Unidad 8. Objetivos. Elasticidad. Al finalizar la unidad, el alumno:

Transcripción

1 Unidad 8 Easticidad Objetivos A finaizar a unidad, e aumno: Interpretará a curva esfuerzo-deformación de diferentes materiaes sóidos, mediante gráficas. Apicará fórmuas de esfuerzo para obtener deformación ateraes y axiaes. Apicará e moduo de easticidad para a soución de diversos probemas. Interpretará a constante de recuperación en a apicación a diferentes materiaes.

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3 Introducción La ingeniería, además de basarse en cácuos para a construcción o diseño de edificios, carreteras, maquinaria, herramientas, utensiios domésticos y otros más, debe seeccionar materiaes adecuados a utiizar, os cuaes deben tener características especiaes para cada uso, como en e caso de os edificios estructuraes (a resistencia para soportar toneadas de compresión y tensión sin egar a fracturarse) y as maquinarias (que deben resistir movimientos constantes de osciación y vibración), es decir, se deben seeccionar materiaes que cumpan con as condiciones químicas y físicas de resistencia. En e capítuo anterior se considera e estudio de movimiento de rotación de cuerpos rígidos, sin embargo es importante señaar que en reaidad todos os cuerpos son deformabes, esto es, se puede cambiar a forma a apicar fuerzas externas, pero bajo ciertas condiciones, os cuerpos, a descargaros de esfuerzos, toman nuevamente su forma origina. A esta propiedad se e conoce como Easticidad. 8.1 Esfuerzo En a armadura de a figura 8.1 os eementos AB, AC y BC de área transversa constante a o argo de cada eemento, están sujetos a modificación de su estructura interna debido a a fuerza P. P C A B igura

4 CinemátiCa y dinámica La fuerza P provoca en os eementos AC y BC un estado de compresión permanente. Para e eemento AB se producen tensiones en sus extremos y en consecuencia estiramiento imperceptibe. Si aisamos e eemento AB de a armadura como se indica en a figura 8. se nota que existe una fuerza de tensión en os dos extremos, y además fuerzas uniformemente distribuidas en toda su ongitud y donde a sección recta también es uniforme. Note que a fuerza está apicada perpendicuarmente a área transversa de cada extremo de a barra. A B igura 8.. Para e eemento AB se producen tensiones en sus extremos y en consecuencia estiramiento imperceptibe en este eemento. A a fuerza apicada por unidad de área transversa se e ama esfuerzo y su magnitud está dada por a siguiente fórmua: Donde: σ = (8.1) A σ = es e esfuerzo, que está dado en pascaes P = 1 N/m en e SI y en b/in en e sistema ingés. = es a fuerza axia dada en newtons (N) en e SI y en ibras (b) en e sistema ingés. A = es e área de a sección transversa en m en e SI y en in en e sistema ingés. Para agunos cácuos técnicos en e área de ingeniería, as unidades que se manejan para e esfuerzo están dadas en kg f /cm. 8. Deformación Cuando a barra indicada en a figura 8. es sometida a una carga (fuerza) de tensión uniforme, esta barra experimenta un aargamiento. La Deformación es e cambio reativo en as dimensiones o en a forma de un cuerpo como resutado de a apicación de un esfuerzo, y se define por a ecuación: ε = (8.) 198

5 Unidad 8 ε= deformación, este vaor es adimensiona. = cambio en a ongitud de a barra, en m (SI) o en in (sistema ingés). = ongitud inicia de a barra, en m (SI) o en in (sistema ingés). A esta deformación también se e denomina deformación unitaria ε=, donde se maneja = f i. En a figura 8.3 se observa e cambio en a ongitud de a barra debido a as fuerzas apicadas en sus extremos. i f igura 8.3 Cuando a barra es sometida a una fuerza axia de tracción aumentará su ongitud inicia. Este fenómeno no siempre es perceptibe ya que tiene vaores muy pequeños detectados excusivamente por instrumentos de precisión. 8.3 Easticidad y pasticidad En a figura 8.3 cuando se aarga a barra, ésta no siempre regresa a a posición origina; dependiendo de os esfuerzos apicados, a barra experimentará e regreso parcia o tota a su posición inicia, anáogo a os choques eásticos. La Easticidad es a propiedad que tienen os cuerpos de recuperar su forma primitiva u origina tan pronto como cesa a acción que os ateraba, como por ejempo, un resorte. La Pasticidad es a capacidad de un materia para deformarse bajo a acción de un esfuerzo y retener dicha acción de deformación a retiraro. Para os ingenieros es importante distinguir en qué zona se está trabajando, si es en a zona eástica o en a zona pástica, ya que as fórmuas difieren en cada zona. Las fórmuas a que se hace referencia en e presente capítuo se enfocan a a teoría de a easticidad. 199

6 CinemátiCa y dinámica En ingeniería se utiiza a máquina universa, una máquina semejante a una prensa con a que es posibe someter materiaes a ensayos de tracción y compresión para medir sus propiedades. La presión se ogra mediante pacas o mandíbuas accionadas por tornios o un sistema hidráuico. igura 8.4 En ingeniería, as propiedades mecánicas de os materiaes son as características inherentes que permiten diferenciar un materia de otros, desde e punto de vista de comportamiento mecánico de os materiaes. También hay que tener en cuenta e comportamiento que puede tener un materia en os diferentes procesos mecanizados que pueda tener. Entre estas características mecánicas y tecnoógicas destacan: Resistencia a esfuerzos de tracción, compresión, fexión y torsión, así como desgaste y fatiga, dureza, resiiencia, easticidad, tenacidad, fragiidad, cohesión, pasticidad, ductiidad, maeabiidad, entre otros. Debido a que cada materia se comporta diferente, es necesario anaizar su comportamiento mediante pruebas experimentaes. Entre as propiedades mecánicas más comunes que se miden en os materiaes están a resistencia a a tracción, a compresión, a deformación, e coeficiente de Poisson y e móduo de easticidad o móduo de Young. 8.4 Móduo de easticidad Para os materiaes eásticos, existe una reación entre e esfuerzo y a deformación (móduo de easticidad), enunciada por primera vez por e investigador ingés Robert Hooke en 1678 por o cua eva su nombre. La ey de Hooke estabece que, dentro de ciertos ímites, e esfuerzo en un materia es directamente proporciona a a deformación que o produce. Donde: σ = Eε (8.3) σ = es e esfuerzo, en N m en e Sistema Internaciona y en b en e Sistema Ingés. in N E = es e móduo de easticidad de materia en m (SI) y en b (sistema ingés). in ε= es a deformación, es adimensiona. 00

7 Unidad 8 A vaor de E se e ama también móduo de Young, que asimismo es a constante de a reación entre tensión y deformación específica. Si despejamos a E de a ecuación 8.3 y sustituimos as ecuaciones 8.1 y 8., nos queda: σ E A = = = ε A Por o tanto, e móduo de easticidad o móduo de Young está dado por: E = A La deformación de a barra se cacua por medio de: = (8.5) AE En e cuadro anterior, en a ecuación se observa que e producto es directamente proporciona a a deformación tota. Cuando un cuerpo se somete a una tensión (, fuerza axia) no sóo se producirá una deformación axia (L, aargamiento), sino también una deformación atera (A, estrechamiento) que es inversamente proporciona a. Se puede observar en a ecuación 8.5 que bajo a misma carga pero con una ongitud mayor de a barra () aumenta a deformación tota de a barra. Cada materia experimenta y tiene una constante de proporcionaidad E, como se muestra en a taba 8.1. Taba 8.1 Móduos de easticidad Materia Móduo de easticidad, E (N/m ) Hierro coado 100 x 10 9 Acero 00 x 10 9 Latón 100 x 10 9 Auminio 70 x 10 9 Concreto 0 x 10 9 Tabique 14 x 10 9 Mármo 50 x 10 9 Granito 45 x 10 9 Madera, pino (paraea a hio) 10 x 10 9 Madera, pino (perpendicuar a hio) 10 x 10 9 Nyon 1 x 10 9 Hueso de extremidades 100 x 10 9 Tomada de ísica, principios y apicaciones, Dougas C. Giancoi, Editoria Prentice Ha, México, 1997, cuarta edición, p. 43. Para un mayor entendimiento de os ímites de easticidad y pasticidad es necesario conocer e diagrama esfuerzo-deformación, además de a correcta interpretación de os puntos esenciaes de éste. Para e diseño de una maquinaria única, generamente se utiizan materiaes de resistencia mayores a as que se cacuan, pero si se reaiza una producción en serie de cientos de construcciones de maquinaria, es de suma importancia seeccionar e materia adecuado, ya que reducirán enormemente os costos y aumentará a seguridad. (8.4) 01

8 CinemátiCa y dinámica Otro ejempo: cuando se va a utiizar un materia para a construcción de edificios y mies de toneadas de estructura, se deben hacer as pruebas no destructivas y destructivas para verificar que cumpan con as condiciones de diseño. Para esto se hacen una serie de pruebas, entre eas mencionaremos a prueba a a tensión, que consiste en probetas maquinadas y tomadas de mismo materia para construcción: a probeta tiene una forma semejante a a mostrada en a figura 8.5. φ probeta de ongitud y diámetro φ igura 8.5 Esta probeta de ongitud y diámetro φ se somete a tensión en os extremos hasta fracturarse, generando a gráfica esfuerzo-deformación que se muestra y se describe en a figura 8.6, a continuación: φ r S u U σ = A S f S y P E Y Esfuerzo unitario O A ε ε ε Y U Deformación unitaria ε= 0 igura 8.6 Curva esfuerzo-deformación. Diseño de ingeniería mecánica, Joseph E. Shigey. 0

9 Unidad 8 E anáisis de a curva esfuerzo-deformación se muestra en a taba 8. con reación a os puntos de esta curva. Punto P E P y E Y U O-E E- Nombre y descripción Límite de proporcionaidad (ímite de easticidad proporciona). La probeta experimenta easticidad y su comportamiento es rectiíneo. Límite de easticidad (ímite eástico verdadero). Si a carga se suprime en este punto no se presenta ninguna deformación permanente en a probeta. Entre estos dos puntos a gráfica tiene a forma de recta imperfecta, aunque e materia todavía es eástico y es hasta e ímite eástico de proporcionaidad E que se cumpe a ey de Hooke. Límite eástico aparente o punto de cedencia. En este punto a deformación comienza a crecer rápidamente sin que haya un incremento correspondiente a este esfuerzo (diámetro de a probeta r), y sin que se invada a zona de deformación pástica (ongitud de a probeta). Útima resistencia (a a tensión). Es e vaor máximo de esfuerzo que se acanza en e diagrama esfuerzo deformación. ractura. Después de a útima resistencia U agunos materiaes muestran tendencia decreciente en e esfuerzo, después que han egado a punto máximo y posteriormente se rompen o fracturan. A este comportamiento también se e ama fatiga y usuamente es a causa de un gran porcentaje de faas en bieas y cigüeñaes de máquinas, aspas de turbinas de gas o de vapor, así como de otras partes sometidas a cargas cícicas. En todos estos casos, ocurrirá una fractura bajo un esfuerzo menor que e esfuerzo de cedencia de materia. Zona eástica. La región de a curva que va desde e origen hasta e ímite de easticidad. Zona pástica. La región de a curva que va desde e ímite de easticidad hasta e punto de ruptura. Taba 8. Límites de easticidad y pasticidad. Como se mencionó anteriormente, es de gran importancia conocer e diagrama esfuerzo-deformación de materiaes e identificar en qué parte de a curva se trabajará, ya sea en a zona eástica o en a zona pástica; cabe recacar que no todos os materiaes tienden a comportarse de a misma forma. Agunos tipos de hierros coados sufren fractura en e ímite de easticidad y no experimentan deformación pástica, es decir, a medida que aumenta a resistencia de os materiaes disminuye a deformación específica y, por o tanto, su ductiidad. Se dice entonces que e materia va ganando en fragiidad. 03

10 CinemátiCa y dinámica Probemas resuetos 1. Una varia de ongitud igua a 10 in con un diámetro de 1/10 in soporta una carga de 00 b como se observa en a figura 8.7. Encuentre a deformación ongitudina en a varia y e cambio en su ongitud si E =30x10 6 b/in. Área = 00b igura 8.7 Soución. E esfuerzo en cuaquier ugar de a varia es de 00 b por unidad de área. E esfuerzo es, por o tanto: σ = = A π d 4 00b b σ = = π (0.1) in 4 E esfuerzo y a deformación se reacionan por e móduo de easticidad, en a ecuación 8.3. σ = Eε Despejando ε : σ ε = = = 8.49 x 10 6 E 30 x10 4 Si = 10in sustituyendo en ε= y despejando se tiene: =ε = = x10 (10 in) 0.10in o =.59rr 04

11 Unidad 8. E poste está soportado por un pasador en C y por un aambre de acero AB como se observa en a figura 8.8. Si e aambre tiene un diámetro de 0. in, determinar cuánto se estira cuando una fuerza horizonta de.5 kb actúa en e poste E=9x10 3 kb/ft. B 3ft.5 kb 30 4 ft A C igura 8.8 Reaizando e diagrama de cuerpo ibre de as fuerzas sobre e poste, se tiene o indicado en a figura 8.9:.5 kb 30 3ft 4ft C C x C y igura 8.9 Se determina a magnitud de a fuerza y a ongitud inicia de cabe, para después encontrar partir de a fórmua 8., dada por: ε =. a Para encontrar a fuerza sobre e cabe se apica sumatoria de momentos en C igua a cero, ya que e sistema se encuentra en equiibrio. M = 5 kb(4 ft) + sen30 ( ft) = 0 c 5 kb(4 ft) = =.857kb sen30 ( ft) 0

12 CinemátiCa y dinámica Para e esfuerzo σ AB σ AB : AB.854 kb = = = A π AB (0. ) in 4 De a fórmua 8.4 σ = Eε despejamos a ε : kb σ AB ε in ΑΒ = = = E 3 kb 9x10 in E estiramiento tota se obtiene de a formua 8.3 ε= y despejando a queda: in 7f 1 ft ΑΒ =ε AB AB = ( ) = 0.304in cos30 3. En una probeta de ensayo de materia cerámico se reaiza a prueba de tensión y se arrojan os resutados en una taba esfuerzo deformación, presentando que a curva es inea entre e origen y e primer punto. Trazar a curva, determinar e móduo de easticidad, e interpretar os principaes puntos significativos. σ = ( MPa) e ( mm) igura

13 Unidad 8 La zona sombreada pertenece a ímite de proporcionaidad y es hasta este punto es donde se apica a ey de Hooke E = σ. ε 6 9x10 E = = 86GPa De 9 MPa a 314 MPa entra en a etapa de ímite eástico aparente o punto de cedencia. En esta zona e materia presenta una recuperación no de 100%, ya que su estructura interna ha sufrido daños. A partir de 314 MPa e materia se comporta pásticamente y se fractura en 368 MPa, ya no presenta útima resistencia a a tensión. Incrementando su deformación a r en a zona eástica y siendo su máxima deformación de r r r. 8.5 Constante de recuperación En e tema anterior se anaizó que un cuerpo se denomina eástico si a actuar una fuerza sobre é sufre una deformación, de ta manera que a cesar de actuar a fuerza recupera su forma origina; y si a deformación supera un cierto punto de a curva esfuerzo-deformación (ímite de easticidad) e cuerpo queda permanentemente deformada, invadiendo a zona pástica. Estas características as presentan os resortes cumpiendo a ey de Hooke. Los resortes son cuerpos eásticos que como se mencionó en e tema anterior se deforman cuando se es apica una fuerza su comportamiento puede estudiarse mediante a ey de Hooke que estabece o siguiente: La deformación que sufre un resorte a ser sometido a a acción de una fuerza es directamente proporciona a dicha fuerza, si no se ha superado e ímite eástico e resorte vueve a su estado origina a cesar a acción de a fuerza. La expresión matemática de a ey de Hooke se puede expresar como: = K (8.6) Donde: = fuerza eástica de resorte, en N (SI); en bf (sistema ingés). K = Constante de recuperación, en N/m (SI); en bf/in (sistema ingés). = Deformación de resorte, en m (SI); en in (sistema ingés). La anterior expresión matemática se puede expicar con as figuras 8.11 a

14 CinemátiCa y dinámica 1 igura Posición inicia ongitud 1 de resorte sin a acción fuerzas que o deformen. E signo negativo en a ey de Hooke significa que a fuerza ejercida en e resorte siempre está en sentido opuesto a despazamiento; cuando e despazamiento resorte es hacia a izquierda o negativa. Cuando hacia a derecha o positiva. Desde uego que cuando es positivo (igura 8.1), a fuerza de es negativo (igura 8.13), a fuerza de resorte es es cero (figura 8.11), e resorte no se encuentra deformado. Puesto que a fuerza de resorte siempre actúa hacia a posición de equiibrio, agunas veces recibe e nombre de fuerza restauradora. 1 1 igura 8.1 Incremento de ongitud, positivo. igura 8.13 Decremento de ongitud, negativo. 08

15 Unidad 8 Probemas propuestos 1. Una cinta métrica de acero de 30 m de ongitud tiene una sección de 6mm por 0.8mm. Determinar e aargamiento cuando se estira toda a cinta y se mantiene tirante bajo una fuerza de 8 kg. Para e acero E =.1x10 6 kg/cm. Respuesta: 0.8 cm.. Un cabe recto de auminio de 30 m de argo está sometido a una tensión de tracción de 900 kg/cm. Determinar e aargamiento tota de cabe. Respuesta: 3.86cm 3. Dos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una carga de 8000 kg como se muestra en a figura La barra superior es de acero con una densidad de kg/cm 3, una ongitud de 10 m y una sección de 60cm. La inferior es de bronce con densidad de kg/cm 3, una ongitud de 6 m y una sección de 50 cm. Para e acero E =.1x10 6 kg/cm y para e bronce E = 9x10 5 kg/cm 3. Determinar as tensiones máximas en cada materia. Respuesta: σ B B =164.8 kg/cm y σ A A= kg/cm A A 10 m B B 6 m C C 8000 kg igura Una barra de sección uniforme está sometida a atracción axia. La sección es de 6 cm y a ongitud de 4 m si e aargamiento tota es de 0.40 cm bajo una carga de 1,600kg. Haar e móduo de easticidad de materia. Respuesta:.x10 6 kg/cm 09

16 CinemátiCa y dinámica Gosario Cohesión: es una fuerza que representa a atracción entre moécuas que mantiene unidas as partícuas de una sustancia. Compresión: es a fuerza que actúa sobre un materia, suponiendo que esté compuesto de panos paraeos, o que hace a fuerza es intentar aproximar estos panos, manteniendo su paraeismo. Ductiidad: es a propiedad que presentan agunos metaes y aeaciones cuando, bajo a acción de una fuerza, pueden deformarse sin romperse permitiendo obtener aambres o hios. Dureza: es una propiedad que se define como a resistencia de un materia a ser rayado. Easticidad: es a habiidad de un materia para recuperar sus dimensiones originaes a retirar e esfuerzo apicado. Esfuerzo: es a magnitud de a fuerza por unidad de área. exión: es e esfuerzo debido a un momento actuante sobre e eje transversa de una estructura. atiga: es a disminución de a resistencia mecánica de os materiaes a someteros a esfuerzos repetidos. ragiidad: es o opuesto de ductiidad. Cuando un materia es frági no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en carga estática sin previo aviso. uerza interna: es a resistencia interior de un cuerpo a una fuerza externa. Límite de proporcionaidad: es e punto de a curva en a gráfica de esfuerzo-deformación, hasta donde a deformación unitaria es proporciona a esfuerzo apicado. Maeabiidad: es a propiedad de a materia, que presentan os cuerpos a ser abrados por deformación; a maeabiidad permite a obtención de degadas áminas de materia sin que e materia se rompa. Móduo de easticidad: es a pendiente de a parte recta de diagrama de esfuerzo deformación, y por consiguiente, a constante de proporcionaidad entre e esfuerzo y a deformación unitaria. Pasticidad: es a capacidad de un materia para deformarse bajo a acción de un esfuerzo y retener dicha acción de deformación a retiraro. Punto de cedencia: es e punto en donde a deformación de materia se produce sin incremento sensibe en e esfuerzo. Resiiencia: es a cantidad de energía que puede absorber un materia, antes de que comience a deformación irreversibe, esto es, a deformación pástica. 10

17 Unidad 8 Resistencia a a ruptura: es e esfuerzo basado en a sección origina que produce a fractura de materia. Resistencia: a resistencia de un materia es a propiedad que tienen para resistir a acción de as fuerzas. Resistencia útima: es e esfuerzo máximo basado en a sección transversa origina que puede resistir un materia. Rigidez: a propiedad que tiene un materia para resistir deformaciones. Tenacidad: es a resistencia que opone un minera u otro materia a ser roto, moido, dobado o desgarrado, siendo una medida de su cohesión. Tracción: es e esfuerzo a que está sometido un cuerpo por a apicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto y tienden a estiraro. 11