Método de separación de variables

Transcripción

1 Método de separación de variabes José Rodear y Andrés Encinas Departamento de Matemática Apicada III Notas preparadas para as asignaturas Ecuaciones Diferenciaes de tercer curso de as tituaciones de Ingeniero de Caminos Canaes y Puertos y de Ingeniero Geóogo impartidas en a E.T.S.E.C.C.P. de Barceona. Octubre de Introducción En este capítuo se presenta una introducción a método de separación de variabes. Se trata de un método cásico cuyos orígenes se remontan a a soución de os primeros probemas físicos descritos mediante ecuaciones en derivadas parciaes. En efecto, os trabajos pioneros de Bernoui, Euer y D Aembert en a segunda mitad de sigo XVIII sobre a modeación de comportamiento de cuerdas eásticas y otros sistemas simiares dieron ugar a a soución de a ecuación diferencia de a cuerda eástica mediante superposición de souciones eementaes y a a introducción de os desarroos en series de funciones basados en funciones trigonométricas. Estas ideas fueron expotadas por Fourier en e contexto de estudio de a conducción de caor. En su famoso ibro Théorie Anaytique da a Chaeur, pubicado en 1822, dió as bases de método de separación de variabes, desarroando constructivamente a soución de diversos probemas en forma de series basadas en conjuntos de funciones trigonométricas ortogonaes. En este contexto, contribuyó también a motivar e interés por a representación de funciones mediante as series de Fourier, que tantas apicaciones han tenido y tienen hoy en día en mutitud de probemas. En este capítuo se sigue una presentación de método en forma constructiva. En vez de pantear iniciamente un probema genérico en abstracto, se considera como motivación y prototipo a ecuación de caor en una barra. En primer ugar, e Apartado 2 considera e probema con unas condiciones de contorno con temperatura nua en os extremos. Para este caso, se construye a soución en variabes separadas y se van encontrando de forma natura os probemas de autovaores, as autofunciones ortogonaes y, finamente, a soución de probema como una serie infinita. E mismo proceso se repite para dos ejempos más con otras condiciones de contorno. De estos ejempos se deduce a necesidad de a representación de funciones mediante series 1

2 Separación de variabes 2 de Fourier. E Apartado 3 presenta en forma breve os conceptos básicos sobre conjuntos de funciones ortonormaes y series de Fourier, con especia atención a a representación de funciones en media cuadrática. E proceso de separación de variabes construido para os tres ejempos con a ecuación de caor en una barra se extiende a una case más ampia de probemas parabóicos en e Apartado 4. En este probema se considera una ecuación diferencia más genera, de a cua a ecuación de caor resueta anteriormente es un caso particuar. Asimismo se presentan de forma unificada as condiciones de contorno de Dirichet, de Neumann, de Robin y as periódicas. Con esto e método de separación de variabes queda visto de forma genera para probemas parabóicos no homogéneos. E Apartado 5 aborda a soución de probema parabóico genera pero cuando a ecuación y as condiciones de contorno son no homogéneas. En primer ugar, se iustra a imposibiidad de apicar e proceso de separación de variabes ta cua ha sido desarroado en os apartados precedentes cuando e probema es no homogéneo. Posteriormente, se presenta un método que obtiene a soución de probema no homogéneo como un desarroo en serie de as autofunciones de probema homogéneo y que incuye a separación de variabes como caso particuar. 2 Ejempos introductorios 2.1 Conducción de caor en una barra con temperatura nua en os extremos Consideremos e siguiente probema de vaores iniciaes y de contorno con a ecuación de caor en una barra: (a) ρc u t k u xx =, x (, ), t > ; (b) u(, t) = u(, t) =, t > ; (c) u(x, ) = f(x), x (, ). (1) En este probema a ecuación es homogénea (no hay fuente térmica), as condiciones de contorno de Dirichet son también homogéneas y os parámetros densidad (ρ), caor específico (c) y conductividad térmica (k) son constantes. Este probema nos servirá de vehícuo para introducir e método de separación de variabes de forma constructiva y simpe. E objetivo inicia es buscar souciones no triviaes (u ) expresadas en variabes separadas, es decir que tengan a forma u(x, t) = X (x) T (t). (2) Para eo, se sustituye esta expresión en e probema (1) y se buscan as funciones X y T. Sustituyendo (2) en a ecuación diferencia (a), se obtiene ρcx T kx T =,

3 Separación de variabes 3 donde aparecen as derivadas ( ) de as funciones X y T. Dividiendo por X T, teniendo en cuenta que este producto no es nuo, se obtiene T T = k X ρc X. Observemos que a parte izquierda de esta iguadad es función únicamente de a variabe t, mientras que a parte derecha o es sóo de x. Esta iguadad ha de ser cierta para todo x (, ) y para todo t > y ambas variabes son independientes. La única posibiidad pues es que ambas funciones coincidan con una constante, es decir T T = k X ρc X = λ. De aquí resutan dos ecuaciones diferenciaes ordinarias, cada una respecto de una de as variabes de probema: T + λt =, kx + λpx =, (3) donde p = ρc. La constante λ se conoce como constante de separación y, en este punto, tiene un vaor arbitrario. La introducción de signo negativo es únicamente por razones de conveniencia, como se apreciará más adeante. La imposición de a condición de contorno (b) en x = a u = X T, se traduce en X ()T (t) =. Como esto ha de cumpirse para todo t >, a única posibiidad de soución no trivia requiere que X () =. Procediendo anáogamente con e extremo x =, se obtiene X () =. Estas condiciones, junto con a segunda de as ecuaciones en (3), definen e siguiente probema: { kx + λpx =, x (, ) (4) X () = X () =. Este es un probema de contorno que pertenece a a case de os denominados probemas de Sturm-Liouvie. Se sabe que estos probemas tienen souciones X no triviaes para determinados vaores reaes de λ, que se aman autovaores. La búsqueda de estas souciones pasa por determinar dichos vaores y obtener as funciones X correspondientes, as cuaes se denominan autofunciones. Si imponemos a condición inicia (c) de (1), se tiene X (x)t () = f(x). De esta expresión no podemos obtener en genera una condición inicia para a función T independiente de a variabe x. Por tanto, una vez resueto e probema de contorno (4), se tiene que resover a ecuación diferencia T + λt = (5) ibre de condición inicia aguna para cada uno de os autovaores λ obtenidos. Finamente, para cada autovaor, e producto de a autofunción X (x) por a correspondiente función T (t) nos definirá una función u(x, t) = X (x)t (t) que será soución de a ecuación (a) y de as condiciones de contorno (b) de probema (1). Soución de probema de contorno: Vamos a resover ahora e probema de contorno (4). Consideremos e poinomio característico ks 2 + λp = de a ecuación diferencia (4), cuyas raíces determinan a forma de a soución.

4 Separación de variabes 4 Si µ <, as raíces son dos vaores reaes y distintos y a ecuación diferencia tiene as dos souciones independientes e µ x y e µ x respectivamente. La soución genera se forma con una combinación inea de a forma X (x) = C 1 e µ x + C 2 e µ x, donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias. Estas constantes pueden determinarse a imponer as condiciones de contorno, de o que resuta e siguiente sistema de ecuaciones: X () = C 1 + C 2 = ; X () = C 1 e µ + C 2 e µ. La soución de este sistema es C 1 = C 2 =, de o que se obtiene a función X (x) = como única soución de probema (4). De esto se concuye que no existen autovaores-autofunciones con µ <. Teniendo en cuenta que sinh θ = eθ e θ 2 y cosh θ = eθ + e θ, 2 e caso con µ < puede estudiarse también considerando a soución genera de a ecuación en a forma D 1 cosh µ x + D 2 sinh µ x, egándose obviamente a a misma concusión. E caso con µ = corresponde a una raíz dobe s = y a soución genera de a ecuación diferencia (ahora simpemente X = ) es de a forma X (x) = C 1 + C 2 x. Imponiendo as condiciones de contorno, resuta inmediatamente que as constantes se determinan en a forma C 1 = C 2 =, de o que se concuye que no existen autovaoresautofunciones para µ =. Anaicemos por útimo e caso µ >. Ahora as raíces de poinomio característico son un par de vaores imaginarios puros s = ±i µ y a soución genera tiene a forma X (x) = C 1 cos µ x + C 2 sin µ x. Imponiendo a condición de contorno X () =, resuta C 1 =, de o que queda a soución X (x) = C 2 sin µ x. Imponiendo ahora X () =, resuta C 2 sin µ =. La posibiidad C 2 = queda descartada ya que nos evaría a una soución X (x) = con ausencia de autovaores-autofunciones. La otra posibiidad es sin µ =, o que puede ocurrir para µ = nπ para cuaquier n = 1, 2, 3,.... Así pues os autovaores λ son de a forma λ = k p µ = k n 2 π 2 p 2 y as autofunciones correspondientes tienen a forma X (x) = C 2 sin µ x = C 2 sin nπx.

5 Separación de variabes 5 Observando que existen infinitos autovaores y autofunciones formando dos sucesiones a considerar n = 1, 2,..., puede ser más conveniente introducir a partir de ahora a siguiente notación: λ n = k n 2 π 2 p 2 y X n (x) = C n sin nπx, n = 1, 2,.... (6) Como veremos, resuta de gran utiidad definir un producto interno entre dos funciones. Consideremos un cierto conjunto de funciones en e intervao [, ]. Sea p una función continua positiva en [, ]. Definimos e denominado producto interno de as funciones f y g con peso p como e número dado por a expresión < f, g >= f(x)g(x)p(x) dx. Se dice que dos funciones f y g son ortogonaes en [, ] cuando < f, g >=. Asociado a producto interno, tenemos e concepto de norma de una función definida en a forma f = < f, f >. Podemos ver que as autofunciones {X n (x) = C n sin nπx },2,... forman un conjunto ortogona de funciones en [, ], es decir que son ortogonaes dos a dos. En efecto, puede comprobarse que < X n, X m >= C n C m p sin nπx sin mπx { si n m dx = Cn 2 p 2 si n = m. Por otro ado, dado que C n es una constante arbitraria, podemos eegir su vaor a vountad. Una forma conveniente es eegira de manera que as autofunciones tengan norma unidad, es decir imponiendo que X n = p < X n, X n > = C n 2 = 1. Así eegimos C n = 2 p. Con eo as autofunciones quedan en a forma X n (x) = 2 p nπx sin, n = 1, 2,.... (7) Decimos que {X n (x)},2,... es un conjunto ortonorma de funciones. Probema tempora: Para cada uno de os autovaores λ n, tenemos ahora una ecuación tempora (5) que podemos escribir en a forma Su soución es de a forma T n + λ n T n =. (8) T n (t) = θ n e λnt, (9) donde θ n es una constante arbitraria que podemos tomar igua a 1 por simpicidad.

6 Separación de variabes Superposición. Soución en serie Con e proceso anterior hemos obtenido una sucesión de funciones u n (x, t) = X n (x)t n (t) que satisfacen a ecuación diferencia (a) y as condiciones de contorno (b) de probema (1). Consideremos una combinación inea de un número N finito de estas funciones, siendo N y B n unos vaores arbitrarios: N u N (x, t) = B n u n (x, t). Es inmediato ver que u N (x, t) satisface as condiciones de contorno. Sustituyendo as derivadas N u Nt = B n [u n (x, t)] t y N u Nxx = B n [u n (x, t)] xx (1) en a ecuación diferencia, es fáci ver que u N a satisface. Esto no es sino un refejo de principio de superposición de souciones que verifica toda ecuación diferencia inea: cuaquier combinación inea de souciones es también soución. Dado que disponemos de una sucesión infinita de funciones de a forma u n (x, t), parece natura definir una función u(x, t) como a suma de una serie infinita en a forma u(x, t) = B n u n (x, t) = B n X n (x)e λnt, (11) y que esta función sea también soución de a ecuación (a) y de as condiciones de contorno (b) de probema (1). Es inmediato comprobar que esta función satisface as condiciones de contorno. Sin embargo, e hecho de que a función escrita en (11) sea soución de a ecuación diferencia es más deicado. En primer ugar, e paso de una suma finita a una serie infinita de funciones requiere comprobar que a serie sea convergente para asegurarnos de que a función (11) existe. En segundo ugar aparece a cuestión de a existencia de as derivadas u t y u xx obtenidas derivando término a término a serie anterior, es decir en a forma u t (x, t) = B n [u n (x, t)] t y u xx (x, t) = B n [u n (x, t)] xx. (12) Mientras que para una suma finita as expresiones (1) son triviaes, as iguadades en (12) pueden no ser ciertas a menos que as funciones u n y sus derivadas cumpan ciertas condiciones de reguaridad. Es directo comprobar que, si as derivadas expresadas en (12) son efectivamente ciertas, entonces a función u(x, t) dada en (11) es soución de a ecuación diferencia de probema (1). No obstante, podemos dejar de ado estas cuestiones y considerar dicha función como una candidata natura a ser soución de a ecuación diferencia. Para que esta función pueda ser soución de todo e probema (1), debe satisfacer también a condición inicia (c). Por tanto, ha de cumpir 2 u(x, ) = f(x) = B n X n (x) = B n p sin nπx. (13) Esto significa que a función f ha de poder expresarse como una combinación inea de todas as infinitas autofunciones X n. Esta expresión se conoce como a serie de Fourier de

7 Separación de variabes 7 a función f en e conjunto de autofunciones X n en [, ]. Para que a iguadad anterior sea váida para cada punto x [, ], a función f debe satisfacer ciertas condiciones. Pasemos por ato por e momento esta cuestión y aceptemos que a función f, que vendrá dada como dato de probema, puede expresarse en a forma (13) para todo x [, ]. En ta caso, os coeficientes B n pueden determinarse de forma única ta como se indica a continuación. Expresando e producto interno de a función f en a forma (13) por a autofunción X m, podemos escribir < f, X m >= B n X n (x)x m (x)p dx. Suponiendo que a serie puede integrarse término a término y recordando a ortonormaidad de as autofunciones X n, se obtiene < f, X m >= B n X n (x)x m (x)p dx = B m, (14) a anuarse todos os sumandos excepto e de término m. Con todo, a soución de probema (1) expresada en a serie (11) queda finamente en a forma 2 u(x, t) = B n X n (x)e λnt nπx = B n sin e λnt, (15) p donde 2 B n =< f, X n >= f(x)x n (x)p dx = p p f(x) sin nπx Para aigerar a notación, esta soución puede reescribirse en a forma u(x, t) = b n sin nπx e λnt, b n = 2 f(x) sin nπx dx. dx. (16) (17) 2.3 Conducción de caor en una barra con extremos aisados Consideremos de nuevo a ecuación de caor en una barra como en e probema (1), pero ahora con os extremos aisados, es decir con unas condiciones de Neumann homogéneas. E enunciado competo de probema es (a) p u t k u xx =, x (, ), t > ; (b) u x (, t) = u x (, t) =, t > ; (18) (c) u(x, ) = f(x), x (, ). Procediendo de igua forma que en e caso anterior, buscamos una soución de a forma u(x, t) = X (x)t (t). Sustituyendo esta expresión en a ecuación (a) y en as condiciones

8 Separación de variabes 8 de contorno (b) de probema, se ega a a ecuación diferencia T + λt = y a siguiente probema de autovaores: { kx + λpx =, x (, ) X () = X () =. (19) Sea µ = λp k. Si µ < a soución genera de a ecuación diferencia de este probema es de a forma X (x) = C 1 e µ x + C 2 e µ x. Imponiendo as condiciones de contorno a a derivada de esta función, se obtiene fácimente que C 1 = C 2 =, o que demuestra que no existen autovaores-autofunciones para µ <. En e caso µ =, a soución es de a forma X(x) = C 1 + C 2 x. Como su derivada es X (x) = C 2, as dos condiciones de contorno se cumpen simutáneamente con C 2 =. Por tanto, para este caso existe una soución de a forma X (x) = C 1, quedando C 1 como una constante arbitraria. Sea ahora µ >, en cuyo caso a soución genera de a ecuación en (19) se expresa en a forma X (x) = C 1 cos µ x + C 2 sin µ x. Imponiendo as condiciones de contorno nuas en x = y en x = a a derivada X (x) = C 1 µ sin µ x + C2 µ cos µ x, resuta C 2 = y sin µ =. De aquí se obtienen os autovaores λ y as autofunciones X de a forma λ = k p µ = k p n 2 π 2 2 y X (x) = C 1 cos µ x = C 1 cos nπx para cuaquier n = 1, 2,.... Los resutados obtenidos pueden recopiarse rehaciendo a notación en a forma siguiente: Autovaores : λ = ; λ n = k n 2 π 2 p 2 para n = 1, 2,... Autofunciones : X = C ; X n (x) = C n cos nπx (2) para n = 1, 2,... siendo C y C n unos coeficientes arbitrarios. Podemos observar que estas funciones son ortogonaes en e mismo sentido que as autofunciones obtenidas en e probema anterior, es decir y < X, X n >= C C n p cos nπx dx = para n = 1, 2,... < X n, X m >= C n C m p cos nπx cos mπx dx = para n, m = 1, 2,... (n m).

9 Separación de variabes 9 Por otro ado, X = < X, X > = C p y Xn = < X n, X n > = C n p 2. Escogiendo C = 1 p y C n = 2 p, podemos redefinir as autofunciones de manera que son ortonormaes en a forma X (x) = 1 2 p ; X n(x) = p cos nπx para n = 1, 2,.... (21) Ahora consideramos a ecuación diferencia tempora T + λt = para cada uno de os autovaores obtenidos. Para λ =, tenemos T =, cuya soución es una constante arbitraria que, por conveniencia, podemos eegir a unidad: T (t) = 1. Para n >, a ecuación es T n + λ n T n = y su soución se expresa en a forma T n (t) = e λnt. Tomando todos os productos posibes de as autofunciones (21) con as funciones temporaes correspondientes, podemos formar a serie 1 u(x, t) = A X (x)t (t) + A n X n (x)t n (t) = A p + 2 A n p cos nπx e λnt (22) como a soución de a ecuación diferencia (a) y as condiciones de contorno (b) de probema (18), siendo A y A n constantes arbitrarias. Para que esta serie cumpa también a condición inicia (c) de probema, es necesario que 1 u(x, ) = f(x) = A p + 2 A n p cos nπx. (23) Esto significa que a función f ha de poder expresarse en serie de Fourier de as autofunciones anteriores en (, ). Suponiendo que esto sea así, con os productos internos de f por as autofunciones, ta como se ha detaado en e ejempo de apartado anterior, os coeficientes A y A n quedan determinados en a forma única siguiente: 1 2 A =< f, X >= p f(x) dx y A n =< f, X n >= p f(x) cos nπx dx. (24) p p Utiizando estos coeficientes en (22), a soución queda competamente determinada. Para simpificar a notación, esta soución puede reescribirse en a forma u(x, t) = a + a = 1 f(x) dx; a n cos nπx a n = 2 e λnt, f(x) cos nπx dx. (25)

10 Separación de variabes Conducción de caor en un anio circuar Supongamos que a barra de os Apartados 2.1 y 2.3 tiene ahora forma circuar con ongitud ta como se iustra en a Figura 1. E probema a resover es ahora e siguiente: (a) p u t k u xx =, x (, ), t > ; (b) u(, t) = u(, t); u x (, t) = u x (, t), t > ; (26) (c) u(x, ) = f(x), x (, ). En este panteamiento suponemos, como en os probemas (1) y (18), que a sección de anio es muy pequeña y a temperatura u varía únicamente a o argo de anio como resutado de una conducción ongitudina de caor. Es natura eegir un punto x = como origen y considerar e arco x (, ) como a coordenada espacia. Como se iustra en a Figura 1, e anio se puede asimiar a una barra ongitudina con extremos x = y x =. Las condiciones dadas en (b) expresan que os extremos de esta barra son e mismo punto de anio y, por tanto han de ser iguaes a temperatura y e fujo térmico en ambos extremos. Las condiciones dadas en (b) se conocen como condiciones de contorno periódicas. Figura 1: Barra conductora en forma circuar. Procediendo como en os dos probemas anteriores, es decir proponiendo una soución u(x, t) = X (x)t (t), se ega a siguiente probema de autovaores: con µ = λp k. X + µx =, x (, ) X () = X (); X () = X (). Dejamos a ector a comprobación de que no existen autofunciones para e caso µ < como en os dos probemas anteriores. Para e caso µ = a soución de (27) es de a forma X (x) = C 1 + C 2 x. La condición X () = X () impica que C 2 =, mientras que X () = X () se cumpe cuaquiera que sea a constante C 1. La soución de (27) para e caso µ > es de a forma X (x) = C 1 cos µ x + C 2 sin µ x. (27)

11 Separación de variabes 11 Imponiendo X () = X (), y X () = X (), se obtiene C 1 = C 1 cos µ + C 2 sin µ C 2 µ = C1 µ sin µ + C2 µ cos µ. Esto puede escribirse en a forma ( cos µ sin µ sin µ cos µ ) ( C1 C 2 ) = ( C1 Para que se cumpa esta iguadad, puede que sea C 1 = C 2 = o bien que a matriz sea a identidad. E primer caso queda descartado porque nos evaría a a soución trivia X (x) =. La segunda posibiidad nos eva a cos µ = 1, y sin µ =, o que ocurre para µ = 2nπ para n = 1, 2,..., quedando C 1 y C 2 con vaores arbitrarios. Así pues, se tienen os infinitos vaores de µ de a forma µ = 4n2 π 2, con n = 1, 2... y a os autovaores λ = k p 4n 2 π 2 2. Para cada uno de os vaores de µ obtenidos, a función X (x) = C 1 cos µ x + C 2 sin µ x es soución de probema (27) cuaesquiera que sean os vaores de C 1 y C 2. Dado que e vaor de C 2 es arbitrario, podemos considerar C 2 =, en cuyo caso a función C 1 cos µ x es soución de probema para cuaquier vaor de C 1. Por otro ado, como C 1 es también arbitrario, podemos tomar C 1 =. En ta caso a función C 2 sin µ x es también soución de probema cuaquiera que sea e vaor de C 2. En definitiva, as dos funciones C 1 cos µ x y C 2 sin µ x son autofunciones independientes asociadas a mismo autovaor. Recopiando, os resutados obtenidos como soución de probema (27) pueden presentarse con una notación adecuada en a siguiente forma: Autovaores : λ = ; λ n = k 4n 2 π 2 p 2 para n = 1, 2,... X nc (x) = C nc cos 2nπx (28) Autofunciones : X = C ; X ns (x) = C ns sin 2nπx para n = 1, 2,... donde C, C nc y C ns son constantes arbitrarias. Es fáci comprobar que estas autofunciones son ortogonaes en [, ] y que pueden redefinirse con norma unidad tomando C = 1 p y C nc = C ns = 2 p, quedando en a forma C 2 2 ). X (x) = 1 p, X nc(x) = 2 p cos 2nπx, X ns (x) = 2 p sin 2nπx para n = 1, 2,.... (29)

12 Separación de variabes 12 Para cada autovaor λ se tiene una ecuación diferencia T + λt =, de o que resutan as funciones temporaes de a forma T (t) = 1 y T n (t) = e λnt. Con todos os productos posibes de estas funciones con as correspondientes autofunciones dadas en (29), podemos formar a serie u(x, t) = A X (x)t (t) + A n X nc (x)t n (t) + B n X ns (x)t n (t) 1 = A p + 2 [A n p cos 2nπx + B n 2 p (3) 2nπx] sin e λnt como a soución de a ecuación diferencia (a) y as condiciones de contorno (b) de probema (26), siendo A, A n y B n coeficientes arbitrarios. Para que esta serie cumpa también a condición inicia (c) de probema, es necesario que 1 u(x, ) = f(x) = A p + 2 [A n p cos 2nπx + B n 2 p 2nπx] sin. (31) Esto significa que a función f ha de poder expresarse en serie de Fourier de as autofunciones anteriores en e intervao [, ]. Suponiendo que esto sea así, con os productos interiores de f por as autofunciones, ta como se ha detaado en e ejempo de apartado anterior, os coeficientes A, A n y B n quedan determinados en a forma única siguiente: 1 A = < f, X > = p f(x) dx p 2 A n = < f, X nc > = p p f(x) cos 2nπx dx (32) 2 B n = < f, X ns > = p p f(x) sin 2nπx Utiizando estos coeficientes en (3), a soución de probema (26) queda competamente determinada. dx Para simpificar a notación, esta soución puede reescribirse en a forma u(x, t) = a + [a n cos 2nπx + b n sin 2nπx ] e λnt, a = 1 f(x) dx; a n = 2 f(x) cos 2nπx dx; (33) b n = 2 f(x) sin 2nπx dx.

13 Separación de variabes 13 3 Conjuntos de funciones ortogonaes y series de Fourier En os probemas anteriores nos hemos encontrado con a necesidad de representar as funciones que describen as condiciones iniciaes mediante una serie de Fourier en un conjunto de funciones ortonormaes para poder encontrar a soución única de probema. Dependiendo de tipo de condiciones de contorno han aparecido distintos conjuntos: en e caso de as condiciones de Dirichet (temperatura nua en os extremos) e conjunto de autofunciones es { 2 p nπx} sin,2,... x [, ]. Para a barra con extremos aisados (condiciones de Neumann) as autofunciones son { 1 2 p, nπx} cos x [, ]. p,2,... En e ejempo de anio, as condiciones de contorno son periódicas y e conjunto de autofunciones es { 1 2 p, 2nπx 2 2nπx} cos, sin x [, ]. p p,2,... Como veremos más adeante, a misma necesidad se encontrará a abordar probemas más generaes. Por tanto, vamos a presentar agunos conceptos básicos que son particuarmente reevantes sobre a representación de funciones mediante series de Fourier en conjuntos ortonormaes de funciones. Para tener una base geométrica que nos pueda dar cierta intuición, vamos a considerar primero a representación de vectores en conjuntos de vectores ortogonaes. 3.1 Conjuntos de vectores ortogonaes Consideremos e espacio eucídeo tridimensiona (e de a física) con os vectores unitarios i, j, k, según cada una de as direcciones de os ejes de coordenadas cartesianas x, y, z. Cuaquier vector de este espacio puede expresarse en a forma f = f 1 i + f 2 j + f 3 k, (34) donde f 1, f 2, f 3 son as componentes que definen de forma única a vector f. En este espacio se define e producto interno (o producto escaar) de dos vectores f, g en a forma 3 f, g = f i g i. (35) Este producto tiene as siguientes propiedades: i=1 [1] f, g = g, f [2] kf, g = k f, g, k IR [3] f, f = si f = ; f, f > si f [4] f + g, u = f, u + g, u. (36)

14 Separación de variabes 14 Con e producto interno se define a norma (magnitud o ongitud) de un vector en a forma f = f, f, (37) que siempre tiene un vaor positivo excepto para f =, cuando vae. Esta norma define a noción de distancia entre os extremos de dos vectores f y g en a forma d(f, g) = f g. (38) Se dice que dos vectores f y g son ortogonaes (perpendicuares) si f, g =. (39) Sean v 1, v 2, v 3 vectores no nuos. Se dice que forman un conjunto ortogona de vectores si son ortogonaes dos a dos, es decir v n, v m = para cuaquier n m. Dado un conjunto cuaquiera de vectores ortogonaes, puede definirse otro conjunto formado por vectores en as mismas direcciones que os anteriores pero unitarios, es decir con norma unidad. Para eo, basta definir os nuevos vectores en a forma u n = v n, n = 1, 2, 3. (4) v n Este nuevo conjunto se denomina base ortonorma y se caracteriza por u n, u m = {, para n m 1, para n = m. (41) Cuaquier vector f puede expresarse como una combinación inea de os vectores {u n } en a forma 3 f = c n u n, (42) donde os coeficientes c n IR pueden cacuarse fácimente con a siguiente operación: Así pues f, u i = c n u n, u i = c n u n, u i = c n u n, u i = c i. (43) c n = f, u n. (44) Estos coeficientes tienen un caro significado geométrico: son as proyecciones de vector f en as direcciones definidas por os vectores unitarios u n. 3.2 Conjuntos de funciones ortogonaes Los conceptos vistos en a sección anterior para e caso de vectores van a extenderse aquí a caso de ciertas cases de funciones. En primer ugar, o que antes era un espacio vectoria de dimensión finita ahora será un espacio de funciones. Esto es un conjunto de funciones taes

15 Separación de variabes 15 que cuaquier combinación inea de funciones de conjunto es también una función de mismo conjunto. Lo que antes era a descomposición de un vector en una base ortonorma ahora será e desarroo de una función en serie de Fourier en un conjunto de funciones ortonormaes. Existen diferentes espacios de funciones sobre os que desarroar os conceptos de producto interno, ortogonaidad y desarroo en series de Fourier. Dependiendo de a case de funciones consideradas, puede ser más o menos difíci e profundizar en a teoría. Aquí consideraremos funciones reaes definidas sobre un intervao I = [, ] con a propiedad de ser continuas a trozos. Se dice que una función es continua a trozos (también se dice seccionamente continua) en I si a función es continua en todos os puntos excepto posibemente en un número finito de puntos en os que a discontinuidad es de sato. Una característica de estas funciones es que son acotadas en I y además integrabes Riemann. Las funciones continuas a trozos sirven para modear una ampia gama de situaciones en a práctica y forman un espacio de funciones para e que existen buen número de resutados teóricos sobre desarroos en series de Fourier que requieren conocimientos razonabemente eementaes de anáisis matemático. Denotemos por C s (I) a espacio de funciones continuas a trozos en e intervao I IR. Sea una función estrictamente positiva p C s (I) a a que denominaremos función de peso. Se define e producto interno de dos funciones f, g C s (I) con respecto a peso p como e escaar resutado de a siguiente operación: f, g = f(x)g(x)p(x)dx. (45) Puede comprobarse que esta operación cumpe as propiedades (36). En particuar puede ser p(x) = 1 x I. Si pensamos en una función f como en un vector de dimensión infinita y en os vaores f(x) como as infinitas componentes a dar vaores a a función en os infinitos puntos x I, e producto interno f, g = f(x)g(x)p(x)dx (46) puede verse como a extensión natura de a suma de os productos de componentes que definía e producto interno de vectores en (35). Como en (37), se define a norma de una función en a forma f = f, f = Si f =, entonces f(x) = para todo x [, ]. Asimismo se define a distancia entre dos funciones f y g como [ f(x) 2 1/2 p(x)dx]. (47) [ 1/2 d(f, g) = f g = [f(x) g(x)] p(x)dx] 2, (48)

16 Separación de variabes 16 que es una medida de a distancia entre as gráficas de ambas funciones. Si d(f, g) =, entonces f(x) = g(x) para todo x [, ]. Se dice que dos funciones f y g son ortogonaes si f, g = f(x)g(x)p(x)dx =. (49) La ortogonaidad en e espacio de a sección anterior significaba que os vectores eran perpendicuares. Cuando habamos de a ortogonaidad de funciones se pierde aque concepto geométrico, aunque puede darse una cierta interpretación gráfica a a misma: para que e producto (49) sea nuo, es necesario que os vaores de f y g en e intervao I tengan signos reativos taes que e producto fg tenga partes de su gráfica con vaores positivos y partes con vaores negativos de manera que su integra sea nua. Sea {ϕ n },2,... un conjunto de funciones. Se dice que es un conjunto ortogona si ϕ n, ϕ m = siempre que n m. Suponiendo que ninguna de as funciones tenga norma nua, pueden normaizarse para obtener otras funciones φ n con norma unidad: φ n (x) = ϕ n(x), n = 1, 2,.... (5) ϕ n (x) Estas funciones forman un conjunto ortonorma, es decir {, para n m φ n, φ m = φ n (x)φ m (x)dx = 1, para n = m. I (51) 3.3 Ejempos Ejempo 1: p(x) = 1. {sin nπx },2,... es un conjunto ortogona en I = [, ] con respecto a peso En efecto, podemos comprobar que sin nπx, sin mπx = sin nπx sin mπx dx = {, para n m /2, para n = m. La norma de todas estas funciones es /2. Por tanto as funciones φ n (x) = 2 forman un conjunto de funciones ortonormaes en [, ]. Ejempo 2: De igua forma se comprueba que as funciones φ (x) = 1, φ n (x) = nπx sin, n = 1, 2,... (52) 2 forman un conjunto de funciones ortonormaes en [, ]. nπx cos, n = 1, 2,... (53)

17 Separación de variabes 17 Ejempo 3: Anáogamente puede verse que as funciones φ c (x) = 1, φ cn (x) = 1 cos 2nπx, φ sn (x) = 1 sin 2nπx, n = 1, 2,... (54) 2 forman un conjunto de funciones ortonormaes en [, ]. Obsérvese que en todos os casos se tienen infinitas funciones en forma de sucesión que se denotan a nuestra conveniencia. En e primer ejempo, as contamos a partir de n = 1, mientras que en e segundo as enumeramos empezando en n =. En e tercero distinguimos as funciones de a forma coseno de as de a forma seno para hacer más expícita a notación. 3.4 Series de Fourier Sea {φ n (x)},2,... un conjunto ortonorma de funciones en C s (I). Dada una función f C s (I), se pantea a cuestión de si ésta puede expresarse como una serie infinita en términos de as funciones ortonormaes en a forma con unos coeficientes c n apropiados. f(x) = c n φ n (x) (55) Esta expresión es a extensión natura de a descomposición de un vector en una base ortornorma como en (42). Sin embargo, a situación aquí es más compeja, por cuanto no se dispone de una base con un número finito de vectores, sino que se requieren infinitas funciones φ 1, φ 2,... para descomponer a función f. Ante una expresión en serie como a propuesta en (55) hay que pantearse dos preguntas esenciaes: 1) Es váida a iguadad para todo x [, ]? 2) Qué vaores han de tener as constantes c n? Tomémonos por e momento a icencia de que a expresión (55) es váida. Esto nos permitirá hacer cierta operación como veremos a continuación. En efecto, con e producto interno de a función f por una cuaquiera de as funciones φ i, de modo anáogo a o que se hizo en (43), podemos escribir f, φ i = c n φ n, φ i = [ ] c n φ n (x) φ i (x)p(x)dx. Suponiendo que a serie pueda integrarse término a término, podemos continuar a operación en a forma f, φ i = c n φ n (x)φ i (x)p(x)dx = c i, donde se ha utiizado a ortonormaidad (51) de as funciones φ n (x).

18 Separación de variabes 18 En definitiva, suponiendo que a expresión (55) sea váida, os coeficientes c n de (55) deben cacuarse mediante as fórmuas c n = f, φ n = f(x)φ n (x)p(x)dx. (56) Obsérvese que esta expresión es anáoga a a que en (44) da a componente de un vector f en a dirección de un vector u n de una base ortonorma como a proyección en dicha dirección. Así e coeficiente c n puede interpretarse como una proyección de a función f sobre a función φ n de conjunto ortonorma. E que a expresión (55) sea váida y a serie pueda integrarse término a término determinan unívocamente e vaor de os coeficientes c n en a forma (56). Por desgracia, dada una función f(x), puede no ser fáci encontrar argumentos para demostrar a priori que se cumpen ambas condiciones. Por suerte, una inspección directa de as fórmuas (56) permite observar que éstas pueden utiizarse independientemente de que a serie (55) converja en todo punto a a función f(x). Basta con que os productos de a forma f(x)φ n (x)p(x) sean integrabes en [, ] para que as constantes c n existan en a forma cacuabe con as fórmuas (56). Esto no es especiamente restrictivo ya que existen muchas cases de funciones que o satisfacen, por ejempo, as funciones seccionamente continuas que venimos considerando como prototipo. En a práctica podemos operar de una forma inversa a a que hemos seguido para ir desde a iguadad (55) hasta as expresiones (56). En efecto, dada una función f(x) definida en un intervao I, podemos cacuar unos coeficientes c n asociados a dicha función mediante as expresiones c n = f, φ n = y construir a serie infinita f(x)φ n (x)p(x)dx, n = 1, 2,..., (57) f(x) c n φ n (x). (58) Esta se denomina serie de Fourier de f con respecto a conjunto de funciones ortornormaes {φ n }. Las constantes c n se denominan coeficientes de Fourier de a función. Con esta operación hemos obtenido una sucesión de números c n que, mutipicados por as funciones ortonormaes φ n (x), determinan una serie de Fourier asociada a una función f(x) dada. La notación ( ) utiizada en (58) es una forma gráfica de indicar a asociación entre a serie de Fourier y a función sin prejuzgar que exista una identificación punto a punto entre ambas. Esto constituye una forma de representar a función como una descomposición inea en un conjunto infinito de funciones ortonormaes. Es cara a anaogía entre esta representación de una función y a representación de un vector mediante sus componentes en una base ortornorma. Los coeficientes de Fourier c n son as componentes de a función en e conjunto de funciones ortonormaes {φ n },2.... En e caso de un vector f, dadas sus componentes c 1, c 2, c 3 en a base de vectores ortonormaes u 1, u 2, u 3, se satisface a identidad 3 f = c n u n. (59)

19 Separación de variabes 19 La identidad anáoga a a anterior en e caso de una función f es f(x) = c n φ n (x), x I. (6) Sin embargo, a situación es ahora más compeja que en e caso de un vector. Dados os coeficientes de Fourier c n de una función f en e conjunto ortonorma de funciones {φ n }, puede ocurrir que a serie de Fourier no sea convergente en todo e dominio I, o que, si o es, a serie no coincida con a función en todos os puntos de dominio. En e mejor de os casos, se espera que a serie sea convergente y su suma coincida con a función f(x) en todos os puntos de dominio, en cuyo caso podremos escribir a identidad (6). Pero en muchos probemas prácticos, como ocurre en probemas con ecuaciones diferenciaes en derivadas parciaes, podemos encontrarnos con un buen número de funciones para as que su serie de Fourier diverge en agunos puntos de su dominio y, a pesar eo, es conveniente representar a función mediante a serie de Fourier. En genera, por encima de a convergencia y de a identificación de a serie con a función en cada punto de su dominio, a serie de Fourier representa a a función en cierto sentido goba como se desarroará en e apartado siguiente. 3.5 Aproximación en media cuadrática Consideremos as primeras N funciones φ 1, φ 2,... φ N de un conjunto ortonorma en C s (I) y a combinación inea con ciertos coeficientes α i. Φ N (x) = α 1 φ 1 (x) + α 2 φ 2 (x) α N φ N (x) (61) Con e vaor absouto f(x) Φ N (x) podemos evauar e error cometido en cada punto x si se quiere aproximar a función f(x) mediante a combinación Φ N (x). Si se quiere tener una medida de error no en cada punto sino de forma goba en todo e intervao I, puede considerarse a integra f(x) Φ N (x) p(x)dx. Como e vaor absouto compica os cácuos, es más práctico utiizar un cuadrado. Así pues se define a cantidad E N = f Φ N 2 = [f(x) Φ N (x)] 2 p(x)dx (62) como e error cuadrático medio en a aproximación de a función f por a función φ N. Si E N cuando N, se dice que a sucesión de funciones {φ n (x)} tiende en media cuadrática a f(x). Esto equivae a decir que a distancia d(f, Φ N ) entre as dos funciones definida en (48) tiende a cuando N. Esto significa que a función f(x) puede representarse en media cuadrática tanto como se quiera tomando un número N de términos suficientemente grande.

20 Separación de variabes 2 Nos proponemos ahora encontrar as constantes α n que hacen que e error E N sea mínimo. En otras paabras, se trata de buscar a mejor aproximación de f en media cuadrática, también conocida como a aproximación de mínimos cuadrados. Para eo podemos desarroar a expresión (62) en a forma [ N ] 2p(x)dx [ E N = f(x) α n φ n (x) = f(x) 2 N 2p(x)dx p(x)dx + α n φ n (x)] N 2 f(x) α n φ n (x)p(x)dx. La primera integra en a derecha de esta iguadad es f 2. escribirse en a forma [ N = ] [ N ] α n φ n (x) α m φ m (x) p(x)dx = m=1 N N [ α n α m m=1 N [ N ] φ m (x)φ n (x)p(x)dx = m=1 N La segunda integra puede ] α m φ m (x) α n φ n (x)p(x)dx donde hemos tenido en cuenta a ortonormaidad de as funciones φ n (x) expresada en (51) para escribir a útima iguadad. La tercera de as integraes puede escribirse en a forma α 2 n, N N f(x) α n φ n (x)p(x)dx = α n c n, donde c n son os coeficientes de Fourier de f según as fórmuas (56). Así pues a expresión (62) queda en a forma N N N N E N = f 2 + α 2 n 2 α n c n = f 2 + (α n c n ) 2 c 2 n. (63) A a vista de a expresión anterior, formada por sumandos todos positivos o nuos, queda caro que e mínimo vaor de error E N se tiene cuando α n = c n, n = 1, 2,..., N, es decir cuando a función se aproxima mediante os N primeros términos de su serie de Fourier. Además dicho error mínimo es N min E N = f 2 c 2 n. (64) De este resutado se extraen agunas propiedades interesantes sobre os coeficientes de Fourier. En primer ugar, como min E n, se deduce N c 2 n f 2, (65)

21 Separación de variabes 21 que se conoce como desiguadad de Besse. Si vamos aumentando e vaor de N hasta, podemos ver N c 2 n como a suma parcia N-sima de a serie de os cuadrados de os coeficientes de Fourier. Como esta suma parcia está acotada por f 2, a serie es convergente y su suma está también acotada por f 2, es decir que cumpe asimismo a desiguadad de Besse extendida c 2 n f 2. (66) Dado que e término n-simo de una serie convergente debe tender a, se tiene e siguiente resutado: im c n = im f, φ n =. (67) n n Es decir que os coeficientes de Fourier forman una sucesión que tiende a cuando n. Como ya hemos visto, a expresión (64) nos da e error cuadrático medio cuando se aproxima a función f mediante os N primeros términos de su serie de Fourier. Este error se hace menor a medida que aumenta e número N de términos incuidos. La mejor aproximación se tiene con infinitos términos, es decir con a serie de Fourier competa, en cuyo caso e error cuadrático medio es E = im {min E N } = im f Φ N 2 = f 2 N N c 2 n. (68) 3.6 Recopiación Sea e conjunto de funciones ortonormaes {φ n (x)},2,... en C s (I) y sean os coeficientes y a serie de Fourier de una función f: c n = f, φ n ; f(x) c n φ n (x). Según hemos visto, se satisfacen as siguientes propiedades: 1. Se cumpe a desiguadad de Besse 2. im n c n =. c 2 n f 2. (69) 3. De entre todas as combinaciones ineaes posibes con as funciones {φ n (x)}, a serie de Fourier es a mejor representación en media cuadrática de a función, siendo e error cuadrático medio E = f c n φ n 2 = f 2 c 2 n. (7)

22 Separación de variabes Base ortonorma E mejor de os casos ocurre cuando e error cuadrático medio (7) es nuo, ya que entonces podemos decir que a serie de Fourier tiende en media cuadrática a a función f. Esto significa que, tomando un número de términos suficientemente grande, a serie de Fourier puede aproximar en media a a función tanto como se quiera. En ta caso a desiguadad de Besse (69) se convierte en a iguadad que se conoce como a identidad de Parseva. f 2 = c 2 n, (71) La identidad de Parseva f 2 = c c2 2 + puede interpretarse como a extensión de a expresión f = c c2 2 + c2 3 que da e móduo de un vector f en e espacio eucídeo tridimensiona considerado en e Apartado 3.1. Se dice que un conjunto ortonorma de funciones {φ n (x)},2,... es competo en un espacio de funciones cuando a serie de Fourier de cuaquier función f de dicho espacio tiende en media cuadrática a a función. Es decir, cuando se cumpe a condición im f N c n φ n (x) 2 =, (72) N o, equivaentemente, se satisface a identidad de Parseva (71) para toda función f de espacio. También se dice que e conjunto de funciones {φ n (x)},2,... es una base ortornorma de espacio de funciones. Caramente, en a práctica interesa disponer de funciones que formen una base ortonorma. Aunque a demostración queda fuera de acance de estas notas, puede demostrarse que os conjuntos y { 1 p, { 2 p { 1 p, nπx} sin,2,... 2 p 2 2nπx cos, p nπx} cos,2,... 2 p 2nπx} sin,2,... son bases ortornormaes de espacio de funciones continuas a trozos en [, ]. De a identidad de Parseva (71) puede observarse que a única posibiidad de que todos os coeficientes de a serie de Fourier de una función f se anuen es que sea f =, y por tanto f =. Por tanto, una condición necesaria para que un conjunto de funciones {φ n } sea una base ortonorma es que no exista ninguna función con norma no nua que sea ortogona a todas y cada una de as funciones φ n. Cuando esto ocurre se dice que e conjunto de funciones {φ n },2,... es cerrado, ya que no puede ampiarse con ninguna otra función ortogona a todas as demás. (73) (74) (75)

23 Separación de variabes 23 Ejempo: En e caso de conjunto (74), éste dejaría de ser una base ortonorma en [, ] si a función constante φ (x) = 1/ no estuviera incuida en e conjunto. En efecto, en ta caso cuaquier función constante sería entonces ortogona a todas as funciones φ n (x) = 2/ cos nπx de conjunto. En ta caso, este conjunto no sería competo y no serviría como base para representar funciones mediante sus series de Fourier. Consideremos una función g con coeficientes de Fourier d n. Entonces, c n d n son os coeficientes de Fourier de a función diferencia f g. De a identidad de Parseva se deduce que a única posibiidad de que sea c n = d n para todo n = 1, 2... es que f(x) = g(x) para todo x [, ]. Este es un resutado importante porque nos dice que os coeficientes de Fourier identifican competamente a función. De este modo, tenemos una forma de caracterizar una función mediante una sucesión de números que son únicos y que son sus componentes en una base ortornorma de funciones. Tenemos a certeza de que a serie de Fourier es a mejor representación de a función en media cuadrática en e dominio [, ]. En os probemas con ecuaciones en derivadas parciaes que hemos resueto en os apartados anteriores y en os que resoveremos más adeante, esta será a forma habitua de caracterizar as funciones. 4 Probema paráboico más genera Los tres probemas considerados en os Apartados 2.1, 2.3 y 2.4 son casos particuares de un probema parabóico más genera donde, como veremos a continuación, se repite a estructura de a soución en forma de una serie basada en un conjunto de autofunciones y unos coeficientes que corresponden a desarroo de a condición inicia en serie de Fourier. Consideremos e siguiente probema parabóico: (a) p(x)u t [a(x)u x ] x + c(x)u =, x [, ], t > ; (b1) U 1 (u) =, t > ; (b2) U 2 (u) =, t > ; (c) u(x, ) = f(x), x [, ]. (76) Aquí U 1 and U 2 representan condiciones de contorno en os extremos. En principio consideraremos que dichas condiciones tienen a siguiente forma: U 1 (u) = a 1 u(, t) + a 2 u x (, t) =, t > ; (77) U 2 (u) = b 1 u(, t) + b 2 u x (, t) =, t >. Las constantes a 1, a 2 son números reaes que no son cero simutáneamente y o mismo ocurre con as constantes b 1, b 2. Es decir, a 1 + a 2 >, y b 1 + b 2 >.

24 Separación de variabes 24 Cuando ninguno de estos coeficientes es cero, as expresiones anteriores definen as condiciones de Robin. Si tenemos a 2 = b 2 = quedan as condiciones de Dirichet U 1 (u) = u(, t) = y U 2 (u) = u(, t) =. E caso a 1 = b 1 = corresponde a as condiciones de Neumann U 1 (u) = u x (, t) = y U 2 (u) = u x (, t) =. Anuándose uno de os coeficientes en U 1 y/o uno de os de U 2 quedan unas condiciones mixtas, es decir de un tipo en un extremo y de otro tipo en e otro extremo de dominio. En definitiva, as expresiones en (77) definen de forma genérica un ampio espectro de condiciones de contorno de as que aparecen más habituamente en a práctica: U 1 representa una condición en e extremo x = y U 2 representa otra en e extremo x =. Las condiciones de esta forma se denominan condiciones de contorno de tipo Sturm Liouvie. Podemos considerar también que as condiciones de contorno son periódicas, en cuyo caso U 1 y U 2 tienen a forma U 1 (u) = u(, t) u(, t) =, t > ; (78) U 2 (u) = a()u x (, t) a()u x (, t) =, t >. 4.1 Separación de variabes Para cuaquiera de as condiciones de contorno definidas en (77) y (78), consideremos a soución de probema (76) en a forma u(x, t) = X (x)t (t). Sustituyendo ésta en a ecuación (a) de probema, resuta px T [ax ] T + cx T =. Dividiendo por X T (suponiendo que e producto no es nuo) se obtiene T T = [ax ] px + c p = λ, donde λ es una constante. De aquí, como en os casos de os apartados anteriores, se obtienen dos ecuaciones en variabes separadas de a forma T + λt = ; [ax ] + cx = λpx. (79) La ecuación para a función X se conoce como a ecuación diferencia de Sturm-Liouvie. Sustituyendo u = X T en as condiciones de contorno (b1) de (76), se observa que [ ] U 1 [X (x)t (t)] = U 1 [X (x)] T (t) =, t >, y o mismo para as condiciones (b2). De aquí resuta que U 1 [X (x)] = U 2 [X (x)] =. Agrupando o obtenido para a función X, tenemos e siguiente probema: [a(x)x (x)] + c(x)x (x) = λ p(x)x (x), x (, ); U 1 [X (x)] = ; U 2 [X (x)] =. (8)

25 Separación de variabes 25 Resover este probema requiere determinar os vaores de λ para os cuaes existen funciones X no triviaes que satisfagan a ecuación diferencia y as condiciones de contorno. Los vaores de λ se denominan autovaores y as funciones correspondientes se conocen como autofunciones. Bajo ciertas condiciones sobre as funciones p, a, c, podemos dar agunas propiedades generaes sobre os autovaores y as autofunciones. Para eo, vamos a considerar primero e denominado probema reguar de Sturm-Liouvie, que corresponde a as condiciones de contorno (77). Posteriormente veremos e probema periódico asociado a as condiciones (78). 4.2 Probema reguar de Sturm-Liouvie Consideremos e probema (76) con as condiciones de contorno (77). Supongamos que p, su derivada p, a y c, así como f son funciones continuas en e intervao [, ]. Supongamos también que a(x) > y p(x) > para todo x [, ]. Con estas hipótesis, e probema (76) - (77) se caifica como reguar y e probema (8) se conoce como probema reguar de Sturm-Liouvie. Puede demostrarse que a soución de este probema satisface as siguientes propiedades: 1. Todos os autovaores son reaes y existe un número infinito de eos. 2. Los autovaores forman una sucesión {λ n },2,... con as siguientes características: (a) {λ n } es creciente a partir de un vaor mínimo: (b) 1 λ 2 n <, y por tanto im n λ n =. λ 1 < λ 2 < < λ n < λ n+1 <. 3. Para cada autovaor λ n existe una autofunción X n que es única savo una constante mutipicativa. Es decir, dada una autofunción X n, también o es C n X n, siendo C n una constante cuaquiera. La autofunción X n tiene n 1 ceros en e intervao abierto (, ). 4. La autofunción X n tiene n 1 ceros en e intervao (, ). 5. Las autofunciones asociadas a diferentes autovaores son ortogonaes con respecto a a función peso p, es decir < X n, X m >= X n (x)x m (x)p(x)dx = si n m. E hecho de poder mutipicaras por una constante arbitraria otorga un grado de ibertad en a definición de as autofunciones. Esta ibertad puede usarse para normaizar as autofunciones, expresándoas todas con norma unidad. En efecto, dada una autofunción X n, podemos cacuar su norma en a forma X n = < X n, X m >.

26 Separación de variabes 26 Es inmediato comprobar que a nueva autofunción 1 X n X n(x) tiene norma unidad. De esta forma se tiene un conjunto ortonorma de autofunciones. En a práctica es habitua trabajar con as autofunciones ortonormaes. 6. Las autofunciones {X n } (as consideramos normaizadas) forman un conjunto competo o base ortonorma en e conjunto de funciones continuas a trozos en e intervao [, ]. Esto permite representar cuaquier función f de este conjunto mediante su serie de Fourier f(x) c n X n (x); c n = f, X n. (81) en e sentido de a convergencia en media cuadrática visto en os Apartados 3.5, 3.6 y 3.7. Los probemas de autovaores (4) y (19) encontrados respectivamente a resover os probemas (1) y (18) de a ecuación de caor en una barra son casos particuares de probema reguar de Sturm-Liouvie (76) - (77) en e intervao [, ]. En e caso de probema (1), os autovaores y as autofunciones son λ n = k p n 2 π 2 2 y X n (x) = 2 p nπx sin, n = 1, 2,.... En e caso de probema (18), se tienen 1 λ = ; X (x) = p λ n = k p n 2 π 2 2 ; X n (x) = 2 nπx cos p para n = 1, 2,... En este útimo caso, as sucesiones de autovaores y autofunciones se enumeran a partir de índice por conveniencia. Podemos ver que en ambos casos se satisfacen as propiedades anteriores. En efecto os autovaores crecen indefinidamente a partir de un vaor mínimo y existe una única autofunción para cada uno de os autovaores. Vemos que X y as dos funciones de a forma X 1 no tienen ceros en e intervao abierto (, ), mientras que as de a forma X 2 tienen un cero y, sucesivamente, as funciones X n tienen n 1 ceros en (, ). Por útimo, os conjuntos de autofunciones anteriores son bases ortornormaes en C s (I). 4.3 Probema periódico Sea ahora e probema (76) con as condiciones de contorno periódicas (78). Supongamos as mismas condiciones de reguaridad de probema anterior en e Apartado 4.2. Es decir, que