrarias, suponiendo que λ es positivo. Nótese que si λ es negativo, entonces X (x) =C 1 e λx + C 2 e λx a imponer as condiciones de contorno X (0) = X () =0(as cuaes provienen de u (t, 0) = u (t, ) =0) se obtiene que X =0portantou =0. También se obtiene a soución nua si λ =0. Descartamos esta soución porque estamos buscando souciones no triviaes. Además, a soución u =0no verifica a condición inicia u (0,x)=f(x) amenosquef =0;pero éste es un caso trivia que no tiene interés físico aguno. Por tanto nos centraremos en a soución dada en (3.4). Como hemos dicho anteriormente, as condiciones de contorno u (t, 0) = u (t, ) =0se traducen en que X (0) = X () =0. La condición ³ X (0) = 0 impica que C 1 =0mientras que a condición X () =0fuerza a que λ C 2 sin =0. Si tomamos C 2 =0obtenemos que X (x) =0o que a su vez impica que u ³ λ es idénticamente nua. Por tanto, si tomamos C 2 6=0se ha de verificar que sin =0así λ = ³ nπ 2 para agún número entero n. (Podemos tomar n positivo a que si n =0se obtiene a soución nua si n es negativo e cambio n por n únicamente produce e cambio C 2 por C 2, con o cua se obtiene a misma soución).

3 3.1. Una Primera Aproximación a Método de Separación de Variabes 33 En resumen, para cada entero positivo n hemos obtenido una soución u n de a ecuación de caor que se escribe en a forma u n (t, x) =e nπa ( ) 2t sin nπx. (Hemos tomado C 0 = C 2 =1. Otras eecciones de C 0 C 2 proporcionan mútipos de u n ). Sin embargo, esta función no satisface a condición inicia u (0,x)=f(x) amenosquef (x) = sin nπx. Cómo soucionar ésto? Como a ecuación de caor (así como todas as ecuaciones que estudiaremos en este curso) es inea, cuaquier combinación inea finita de u n también proporciona una soución de a ecuación de caor, esto es, a función u N (t, x) = NX a k e kπa ( ) 2t sin kπx (3.5) también es soución de a ecuación u t = a 2 u xx. Nos encontramos de nuevo con que esta función satisface a condición inicia u (0,x) =f (x) únicamente si f se puede escribir como combinación inea finita de funciones seno. Con e fin de soventar este probema obtamos finamente por pasar a ímite en (3.5) cuando N para obtener formamente a soución u (t, x) = a k e kπa ( ) 2t sin kπx. (3.6) E significado de a paabra formamente que acabamos de mencionar hace referencia a que no nos hemos panteado (hasta ahora) si a serie en cuestión es convergente, ni tampoco si a función que define dicha serie es soución cásica de nuestra ecuación. Por tanto, hasta ahora sóo podemos habar de soución forma. Finamente, hemos de imponer en nuestro esquema de separación de variabes a condición inicia u (0, x) =f (x). Sustituendo esta condición en (3.6) obtenemos f (x) = a k sin kπx. (3.7) Esta condición nos permitirá, bajo ciertas hipótesis sobre a función f, determinar de manera unívoca os coeficientes a k obtener de esta forma una única soución cásica (de momento sóo soución forma) de a ecuación de caor. A modo de resumen: si repasamos todo o que hemos visto en esta sección, para evar a cabo e esquema de separación de variabes hemos de: Averiguar qué funciones pueden ser desarroadas en series infinitas de senos /o cosenos, es decir, series de tipo (3.7). Para aqueas funciones para as que a respuesta sea afirmativa hemos de preguntarnos seguidamente cómo cacuar os coeficientes a k que aparecen en (3.7) entender bien e significado de signo = en a fórmua (3.7). Estetipodeseries se denominan series de Fourier su estudio se engoba dentro de marco de os espacios de Hibert. Estudiar propiedades de convergencia de derivabiidad de series infinitas de tipo (3.6) con e fin de poder averiguar si as souciones formaes que obtenemos por medio de método de separación de variabes son de hecho souciones cásicas.

4 34 Capítuo 3. Espacios de Hibert Resover uno (o dos) probemas de contorno para ecuaciones diferenciaes ordinarias de orden dos. Recordemos que as condiciones de contorno de probema para a ecuación de caor se transforman en condiciones de contorno para a EDO (3.3). Este tipo de probemas se conocen con e nombre de probemas de Sturm-Liouvie. Daremos cumpida respuesta a cada una de estas tres cuestiones en este capítuo en os dos siguientes. 3.2 Espacios Prehibertianos Como hemos visto en a sección anterior, a identidad (3.7) nos dice que a función f es combinación inea infinita de as funciones seno, as cuaes tienen e aspecto de ser a base de un cierto espacio vectoria. Esta sección es un primer paso hacia e concepto de base en un espacio vectoria de dimensión infinita. Definición Sea X un espacio vectoria sobre C (o sobre R). Se ama norma sobre X a toda apicación k k : X R x ; kxk que satisface as siguientes propiedades: (i) kxk 0 x X kxk =0 x =0. (ii) kαxk = α kxk x X α C. (iii) kx + k kxk + kk x, X. A par (X, k k) se e ama espacio vectoria normado. Por supuesto, en un mismo espacio vectoria se pueden definir diferentes normas. Definición Sea H un espacio vectoria sobre C (eventuamente sobre R). Lamaremos producto interior o escaar sobre H a toda apicación que satisface as siguientes propiedades: <, >: H H C (x, ) ; < x, > (i) < x, x > 0 x H < x, x >= 0 x =0. (ii) < αx + β, z >= α < x, z > +β <, z > α, β C x, H. (iii) < x, > =<, x > x, H. Nota Nótese que como consecuencia de (ii) (iii) se verifica que < x, α + βz >= α < x, > +β < x, z >. Definición (Espacio prehibertiano) Se ama espacio prehibertiano a par formado por un espacio vectoria un producto interior. Lo denotaremos por (H, <, >).

5 3.2. Espacios Prehibertianos 35 En os espacios prehibertianos se puede definir una norma a partir de producto interior de siguiente modo: kxk =+ < x, x >. (3.8) Es inmediato comprobar que (3.8) satisface as tres propiedades exigidas en a Definición A o argo de este capítuo, siempre que habemos de norma en un espacio prehibertiano entenderemos que esta norma es a asociada a producto interior de espacio mediante a fórmua (3.8). Agunos ejempos importantes de espacios prehibertianos son os siguientes: Ejempo R n dotado de producto interior <, >: R n R n R (x, ) ; P < x, >:= n siendo x =(x 1,x 2,,x n ) e =( 1, 2,, n ) as coordenadas de os vectores x e en a base canónica de R n, es un espacio prehibertiano. Obsérvese que a norma asociada a través de producto interior es a norma eucídea. Ejempo Sea L 2 ([a, b];c) = Dicho espacio, dotado de producto interior ½ f :[a, b] C : Z b a i=1 x i i ¾ f (x) 2 dx < <, >: L 2 L 2 C (f,g) ; <f,g>:= R b a f (x) g (x) dx también es un espacio prehibertiano. Nótese que debido a que st 1 s 2 + t 2 s, t R 2 (a que s 2 + t 2 2st =(s t) 2 0),entonces f (x) g (x) 1 ³ f 2 (x) 2 + g (x) 2 por tanto, a integra mediante a cua se define e producto interior en L 2 es convergente. La norma asociada a este producto escaar está dada por µz b 1/2 kfk 2 = f (x) dx 2. a Nos ocuparemos más adeante de este espacio que juega un pape esencia en e mundo de as EDPs. A o argo de esta sección (H, <, >) será un espacio prehibertiano. Definición Se dice que x es ortogona a si se cumpe que < x, >= 0. Nótese que debidoaapropiedad(iii)enadefinición de producto interior se tiene que si x es ortogona a entonces también es ortogona a x. Por eo habaremos siempre de que un par de vectores es o no ortogona.

6 36 Capítuo 3. Espacios de Hibert Proposición (a) (Teorema de Pitágoras) Si x 1, x 2,, x n H son ortogonaes dos a dos, entonces kx 1 + x x n k 2 = kx 1 k 2 + kx 2 k kx n k 2 (b) (Desiguadad de Cauch-Schwarz) < x, > kxkkk x, H. (c) (Desiguadad Trianguar) kx + k kxk + kk x, H. E Teorema de Pitágoras es consecuencia inmediata de a definición de producto interior. Haremos a continuación a demostración de a desiguadad de Cauch-Schwartz debido a a importancia de este resutado. Si < x, >= 0e resutado es obvio. Por tanto, supondremos que < x, >6= 0. Sean Para todo número rea t se tiene que α = < x, > < x, > z = α. 0 < x tz, x tz > = < x, x tz > t <z, x tz > = < x, x > t <x, z > t <z, x > +t 2 < z, z > = kxk 2 t (< x, z > +< x, z >)+t 2 < α, α > = kxk 2 2t Re < x, z > +t 2 αα <, > = kxk 2 2t Re < x, < x, > < x, > > +t2 α 2 kk 2 = kxk 2 2t Re < x, > < x, > < x, > +t2 kk 2 = kxk 2 2t < x, > + t 2 kk 2. Consideremos a función g (t) =kxk 2 2t < x, > + t 2 kk 2, a cua acabamos de ver es no negativa. E mínimo de a función g se acanza en e punto t 0 = <x,>. Por tanto kk 2 µ < x, > g kk 2 g (t) t R ³ comog es no negativa, g <x,> 0, es decir, kk 2 kxk 2 < x, > 2 < x, > 2 2 kk 2 + kk 2 = kxk 2 < x, > 2 kk 2 0 de donde se obtiene a desiguadad buscada.

7 3.2. Espacios Prehibertianos 37 Finamente, demostraremos a desiguadad trianguar. Para x, H se tiene que kx + k 2 = < x +, x + > = < x, x > + < x, > + <, x > + <, > = kxk 2 + < x, > +< x, > + kk 2 = kxk 2 +2Re< x, > + kk 2 kxk 2 +2 < x, > + kk 2 kxk 2 +2kxkkk + kk 2 = (kxk + kk) 2, a útima desiguadad siendo consecuencia de a desiguadad de Cauch-Schwarz. Definición Sea {x i : i I} H un conjunto (finito o infinito) de vectores. Se dice que {x i : i I} es un sistema ortogona si < x i, x j >=0 i 6= j. Si además < x i, x i >=1 i I, entonces se dice que {x i : i I} es un sistema ortonorma. Ejempo Consideremos en L 2 ([ π, π];r) e sistema S = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,, cos nx, sin nx, }. Veamos que se trata de un sistema ortogona. En efecto: para cada n N se tiene que Si n 6= m, entonces paratodon, m N, Además, < 1, cos nx >= < 1, sin nx >= < cos nx, cos mx >= < sin nx, sin mx >= < cos nx, sin mx >= < 1, 1 >= Z π π Z π π Z π π Z π π Z π < cos nx, cos nx >= < sin nx, sin nx >= π Z π cos nx dx =0 sin nx dx =0. cos nx cos mx dx =0, sin nx sin mx dx =0 cos nx sin mx dx =0. π Z π dx =2π, π Z π π cos 2 nx dx = π sin 2 nx dx = π. Para efectuar e cácuo de cada una de as integraes anteriores es suficiente con tener en cuenta as fórmuas trigonométricas sin α cos β = 1 2 sin (α + β)+1 sin (α β), 2

8 38 Capítuo 3. Espacios de Hibert sin α sin β = 1 2 cos (α β) 1 cos (α + β) 2 cos α cos β = 1 2 cos (α + β)+1 cos (α β). 2 Portanto,esistema S = ½ 1, cos x, sin x cos 2x sin 2x,,,, 2π π π π π ¾ cos nx sin nx,, π π es un sistema ortonorma en L 2 ([ π, π];r). Los resutados que siguen a continuación son un primer paso hacia a teoría de aproximación en espacios prehibertianos. Definición Sea S un subespacio vectoria de un espacio prehibertiano H. Un eemento x H se dice ortogona a S si < x, >= 0para todo S. Se ama compemento ortogona a S, denotado por S a conjunto S = { H : es ortogona a S} No es difíci comprobar que S es un subespacio vectoria (ver ejercicio 5). Teorema (de a proección) Sea S un subespacio vectoria de dimensión finita m de un espacio prehibertiano (H, <, >). Sea {x 1, x 2,, x m } una base ortonorma de S. Entonces todo vector x H se expresa de modo único como x = x s +(x x s ) donde x s S x x s S. E eemento x s está dado por x s = P 1 i m < x, x i > x i se e ama proección ortogona de x sobre S. Además, kx x s k < kx k S con 6= x s (3.9) es decir, x s es a mejor aproximación de x por eementos de S. x S x S Figura 3.1: Proección de vector x sobre e espacio S. Se trata de una demostración constructiva por tanto resuta interesante hacera. La unicidad se obtiene de siguiente modo: supongamos que x = x s +(x x s ) con x s S x x s S

9 3.3. Espacios de Hibert. Definición Propiedades Básicas 39 quetambién x = bx s +(x bx s ) con bx s S x bx s S. Hemos de probar que x s = bx s. Debido a que tanto S como S son subespacios vectoriaes de H se tiene que x s bx s S (x bx s ) (x x s )=x s bx s S. Por tanto, 0=< x s bx s, x s bx s >= kx s bx s k 2 o que impica que x = bx s. Veamos ahora a existencia. Sea {x 1, x 2,, x m } una base ortonorma de S. Entonces e eemento mx x s = < x, x i > x i S. i=1 Veamos que x x s S. Es evidente que es suficiente con demostrar que x x s es ortogona a todos os eementos de a base {x 1, x 2,, x m }. Para cada 1 j m se tiene que < x x s, x j >=< x, x j > < x s, x j > mx = < x, x j > < x, x i >< x i, x j > i=1 = < x, x j > < x, x j > = 0 debido a a ortogonaidad de a base {x 1, x 2,, x m }. Finamente, veamos que se satisface (3.9). Sea S, 6= x s. Entonces kx k 2 = k(x x s )+(x s )k 2 = kx x s k 2 + kx s k 2 > kx x s k 2 donde a segunda iguadad se debe a teorema de Pitágoras. Concuimos esta sección con uno de os resutados más importantes de a teoría de espacios prehibertianos, a desiguadad de Besse. Teorema Sea {x n : n N} un sistema ortonorma en H. Entonces < x, x n > 2 kxk 2 x H. (Desiguadad de Besse) (3.10) n=1 Aosnúmeros< x, x n > se es ama coeficientes de Fourier de x respecto a sistema {x n : n N}. 3.3 Espacios de Hibert. Definición Propiedades Básicas En esta sección, (X, k k) será un espacio vectoria normado. Definición Sea (x n ) n N X una sucesión.

10 40 Capítuo 3. Espacios de Hibert (a) Se dice que (x n ) n N es convergente si existe un x X ta que para todo ε > 0 existe un n 0 = n 0 (ε) N verificando que si n n 0, entonces kx n xk < ε. E eemento x se denomina ímite de a sucesión (x n ) n N no es difíci comprobar que dicho eemento, caso de existir, es único. (b) Se dice que (x n ) n N es una sucesión de Cauch si para todo ε > 0 existe un n 0 = n 0 (ε) N ta que si n, m n 0, entonces kx n x m k < ε. No es difíci demostrar que toda sucesión convergente es de Cauch. E recíproco no es, en genera, cierto, es decir, existen espacios vectoriaes normados que poseen sucesiones de Cauch que no son convergentes. Aqueos espacios vectoriaes normados para os cuaes toda sucesión de Cauch es convergente se denominan espacios competos o también se dice que son espacios de Banach. Un tipo particuarmente importante de espacios de Banach son aqueos donde a norma procede de un producto escaar. Son os amados espacios de Hibert. Definición (Espacio de Hibert) Sea (H, <, >) un espacio prehibertiano. Se dice que (H, <, >) es un espacio de Hibert si es competo, es decir, si toda sucesión de Cauch en H converge (respecto a a norma asociada a producto interior) a un eemento x H. Los ejempos más destacados de espacios de Banach son os espacios L p ([a, b];c), 1 p. Dichos espacios se definen de siguiente modo. Sea [a, b] R un intervao 1 p<. Entonces L p ([a, b];c) = ½ f :[a, b] C : Z b a ¾ f (x) p dx < L ([a, b];c) ={f :[a, b] C :existem>0 : f (x) M c.t.p. x [a, b]}. E símboo c.t.p. (en ingés se suee escribir a.e., amost everwhere) significa casi por todas partes, es decir, en todos os puntos de [a, b] savoenunconjuntodemedidacero. Se puede demostrar que os espacios L p ([a, b];c), 1 p, equipados con a norma µz kfk p = Ω f (x) p dx 1/p si 1 p< kfk =inf{m >0: f (x) M c.t.p. x [a, b]} son espacios de Banach. Además,enecasop =2, a norma k k 2 es a norma asociada a producto interior Z <f,g>= f (x) g (x) dx f,g L 2 con o cua L 2 ([a, b];c) es un espacio de Hibert. Ω Nota La demostración de a competitud de L 2 no es sencia, pero si que es una propiedad importante, por tanto, es ago que debemos guardar en mente: L 2 ([a, b];c) es un espacio de Hibert. En a sección Comentarios sobre e Capítuo voveremos sobre esta cuestión. Ya estamos en condiciones de poder enunciar estudiar agunas propiedades de concepto de base de Hibert.

11 3.3. Espacios de Hibert. Definición Propiedades Básicas 41 Definición (Base de Hibert) Un sistema ortonorma {x n : n N} en un espacio de Hibert H se dice que es una base ortonorma o base de Hibert si es un sistema ortonorma maxima, es decir, si no existe ningún otro sistema ortonorma que contiene estrictamente a {x n : n N}. Las bases de Hibert se pueden caracterizar de siguiente modo. Teorema Sea {x n : n N} un sistema ortonorma en un espacio de Hibert H. Las siguientes afirmaciones son equivaentes: (i) {x n : n N} es una base de Hibert. (ii) Si existe un x H ta que < x, x n >=0 n N, entoncesx =0. (iii) Para todo x H se verifica que (iv) Para todo x H se cumpe kxk 2 = x = < x, x n > x n. (3.11) n=1 < x, x n > 2. (Identidad de Parseva) (3.12) n=1 Esbozamos a continuación a demostración de este resutado. (i) (ii) Supongamos que existe un x H, x 6= 0, que satisface que < x, x n >=0 n N. Debemos probar que entonces {x n : n N} no es una base de Hibert. Sea x = x kxk. Dicho eemento es unitario ortogona a todo eemento de sistema {x n : n N}. Por tanto, e sistema {x n : n N} {x} es un sistema ortonorma que contiene estrictamente a {x n : n N} con o cua este sistema no es una base de Hibert. (ii) (iii) Fijado x H, consideremos a sucesión nx n = < x, x k > x k. Veamos que ( n ) n N es de Cauch. Para todo n, m N, conn<m,un sencio cacuo muestra que mx k n m k 2 = < x, x k > 2. k=n+1 Recordemos que, por a desiguadad de Besse, a serie < x, x k > 2 es convergente por tanto, im mx n,m k=n+1 < x, x k > 2 =0.

12 42 Capítuo 3. Espacios de Hibert Sea =im m m veamosque = x. En virtud de (ii), únicamente debemos probar que < x, x n >=0 n N. Para eo observemos en primer ugar que P m < x, x k >< x k, x n >=< x, x n > si m n < m, x n >= 0 si m<n Por tanto, < x, x n >=< x im m, x n > m = < x, x n > im < m, x n > m = < x, x n > < x, x n > = 0, donde a segunda iguadad es debida a a ineaidad de producto interior a a desiguadad de Cauch-Schwarz. (iii) (iv) Siendo nx n = < x, x k > x k se tiene que kx n k 2 = < x nx < x, x k > x k, x = < x, x > 2 = kxk 2 nx < x, x k > x k > nx < x, x k > 2 + nx < x, x k > 2 tomando ímites cuando n, 0=kxk 2 nx < x, x k > < x, x k ><x k, x k > < x, x k > 2. (iv) (i) Procedamos por reducción a absurdo supongamos que existe un sistema ortonorma S que contiene estrictamente a {x n : n N}. Sea z S, z 6= x n n N. Por a identidad de Parseva se tiene que kzk 2 = < z, x k > 2 =0 debido a que < z, x k >=0 un vector unitario. k N. Portantoz =0o que es un absurdo a que z ha de ser Nota Nótese que a equivaencia (iii) es a que generaiza a caso infinito dimensiona una de as dos propiedades exigidas en a definición de base en un espacio vectoria de dimensión

13 3.4. Comentarios sobre e Capítuo 43 finita: a de ser un sistema generador. Por supuesto, todo sistema finito ortogona de vectores es ibre (ver ejercicio 2). También es importante tener presente que a identidad (3.11) significa que a serie < x, x n > x n converge en norma a eemento x. n=1 Anteriormente hemos visto que e sistema S = ½ 1, cos x, sin x cos 2x sin 2x,,,, 2π π π π π ¾ cos nx sin nx,, π π es un sistema ortonorma en L 2 ([ π, π];r). Se puede demostrar, aunque esto tampoco es fáci (ver [8, Th. 3.5, p. 78]), que dicho sistema es una base de Hibert de L 2 ([ π, π];r). Por tanto, para toda función f L 2 ([ π, π];r) se tiene que f = <f, 1 > 1 + 2π 2π n=1 µ cos nx <f, > π cos nx sin nx sin nx + <f, > π π π = a X (a n cos nx + b n sin nx) (3.13) n=1 donde a n = 1 Z π f (x)cosnx dx, n 0 π π b n = 1 Z π f (x)sinnx dx, n 1. π π es decir, toda función de L 2 ([ π, π];r) admite un desarroo en serie trigonométrica de senos cosenos a cua es convergente en L 2 (también se dice en media cuadrática) a a función f. En e próximo capítuo nos dedicaremos a estudiar más en detae estas series. 3.4 Comentarios sobre e Capítuo Es importante señaar que a competitud de L 2 se estabece en e marco de una teoría de integración más genera que a de Riemann. En concreto, en e marco de a integra de Lebesgue. Por tanto, para ser absoutamente precisos, a definir L 2 ( también L p, 1 p< ) deberíamos haber dicho que este espacio está formado por funciones medibes de modo que a integra (de Lebesgue caro está) de móduo a cuadrado (o eevado a p en caso de L p ) de a función es finito. No debe, sin embargo, asustarse e ector por este hecho. En efecto, si denotamos por PC([a, b]) a conjunto de as funciones f :[a, b] C quesoncontinuasatrozos,esdecir,continuasentodo e intervao [a, b] savo a o sumo en un número finito de puntos donde tienen discontinuidades de sato finito, entonces este espacio PC es prácticamente igua a L 2. Para ser más precisos, e término prácticamente igua significa que PC es denso en L 2, es decir, que cuaquier función de L 2 puede ser aproximada por funciones de PC. Por eo, agunos ibros de EDPs para ingenieros, como e de Pinkus-Zafran, prefieren trabajar en e espacio PC. De esta forma se evita tener que habar de a integra de Lebesgue, pues, de hecho, para funciones de espacio PC coinciden os conceptos de integra de Riemann de Lebesgue. E probema está en que e espacio PC,

14 44 Capítuo 3. Espacios de Hibert equipado de a norma k k 2, no es competo. Una prueba de a competitud de L 2 (en genera de L p ) puede encontrarse en [1, Teorema IV.8, p.57]). Por e contrario, otros autores como de a Rosa, Foand Marceán-Casasús Zarzo, prefieren habar directamente de L 2 pese a que a integra de Lebesgue es en este punto un acto de fe. Esta es a opción que también hemos adoptado en este capítuo. Respecto de a integra de Lebesgue, una presentación mu directa sencia sobre este tema puede encontrarse en [3, 5] en [10]. En este curso no entraremos en e estudio de dicha integra. Es ago que excede e nive de este curso. No obstante, señaaremos a continuación agunas de as diferencias más significativas entre a integra de Riemann a de Lebesgue. Una función f :[a, b] R es integrabe Lebesgue si sóo si f o es. En integración Riemann esta propiedad es fasa. Por ejempo, a función f :[0, 1] R definida como f (x) = ½ 1 si x Q 1 si x/ Q no es integrabe Riemann, sin embargo f si que o es. Si f :[a, b] R es integrabe Lebesgue si g :[a, b] R es igua casi por todas partes a f, es decir en todo punto de [a, b] excepto en un conjunto de medida cero, entonces g es integrabe Lebesgue además R f = R g. Esta propiedad tampoco se cumpe en integración Riemann. Las funciones f f consideradas en e punto anterior son un caro ejempo de este hecho. Por tanto, mientras a integración Riemann es invariante por conjuntos de contenido nuo, a integración Lebesgue o es por conjuntos de medida nua. Por eo, dos funciones de L p que son iguaes c.t.p. se dice que son iguaes en L p. Otra de as diferencias importantes entre ambos conceptos de integración es su comportamiento frente a procesos de paso a ímite. Por ejempo, supongamos ordenados os números racionaes de intervao [0, 1], esto es, Q [0, 1] = {q 1,q 2,q 3, } consideremos a sucesión de funciones ½ 1 si x {q1,q f n (x) = 2,q 3,,q n } 0 si x/ Q Esta sucesión converge puntuamente a a función f (x) = ½ 1 si x Q 0 si x/ Q a cua no es integrabe Riemann. Este tipo de patoogías no suceden en integración Lebesgue donde se dispone de siguiente Teorema de a Convergencia Dominada. Sea {f n :[a, b] R} n=1 una sucesión de funciones integrabes Lebesgue que converge c.t.p. a una función f. Supongamos además que f n está dominada por una función integrabe (Lebesgue) g (es decir, f n (x) g (x) n N c.t.p. x [a, b]). Entonces f es integrabe además im n Z b a f n (x) dx = Z b a f (x) dx

15 3.5. Ejercicios Ejercicios 1. Sea (H, <, >) un espacio prehibertiano. Supongamos que x, H son ineamente dependientes. Demuestra que < x, > = kxkkk es decir, en caso de vectores ineamente dependientes, a desiguadad de Cauch-Schwarz es en reaidad una iguadad. 2. Sea S = {x 1, x 2,, x n } un sistema ortonorma en un espacio prehibertiano. Demuestra que os vectores {x 1, x 2,, x n } son ineamente independientes. 3. Sea H un espacio prehibertiano de dimensión finita n seax H. Demuestra que a coordenada i ésima de x respecto de una base ortonorma {x 1, x 2,, x n } es < x, x i >. 4. (Método de ortogonaización de Gram-Schmith) Sea H un espacio prehibertiano sea {x 1, x 2,, x n, } H una sucesión de vectores ineamente independientes. Demuestra que a sucesión de vectores 1 = x 1 n+1 = x n+1 n P i=1 <x n+1, i > k i k 2 i es un sistema ortogona. Indicación: a demostración se hace por inducción en n. 5. Sea S un subespacio vectoria de un espacio prehibertiano H. Demuestra que e compemento ortogona de S, es decir e conjunto, es un subespacio vectoria de H. S = { H : es ortogona a S} 6. Haar e poinomio de segundo grado que más se aproxima a a función f (x) =x 1/3 en e intervao [0, 1] con a norma asociada a producto escaar <f,g>= 7. Comprueba que os conjuntos Z 1 son sistemas ortogonaes en L 2 ([0, π];r). 0 f (x) g (x) dx f,g L 2 ([0, 1] ; R). {cos nx} n=0 {sin nx} n=1 8. Comprueba que e conjunto n o e inx : n Z es un sistema ortogona en L 2 ([ π, π];c). 9. Lema de Riemann-Lebesgue. Sea {x n : n N} un sistema ortonorma en un espacio de Hibert (H, <, >). Demuestra que para cada x H se cumpe que im < x, x n >= 0. n Indicación: usar a desiguadad de Besse.

16 46 Capítuo 3. Espacios de Hibert 3.6 Objetivos E objetivo básico de este capítuo es hacer una primera aproximación a a teoría de os espacios de Hibert. Como se ha puesto de manifiesto a o argo de capítuo, un estudio riguroso de este tema excede con mucho e nive de este curso. Sin embargo, es preciso hacer esta introducción con e fin de poder justificar adecuadamente agunos temas que se desarroarán más adeante (por ejempo, as series de Fourier, e método de separación de variabes e método variaciona) agunos otros que se estudian en otras asignaturas (por ejempo, a teoría de aproximación en Cácuo Numérico). En particuar, en e método de separación de variabes podremos considerar probemas que engoben condiciones de contorno más generaes que as usuaes condiciones Dirichet Neumann. No se pretende, por tanto, que e aumno adquiera unos conocimientos profundos sobre os espacios de Hibert, pero si que empiece a famiiarizarse (aunque sea de un modo un tanto informa) con agunos conceptos importantes como son: base en un espacio de Hibert, e espacio L 2, a convergencia en media cuadrática. 3.7 Comentarios sobre a Bibiografía Para e desarroo de este capítuo hemos seguido esenciamente [8, Ch. 3]. Otra referencia que recoge también os resutados ( sus demostraciones) enunciados en este capítuo es [19, Ch. 1]. Es una referencia esta útima mu accesibe a nive de aumno medio. Una referencia en casteano que también aborda este tema es [13, Cap. 11] Finamente, ta como hemos anticipado en a sección Comentarios sobre e Capítuo, para obtener con rigor toda a información reativa a a integra de Lebesgue es preciso acudir a textos más especiaizados, por ejempo [3].