Ecuaciones Diferenciales Ordinarias III. Soluciones en serie entorno a puntos ordinarios y singulares regulares: Método de Frobenius

Transcripción

1 Apuntes de Ecuaciones Diferenciaes Ordinarias III Souciones en serie entorno a puntos ordinarios y singuares reguares: Método de Frobenius Octavio Mioni

2 Definiciones. Puntos Ordinarios y Singuares Reguares Consideremos ecuaciones diferenciaes ineaes de a forma: a cua puede reescribirse como a n (x) y (n) (x) + a n (x) y (n ) (x) + + a 0 (x) y(x) = 0 y (n) (x) + a n (x) a n (x), y(n ) (x) + + a 0(x) a n (x) y(x) = 0 Si quisiéramos buscar una soución en serie entorno a un punto x 0 será necesario que cada coeficiente de a ecuación no presente ninguna singuaridad, ya que a garantía de souciones, ya sea en un esquema de tipo Picard o mediante apicación de Teorema de Cauchy requiere como mínimo continuidad de as funciones intervinientes en a ecuación diferencia. E caso que vamos a anaizar, en virtud de que procuramos souciones en serie será e que as funciones sean anaíticas en e punto arededor de cua exista una soución en serie. Para eo, es necesario introducir a siguiente definición, Definición. Punto Ordinario. Dada una ecuación diferencia de a forma y (n) (x) + a n (x) a n (x) y(n ) (x) + + a 0(x) a n (x) y(x) = 0 Diremos que x 0 es un punto ordinario si y sóo si as funciones a n (x) a, a n 2(x) n(x) a,..., a 0(x) n(x) a son n(x) anaíticas en x 0. En torno a puntos ordinarios, tendremos souciones anaíticas, en una determinada región. Por o cua, tendremos souciones en serie de a forma y(x) = c j x j La convergencia de as series está garantizada por a anaiticidad de os coeficientes, pero e radio de convergencia x x 0 ρ estará determinado por e ρ < min{ρ 0, ρ, ρ 2,..., ρ n } donde ρ j es e radio de dominio de anaiticidad de as funciones a n (x) a n(x), a n 2(x) a n(x),..., a 0(x) a n(x). Observación sobre intervaos de convergencia. Como ejempo, consideremos a ecuación diferencia y (x) + + x 2 y (x) + x y(x) = 0 Notemos que x 0 = 2 es un punto ordinario de a ecuación diferencia. Ahora, para anaizar os radios de convergencia deberíamos estudiar as regiones de anaiticidad de as funciones coeficientes. Para eo, notemos que a función tiene una singuaridad en x = ±i y a +x 2 función x, en x = 0. A partir de esto, desarroo arededor de x = /2 tendrá un ímite cuando acance a x = 0 por o que e radio de a región de anaiticidad para a función x es x 2 < 2. Para determinar e radio de a región de anaiticidad de a función debemos +x ( 2 cacuar a distancia entre x = /2 y x = ±i esa distancia será 2 2) + 2 = 5 2 entonces, como /2 es e menor, tendremos que a soución en serie tendrá un radio de convergencia x 2 < 2

3 2 Souciones en Serie de EDO de Segundo Orden Entorno a Puntos Ordinarios A partir de a garantía de souciones en serie para ecuaciones diferenciaes con coeficientes anaíticos en un punto determinado, x 0, vamos a buscar souciones en serie de a forma y(x) = c j (x x 0 ) j y uego a imponer que se satisfaga a ecuación diferencia se encuentrar os coeficientes c j Ejempo. Haar a soución genera de a ecuación diferencia y (x) + x y = 0 Procuremos una soución en serie arededor de x = 0, es decir, y(x) = c j x j Las derivadas son y (x) = j c j x j, y (x) = Reempazando en a ecuación diferencia, j (j ) c j x j 2 j (j ) c j x j 2 + c j x j+ = 0 Separemos e término correspondiente a x 0 y reagrupando podemos escribir: 2 c 2 + (j+3) (j+2) c j+3 x j+ + c j x j+ = 2 c 2 + (j + 3) (j + 2) c j+3 + c j ] x j+ = 0 con o que obtenemos, c 2 = 0 c j c j+3 = (j + 3) (j + 2) Esta recurrencia estabece: c 0 y c ibres, deben ser definidos a priori. c 2 = 0, o que condiciona a c 5 = c 8 = = c 2+3 = 0 y os demás términos se obtienen a partir de a recurrencia estabecida. Como os coeficientes de a ecuación diferencia son anaíticos en todo e pano compejo, es de esperar que a serie sea convergente en toda a recta rea, pero se puede estudiar en términos de criterio de cociente, im c +3 x +3+ c x + = ( + 3)( + 2) x 3 = 0 para todo x. Lo que indica que a serie converge para todo vaor de x.

4 3 Puntos Singuares Reguares. I: Ecuación de Euer En este apartado vamos a estudiar ecuaciones diferenciaes as cuaes poseen coeficientes que no son anaíticos en agún conjunto de puntos. No obstante, no todas as ecuaciones diferenciaes con singuaridades de este tipo admitirán souciones en serie. Más aún, como buscaremos souciones de ecuaciones entorno a puntos de signuaridad, no podremos esperar series de potencias tipo Tayor, ya que esto impicaría anaiticidad de a soución, cosa no garantizada. Además, de as posibes singuaridades existentes, sóo anaizaremos un tipo particuar, as que definiremos como puntos singuares reguares. Definición. Punto Singuar Reguar. Dada una ecuación diferencia de segundo orden de a forma y (x) + Q(x) y (x) + R(x) y(x) = 0 Diremos que x 0 es un punto singuar reguar si y sóo si as funciones son anaíticas en x 0. (x x 0 ) Q(x), y (x x 0) 2 R(x) Sobre o específico de a definición voveremos más adeante y estará sustentada en a integrabiidad de a ecuación de Euer. 3. La Ecuación de Euer Consideremos a ecuación diferencia x 2 y (x) + α x y (x) + β y(x) = 0 donde α y β son números reaes. Esta ecuación diferencia es e paradigma de as ecuaciones con un punto singuar reguar, x 0. Además, a propia estructura de a ecuación diferencia sugiere a una soución de a forma y = x r. Reempazando en a ecuación diferencia se obtiene r(r ) x r + α r x r + β x r = r(r ) + α r + β] x r = 0 Entonces, a potencia r se obtiene resoviendo a ecuación r(r ) + α r + β = r 2 + (α )r + β = 0 Podemos definir e poinomio p(r) y o amaremos poinomio indicia a p(r) = r 2 + (α ) r + β de ta manera que a potencia de as souciones a a ecuación diferencia sean as raíces de este poinomio cuya ecuación se denomina ecuación indicia, p(r) = r 2 + (α ) r + β = 0 Anaicemos as diferentes souciones de a ecuación indicia, ya que si bien admite dos, estas pueden ser diferentes reaes, diferentes compejas o iguaes.

5 3.. Raíces reaes distintas Dada a ecuación indicia, para e caso r 2 + (α ) r + β = 0 (α ) 2 4β > 0 tendremos dos souciones reaes distintas, r y r 2, con o que a soución genera será 3..2 Raíces compejas distintas y(x) = c x r + c 2 x r 2 Para e caso de que as raíces compejas conjugadas (ya que os coeficientes α y β con reaes) tenemos que r = ξ + i η y r 2 = ξ i η entonces, y(x) = c x ξ+iη + c 2 x ξ iη = c x ξ x iη + c 2 x ξ x iη Reescribiendo x iη = e iη n( x ) entonces, podemos escribir a soución genera 3..3 Raíces iguaes y(x) = x ξ (c + c 2 ) cos(η n x ) + (c c 2 ) sin(η n x )] Para e caso en que as raíces sean iguaes, amémosa r, e poinomio indicia puede escribirse p(r) = (r r ) 2. Si escribimos a ecuación diferencia, y a reempazar y = x r, x 2 y + α x y + β y = (r r ) 2 x r esta ecuación diferencia resuta cero en e r. Notemos que si derivamos a ecuación diferencia con respecto a r, obtenemos (r r ) 2 x r ] = 2(r r )x r + (r r ) 2 x r n( x ) r Lo que significa que a derivada de a ecuación diferencia, evauada en r = r también da cero. Entonces, permutando a derivación con respecto a r, tendremos que a derivada con respecto a r de a función soución también es soución, esto es x r n( x ) también es soución, por o que a soución genera es y(x) = x r (c + c 2 n x ) Ahora que tenemos caracterizadas todas as posibes souciones para a ecuación de Euer, estamos en condiciones de estudiar una ecuación diferencia y proponer una soución en serie de potencias de x x 0 donde x 0 sea un punto singuar reguar. La ecuación de Euer será e sustendo teórico para a búsqueda de souciones en un entorno de puntos singuares reguares.

6 4 Puntos Singuares Reguares. II: Método de Frobenius Una vez estudiada en detae a ecuación de Euer, consideremos un caso más genera de ecuación diferencia inea de segundo orden que tenga un punto singuar reguar. Sin pérdida de generaidad, podemos considerar que e punto singuar reguar es e x = 0, a os fines de simpificar a escritura. Consideremos a ecuación diferencia Esta ecuación puede ser reescrita como y (x) + Q(x) y (x) + R(x) y(x) = 0 y (x) + Q(x) y (x) + R(x) y(x) = 0 mutipicando a ambos miembros por x 2 obtenemos Podemos reescribir a ecuación en a forma x 2 y (x) + x x Q(x) ] x 2 y (x) + x 2 Q(x) y (x) + x 2 R(x) y(x) = 0 y (x) + x 2 R(x) ] y(x) = 0 Las expresiones entre corchetes son funciones anaíticas ya que x = 0 es un punto singuar reguar (en este punto cobra sentido a especificidad en a definición de punto singuar reguar) Por o tanto, para as funciones entre corchetes tenemos series de Tayor convergentes arededor de x = 0, x Q(x) ] = α 0 + α x + α 2 x 2 + α 3 x 3 + x 2 R(x) ] = β 0 + β x + β 2 x 2 + β 3 x 3 + Si reempazamos estas expresiones en a ecuación diferencia, tenemos x 2 y (x) + x α 0 + α x + α 2 x 2 + ] y (x) + β 0 + β x + β 2 x 2 + ] y(x) = 0 distribuyendo e primer término x 2 y (x) + α 0 x y (x) + x α x + α 2 x 2 + ] y (x) + β 0 y(x) + β x + β 2 x 2 + ] y(x) = 0 Reagrupando, tenemos x 2 y (x) + α 0 x y (x) + β 0 y(x) + α x + α 2 x 2 + ] y (x) + β x + β 2 x 2 + ] y(x) = 0 }{{} Euer e poinomio indicia para a correspondiente ecuación de Euer, será p(r) = r 2 + (α 0 ) r + β 0

7 E hecho de que un primer término sea a ecuación de Euer, sugiere y motiva a buscar souciones en serie para a ecuación diferencia (ahora, a competa) en a forma y(x) = x r c x donde r sea soución de a ecuación indicia r 2 + (α 0 ) r + β 0 Con esta propuesta de soución, tenemos y(x) = x r c x = y (x) = y (x) = c x +r ( + r) c x +r ( + r) ( + r ) c x +r 2 Reempazando en a ecuación diferencia, x r ( + r) ( + r ) c x + α j ( + r) c x +j + β j c x +j = 0 entonces, ( + r) ( + r ) c x + α j ( + r) c x +j + β j c x +j = 0 Ordenemos as sumatorias, de manera ta de sistematizar e cácuo. Lamemos = j + uego, = j y reescribamos as sumatorias dea siguiente manera: = 0,, 2,... y j = 0,, 2... es decir, desde cero a infinito y j desde cero hasta. Entonces, podemos reescribir a ecuación ( + r) ( + r ) c x + α j ( + r j) c j x + β j c j x = 0 En a primera sumatoria podemos cambiar a etra por y agrupando tenemos ( + r) ( + r ) c + c j α j ( + r j) + β j ] x = 0 o que impica que para = 0,, 2,... se debe cumpir ( + r) ( + r ) c + c j α j ( + r j) + β j ] = 0

8 Extrayendo e primer término de a sumatoria, correspondiente a j = 0, tenemos, c ( + r) ( + r ) + α 0 ( + r) + β 0 ] + que es equivaente a c { ( + r) 2 + α 0 ( + r) ] + β 0 } + c j α j ( + r j) + β j ] = 0 c j α j ( + r j) + β j ] = 0 recordando a expresión de poinomio indicia, p(r) = r 2 + α 0 (r ) + β 0 podemos escribir a útima expresión como para = 0 tenemos, p(r + ) c + c j α j ( + r j) + β j ] = 0 p(r) c 0 = 0 entonces r debe ser raíz de poinomio indicia p(r) = 0 que es a ecuación indicia. Para os demás términos, se obtuvo a reación de recurrencia para os coeficientes de desarroo c = c j α j ( + r j) + β j ], =, 2,... p( + r) Observación. Con a expresión anterior podemos obtener todos os coeficientes de desarroo x r c x, donde r es raíz de poinomio indicia. Como e poinomio indicia es de grado dos, esperamos dos souciones, as cuaes pueden ser distintas o iguaes. Si as raíces son distintas, pero su diferencia es un número entero, nos encontramos con e siguiente probema: Sean r y r 2 souciones de a ecuación indicia, taes que r r 2 = N, con N entero. Sea r < r 2. A cacuar e desarroo correspondiente a a soución con r = r tendremos y (x) = x r c (r ) x donde, para a recurrencia será c (r ) = p( + r ) c (r ) j α j ( + r j) + β j ], =, 2,... Ahora, conforme varía podemos egar a = N y por o tanto c (r ) N = p(n + r ) N c (r ) N j α j (N + r j) + β j ] pero N + r = r 2 que también es soución de a ecuación indicia, p(r 2 ) = p(r + N) = 0 por o que no se pueden cacuar os coeficientes. Esto significa que e caso en que a diferencia entre raíces de poinomio indicia sea un entero debe ser estudiada particuarmente.

9 4. Raíces distintas con r r 2 / Z Este caso es sencio ya que a partir de a resoución de a ecuación indicia, p(r) = 0 tenemos que a soución genera es ] ] y(x) = λ x r + c (r ) x + λ 2 x r 2 + c (r 2) x = donde os coeficientes c (r,2) se obtienen a partir de a expresión, para c (r,2) 0 = c (r,2) = p( + r,2 ) = c (r,2) j α j ( + r,2 j) + β j ], =, 2,... y donde os α j y β j son os coeficientes de desarroo de Tayor de as funciones x Q(x) x 2 R(x), respectivamente. y 4.2 Raíces iguaes Anaicemos ahora e caso en que a ecuación indicia posee una soa raíz rea, r. La soución que se propone es a dada por a expresión y(x) = x r + c x +r donde asumimos c 0 = y a reación para a determinación de os c, ( =, 2, 3... ), es = c = p( + r ) c j α j ( + r j)] + β j ] donde, p(r) = r 2 + (α 0 ) r + β 0 es e poinomio indicia y como admite una única raíz, tendremos p(r) = (r r ) 2 Lamando a operador diferencia L, ta que donde as funciones α j y β j, respectivamente. Lamemos L = x 2 ] x Q(x) y d2 dx 2 + x x 2 R(x) ] x Q(x) d x 2 ] dx + R(x) ] tienen sus desarroos en serie de Tayor con coeficientes y r (x) = x r + c x +r = con a reación para os coeficientes c ( =, 2, 3... ), c = p( + r) c j α j ( + r j)] + β j ]

10 Si r = r (soución de a ecuación indicia) a función propuesta y r (x) es soución. Vamos a reempazar y r (x) en a ecuación diferencia y ver qué resuta. E operador diferencia se puede escribir como L = x 2 d2 dx 2 + x α j x j d dx + β j x j Extrayendo os términos correspondientes a j = 0 y agrupando convenientemente, obtenemos L = x 2 d2 dx 2 + α 0 x d dx + β 0 + α j x j x d dx + β j x j Ahora apiquemos e operador a a función y r (x) Ly r (x)] = x2 d2 dx 2 + α 0 x d dx + β 0 + α j x j x d dx + β j x j y r(x)] Reempacemos y r (x) por a expresión dada y cacuemos por separado os términos reevantes: { } x 2 d2 + α dx 2 0 x d dx + β 0 y r (x)]: {x 2 d2 dx 2 + α 0 x d } dx + β 0 x r + ] α j x j x dyr(x) dx : α j x j x dy r(x) = dx ] β j x j y r (x): α j x j x dy r(x) = dx = ] c x +r = p(r)x r + c p( + r) x +r = = } {{ } ( ) r α j x j+r + α j c ( + r)x +r+j β j x j+r + β j c x +r+j = Notemos que de a recurrencia de os coeficientes, c = p(+r) c jα j ( + r j) + β j ], entonces, c p( + r) = c j α j ( + r j) + β j ] Con esta reación, reempazando en ( ) obtenemos, c p( + r) x +r = = = c j α j ( + r j) + β j ] x +r

11 Sumando todos os términos tenemos a acción de operador sobre a función y r (x) Ly r (x)] = p(r)x r + = reagrupando términos, tenemos = c j α j ( + r j) + β j ] x +r + r α j x j+r α j c ( + r)x +r+j + β j x j+r + β j c x +r+j = = Ly r (x)] = p(r)x r + α j r + β j ]x j+r + c α j ( + r) + β j ]x +r+j = } {{ } ( ) c j α j ( + r j) + β j ] x +r En a expresión ( ) notemos que hemos definido previamente que c 0 =, por o que podemos agrupar estos dos términos para comenzar a sumatoria en desde cero, resutando α j r + β j ]x j+r + c α j ( + r) + β j ]x +r+j = = Entonces, a expresión de operador se va simpificando, Ly r (x)] = p(r)x r + c α j ( + r) + β j ]x +r+j = c α j ( + r) + β j ]x +r+j c j α j ( + r j) + β j ] x +r finamente, si en e útimo término cambiamos e índice = j podemos cambiar e acance de os índices en a útima sumatoria dobe con: = 0,, 2,... y j =, 2,... resutando, esta útima: = c j α j ( + r j) + β j ] x +r = =0 c α j ( + r) + β j ] x +r+j Es más, como e índice es mudo, podemos vover a uso de a etra, y escribir: = c j α j ( + r j) + β j ] x +r = Entonces, a apicación de operador resuta: c α j ( + r) + β j ] x +r+j Ly r (x)] = p(r)x r + c α j ( + r) + β j ]x +r+j c α j ( + r) + β j ] x +r+j Es decir, Ly r (x)] = p(r)x r

12 Esta expresión, que se anua en r = r (raíz de a ecuación indicia), puede escribirse como Ly r (x)] = (r r ) 2 x r ya que r es raíz dobe de poinomio indicia. Notemos que a derivar con respecto a r también obtenemos a anuación de operador, esto es, r Ly r(x)] = 2(r r ) x r + (r r ) 2 x r n x r=r = 0 r=r Lo que impica que a permutar e orden de derivación, tendremos que ] yr (x) L = 0 r r=r o que significa que yr(x) r también será una soución. Entonces, para e caso en que r = r 2 a soución genera será: ] y(x) = λ x r + c (r ) x + = + λ 2 {x r n x Raíces distintas con r 2 r Z = c (r ) x ] + x r = dc (r ) dr Para anaizar este caso, recordemos a expresión para os coeficientes de desarroo de y r (x), y r (x) = x r c 0 + ] c x = = c (r) x +r Vamos a poner a dependencia de coeficiente con r a través de una reación funciona, c (r), en vez de uso de supraíndice. Para c 0 (r) teníamos a ibertad de definiro a priori como a unidad, y os siguientes coeficientes de desarroo se obtenían a través de a reación Supongamos que r desarroo competo con c (r) = p( + r) c j (r)α j ( + r j) + β j ] x } < r 2, con r 2 r = n N. Con esta suposición podemos obtener e c (r 2 ) = p(r 2 + ) y r2 (x) = c (r 2 ) x +r 2 c j (r 2 )α j ( + r 2 j) + β j ] =, 2,... y ningún denominador se anua, pueso que r 2 + nunca toma un vaor que anue a poinomio indicia.

13 Caramente os probemas aparecen cuando queremos obtener a serie correspondiente a r ya que os coeficientes de desarroo c (r ) = p(r + ) c j (r )α j ( + r j) + β j ] =, 2,... pueden ser cacuados hasta = n ya que p(r + n) = p(r 2 ) = 0 y por o tanto c 0 (r ), c (r ),..., c n (r ) pueden ser cacuados sin probemas, pero no ocurre o mismo con e cácuo de c n (r ). Tenemos que p(r + ) c (r) = c j (r)α j ( + r j) + β j ] = D (r) Por otro ado tenemos o siguiente: p(r) = (r r ) (r r 2 ) p(r + n) = (r + n r ) (r + n r 2 ) = (r r + n)(r r ) Notemos que si D (r) tiene como factor a r r resoveríamos a singuaridad, ya que p(r + ) c (r) = D (r) = (r r ) ξ (r) reempazando, entonces, (r r + n)(r r ) c n (r) = (r r ) ξ n (r) c n (r) = ξ n (r) (r r + n) expresión que no posee ninguna singuaridad en r = r Dada a ibertad para a eección de c 0 (r ) que termina siendo un factor común dado e cácuo de os c (r ) podríamos eegir a c 0 (r) = (r r ). Esta eección nos garantiza que e c n (r ) pueda ser cacuado, pero todos os anteriores terminan siendo nuos, ya que c 0 (r ) = r r = 0 y todos os siguientes usan os términos anteriores. Pero esta secuencia nua termina en ξ n (r ) c n (r ) = (r r + n) = ξ n(r ) n y todos os siguientes serán no nuos. Entonces, a serie correspondiente a r comienza con x n, por o que a soución correspondiente a r será y r (x) = x r x n d (r ) x = x r +n d (r ) x que es o mismo que a serie correspondiente a y 2 ya que r + n = r 2, esto es y r (x) = x r 2 d (r ) x = d (r ) x +r 2

14 Y por construcción, termina resutando un mútipo de a función y r2. Lo que obtuvimos entonces es que a única soución independiente es a y r2 y por o tanto termina siendo un probema anáogo a de raíces iguaes, es decir que debemos procurar un mecanismo para a obtención de a otra soución. La segunda soución independiente se obtendrá por derivación con respecto a parámetro r y uego se evaúa en r 2 Considerando a soución para y r (x) y c 0 (r) = r r como y r (x) = c (r) x +r A apicar e operador L a esta soución obtenemos Ly r (x)] = p(r)(r r )x r E factor r r aparece porque es factor común a definir c 0 (r) = r r Entonces, a derivar con respecto a r obtenemos: r Ly r(x)]] = p(r) x r + (r r )p (r) + (r r )p(r)x r n x y caramente se anua en r = r. Entonces, para obtener a segunda soución independiente a y r2 derivamos con respecto a r a propuesta para y r y a evauemos en r = r. Obtenemos: r y r (x)] = dc (r) x +r + dr c (r)x +r n x a evauar en r = r a primera sumatoria se no varía, pero a segunda comienza en = n por o que ya se vio, entonces r y r (x)] r=r = con o que obtenemos a otra soución: y r (x) = x r dc (r ) x +r + dr c (r )x +r n x =n dc (r ) x + n x x r +n dr d (r ) x y por o que ya se vio, tenemos que a soución genera para e probema será: o bien, y(x) = λ 2 y r2 (x) + x r con λ y λ 2 constantes arbitrarias. y(x) = y r2 (x) λ 2 + λ n x ] + x r dc (r ) x + λ n x y r2 (x) dr dc (r ) x dr

15 5 Anáisis de Punto en e Infinito En as definiciones que se han dado, tanto para punto ordinario como para puntos singuares reguares, os puntos a estudiar y caracterizar eran finitos, x 0. A modo de competar a exposición, consideraremos e punto en e infinito ya que es de utiidad para un estudio más genera de ecuaciones diferenciaes y que son de apicación para as definiciones de as denominadas funciones especiaes, entre as que se encuentran as Funciones Hipergeométricas, Poinomios de Jacobi, etc. La extensión es simpemente hacer un cambio de variabes, ζ = x y estudiar a ecuación diferencia en e punto ζ = 0. Entonces, estudiemos a ecuación diferencia pero en a variabe ζ = x y (x) + Q(x) y (x) + R(x) y(x) = 0 Tenemos que dy dζ = ζ 2 y (x) y (x) = ζ 2 dy dζ y d 2 y dζ 2 = 2 ζ 3 y (x) + ζ 4 y (x) y (x) = ζ 4 d2 y dy 2ζ dζ2 dζ Reempazando, tenemos ( ) ] ( ) P ζ 4 d2 y dy 2ζ + Q ζ 2 dy ] ( ) ( ) + R y = 0 ζ dζ2 dζ ζ dζ ζ ζ Agrupando, ζ 4 P ( ) d 2 y ζ dζ 2 + 2ζ P ( ) ζ 2 Q ζ Para simpificar a notación amemos P (ζ) = P ( ) y(ζ) = y ζ. Con esta notación, escribimos ζ 4 P (ζ) d2 y(ζ) dζ 2 Entonces, podemos escribir d 2 y(ζ) dζ 2 + P (ζ) ( )] ( ) dy ζ dζ + R y ζ ( ) ( ζ, Q(ζ) = Q ζ + 2ζ P (ζ) ζ 2 Q(ζ) ] dy(ζ) dζ ( ) = 0 ζ ), R(ζ) = R ( ζ + R(ζ) y(ζ) = 0 2 ζ 3 P (ζ) ] dy(ζ) ζ 2 Q(ζ) + R(ζ) dζ ζ 4 P (ζ) y(ζ) = 0 Reescrita de esta manera, podemos decir entonces que e punto en e infinito es un punto ordinario si as funciones 2 P (ζ) ζ 3 P (ζ) ] ζ 2 Q(ζ) R(ζ) y ζ 4 P (ζ) son anaíticas en ζ = 0 y e punto en e infinito es singuar reguar si as funciones 2 P (ζ) ζ 2 P (ζ) ] ζ Q(ζ) R(ζ) y ζ 2 P (ζ) son anaíticas en ζ = 0 ) y

16 6 Bibiografía recomendada ] Coddington, Ear A. Introducción a as, Ed. C.E.C.S.A. (968) 2] Boyce, Wiiam E. & Di Prima, Richard C. Ecuaciones Diferenciaes y Probemas de Vaores en a Frontera, 3 Edición, Ed. Limusa Noriega (978) 3] Capeas de Oiveira, Edmundo. Funções Especiais com Apicações, Ed. Livraria da Física, Universidade de São Pauo. (2005)