3. Fases de dispersión en potenciales sencillos.

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Fases de dispersión en potenciales sencillos. [Ros XVI.4, Ynd 1.5,7] Motivación Ahora estudiaremos varios potenciales sencillos para analizar en más detalle las propiedades de las fases de dispersión y las correspondientes secciones eficaces. En todos los casos se tratará de potenciales de soporte compacto, de manera que se espera que las propiedades genéricas discutidas anteriormente. Además, se estudiará la dispersión en un potencial coulombiano, para comprender mejor la física asociada a la condición de corto alcance del potencial. Esfera impenetrable Comenzaremos con un potencial de la forma V (r) = {, r < r0, 0, r > r 0, (3.1) que da lugar a dos ecuaciones diferentes para la función de onda radial dentro (r < r 0 u < El (r)) y fuera (r > r 0 u > El (r)) de la esfera, con u < El (r) = 0 [, ] r < r 0, u > El (r) + k l(l+1) u > r El (r) = 0, r > r 0, (3.) E = k m. (3.3) Como sabemos, la solución general para la ecuación en r > r 0 es una combinación de funciones esféricas de Bessel u > El (r) = r [A lj l (kr) + B l y l (kr)], (3.4) en la que las constantes de integración A l, B l estarán determinadas por condiciones de contorno. Antes de imponerlas, es útil reescribir A l, B l en términos de los defasajes δ l ; para ello basta usar la forma asintótica de j l, y l, u > El (r) r r [ sin(kr l A π ) cos(kr l l B π ) l kr kr ], (3.5)

2 3- Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena e igualarla a la convención u > El (r) e iδ l(k) r k sin[kr + δ l (k) l π ], (3.6) lo que inmediatamente da lugar a A l = e iδ l(k) cos δ l (k), B l = e iδ l(k) sin δ l (k), i.e. u > El (r) = reiδ l(k) [j l (kr) cos δ l (k) y l (kr) sin δ l (k)]. (3.7) Nótese que al imponer la forma asintótica ya hemos fijado la normalización de la función de onda (que es arbitraria), lo que ha eliminado una de las constantes de integración. Para determinar δ l (k) basta imponer la continuidad de la función de onda en r = r 0, u > El (r 0) = u < El (r 0) = 0 tan δ l (k) = j l(kr 0 ) y l (kr 0 ). (3.8) Este es un resultado completo que permite construir los observables de dispersión para cualquier valor de la energía y en cualquier canal de momento angular. Por ejemplo, en el canal en onda S tan δ 0 (k) = j 0(kr 0 ) y 0 (kr 0 ) = tan kr 0 σ l=0 (k) = 4π k sin δ 0 (k) = 4πr0 1 tan kr 0 (kr 0 ) 1 + tan. kr 0 (3.9) Algunas características del resultado son: Como esperábamos, la escala característica del potencial r 0 se convierte en la escala física relevante en los observables: el valor natural de la sección eficaz total es 4πr0, y la variable número de ondas aparece medida en unidades de r0 1 (cf. la dependencia en kr 0 = me r 0 ). En el régimen de bajas energías kr 0 1 se obtiene la forma prevista de las fases de dispersión, δ l (k) (kr 0 ) l+1. Para comprobarlo basta desarrollar j l, y l en serie de Taylor al orden dominante: δ l (k) tan δ l(k) = j l(kr 0 ) δl 1 y l (kr 0 ) kr 0 1 (kr 0 ) l+1 (l 1)!!(l + 1)!! + O((kr 0) l+3 ). (3.10)

3 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 3-3 En consecuencia, el régimen de baja energía está dominado por el canal en onda S. El signo del resultado para δ l en kr 0 1 apenas obtenido es negativo, como esperábamos debido al carácter repulsivo del potencial. Existen puntos en los que la sección eficaz σ 0 se anula. Estos corresponden a valores de la energía en los que sin δ 0 (k) = 0, i.e. la fase de dispersión toma los valores 0 o π. A dichas energías no hay dispersión, ya que o bien el haz no es afectado por el potencial (δ 0 = 0), o bien hay una interferencia destructiva entre haz incidente y dispersado (δ 0 = π). En el régimen de alta energía kr 0 1 no emerge ningún comportamiento característico simple, ya que en z las funciones j l (z), y l (z) tienen un comportamiento oscilatorio. Es fácil comprobar, por otra parte (cf. el resultado expícito para σ 0 ), que la sección eficaz genéricamente disminuye para valores grandes de la energía, haciéndose arbitrariamente pequeña. Esto es intuitivamente razonable: a medida que crece la energía del proyectil, la interacción se hace cada vez menos relevante y tiene menor capacidad para desviar su trayectoria. 1 Barrera esférica finita Consideremos ahora la versión finita del potencial anterior, V (r) = { V0, r < r 0, 0, r > r 0, (3.1) con V 0 > 0. Las ecuaciones dentro y fuera de la región ocupada por el potencial son [ ] u < El (r) + ηξ l(l+1) u < r El (r) = 0, r < r 0, [ ] u > El (r) + k l(l+1) u > r El (r) = 0, r > r (3.13) 0, con me m E V0 k =, ξ =, η = signo(e V 0 ). (3.14) 1 El caso específico de la esfera impenetrable es algo innatural a este respecto, porque la cantidad de energía potencial contenida en una región infinita diverge. De hecho, se puede ver que si se resuman todos los canales de momento angular se obtiene (cf. el libro de Morse y Feschbach) " # dσ dω r0 1 + J 1 (kr 0 sin θ) σ(k) kr 0 4 tan θ kr 0 πr 0. (3.11)

4 3-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Por simplicidad, nos concentraremos en el canal en onda S. Evidentemente, el comportamiento es cualitativamente diferente dependiendo de si E > V 0 o 0 < E < V 0 : en el primer caso, la solución para r < r 0 es oscilatoria, y en el segundo tiene un comportamiento exponencial: u < E0 (r) = A(k)eiξr + B(k)e iξr, E > V 0, u < E0 (r) = A(k)e ξr + B(k)e ξr, E < V 0. (3.15) Por otra parte, la solución para r > r 0 es siempre oscilatoria, y requiriendo que tenga la forma asintótica prevista por la condición de radiación de Sommerfeld la podemos escribir como u > E0 (r) = C(k) sin[kr + δ 0(k)]. (3.16) Nótese que ahora, a diferencia de lo que hicimos para el potencial de esfera impenetrable, no imponemos el valor de la normalización C(k), para demostrar expícitamente que el mismo no tiene ningún papel en el resultado para δ 0. Por lo tanto, la solución depende de un total de cuatro constantes de integración A(k), B(k), C(k), δ 0 (k), que serán fijadas por las condiciones de contorno. Impondremos sólo tres, (i) Función de onda finita en el origen u E0 (0) = 0. (ii) Continuidad de la función de onda en r = r 0. (iii) Continuidad de la derivada de la función de onda en r = r 0. Para simplificar factores globales y ahorrar álgebra, lo que de hecho impondremos es la continuidad de la derivada logarítmica u (r)/u(r), que es una condición equivalente dada la continuidad de u. (Las dos últimas aseguran que la interpretación probabilística sea bien comportada en la discontinuidad del potencial.) Esto dejará sólo una constante de integración libre, que corresponde esencialmente a la normalización global de la función de onda y es irrelevante para los observables físicos. Las consecuencias de las condiciones de contorno son E > V 0 : (i) u < E0 (0) = 0 A(k) = B(k) u< E0 (r) = ia(k) sin ξr ; (ii) u < = u > ia(k) sin ξr 0 = C sin[kr 0 + δ 0 (k)] ; (iii) u < u < = u> u > ξ cot ξr 0 = k cot[kr 0 + δ 0 (k)]. (3.17)

5 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 3-5 En particular, la última condición, que reescribiremos ξr 0 cot ξr 0 = kr 0 cot[kr 0 + δ 0 (k)], (3.18) es una ecuación impícita para la fase de dispersión δ 0, y determina completamente la misma en términos de las cantidades sin dimensiones kr 0 y ξr 0, ambas dependientes sólo de la energía E y los parámetros V 0, r 0 del potencial. 0 < E < V 0 : (i) u < E0 (0) = 0 A(k) = B(k) u< E0 (r) = A(k) sinh ξr ; (ii) u < = u > A(k) sinh ξr 0 = C sin[kr 0 + δ 0 (k)] ; (iii) u < u < = u> u > ξ coth ξr 0 = k cot[kr 0 + δ 0 (k)]. (3.19) De nuevo, la última condición ξr 0 coth ξr 0 = kr 0 cot[kr 0 + δ 0 (k)] (3.0) es una ecuación impícita para la fase de dispersión δ 0, y determina completamente la misma en términos de las cantidades sin dimensiones kr 0 y ξr 0, ambas dependientes sólo de la energía E y los parámetros V 0, r 0 del potencial. Utilizando las series de Taylor para las funciones trigonométricas, es fácil comprobar que el comportamiento de δ 0 a baja energía es el previsto: δ 0 < 0 (potencial repulsivo) y δ 0 kr 0 : ξr 0 kr 0 cot[kr 0 + δ 0 (k)] kr0 1 kr0 1 mv0 r 0 kr 0 kr 0 +δ 0 (k) δ 0(k) = (cte. < 0) kr 0. (3.1) Pozo esférico Este es el primer potencial atractivo que estudiamos, { V0, r < r V (r) = 0, (V 0 > 0) 0, r > r 0. (3.) y permite ilustrar muchas de las propiedades dinámicas no triviales asociadas a los procesos de dispersión. En particular, en este caso pueden aparecer estados ligados

6 3-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena dentro del pozo, de manera que (potencialmente) tenemos tanto un espectro de estados ligados como un espectro de estados de scattering. La distinción entre los dos la establece el valor del potencial en el infinito, en este caso V = 0: espectro ligado (discreto) espectro dispersión (continuo) E =0 E Para comprender mejor cómo surgen estas propiedades, resolveremos la ecuación de Schrödinger radial tanto para E < 0 como para E > 0, concentrándonos de nuevo, por simplicidad, en el canal en onda S. Espectro ligado En el caso familiar del espectro ligado E < 0, la ecuación de Schrödinger radial tiene la forma u < u > E0 (r) + ζ u < E0 (r) = 0, r < r 0, E0 (r) k u > E0 (r) = 0, r > r 0. (3.3) con (n.b. que E < V 0 necesariamente) k = m E, ζ = m(v0 E ). (3.4) Por lo tanto la solución tiene la forma general u < E0 (r) = A< (k)e iζr + B < (k)e iζr, r < r 0, u > E0 (r) = A> (k)e kr + B > (k)e kr, r > r 0. (3.5) La normalizabilidad de la función de onda inmediatamente implica B > (k) = 0. Además, igual que en el caso anterior, la solución debe satisfacer tres condiciones de contorno: regularidad en el origen y continuidad de la función de onda y de su derivada en r = r 0. Las consecuencias son (i) u < E0 (0) = 0 A< (k) = B < (k) u < E0 (r) = ia< (k) sin ζr ; (ii) u < = u > ia(k) sin ζr 0 = A > (k)e kr 0 ; (iii) u < u < = u> u > ζr 0 cot ζr 0 = kr 0. (3.6)

7 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 3-7 La condición (ii) fija la normalización relativa de la función de onda (i.e., dado un valor de e.g. A < fija el de A > ), mientras que (iii) es una condición de cuantización: en efecto, si se estudia la forma de la ecuación, y se tiene en cuenta la ligadura (kr 0 ) + (ζr 0 ) = mv 0r0 (3.7) que permite expresar ζ como función de k, se verá que la condición se satisface para un número finito de valores discretos de la misma, correspondientes a los puntos de intersección de la curva ζr 0 cot ζr 0 + kr 0 como función de kr 0 con el eje de las abscisas. Por ejemplo, esto es lo que ocurre, respectivamente, para mv 0r0 = 100 y mv 0 r0 = 1: kr 0 Ζr 0 cotζr 0 kr 0 Ζr 0 cotζr En cada gráfico, se ha considerado kr 0 mv 0r0, ya que un valor mayor violaría la condición E V 0. En el primer caso hay tres intersecciones, i.e. tres estados ligados; en el segundo no hay ninguno. Es fácil ver que la condición necesaria y suficiente para que exista el menos un estado ligado es mv 0 r0 π 4, (3.8) lo que debemos interpretar como una condición sobre la profundidad y el radio del pozo necesarios para que una partícula de masa dada sea atrapada por el mismo. Espectro de dispersión Ahora E > 0, y la función de onda radial satisface u < E0 (r) + ξ u < E0 (r) = 0, r < r 0, u > E0 (r) + k u > E0 (r) = 0, r > r (3.9) 0. con m E m(v0 + E) k =, ζ =. (3.30)

8 3-8 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena La solución es oscilatoria en todas partes, u < E0 (r) = A< (k)e iξr + B < (k)e iξr, r < r 0, u > E0 (r) = C(k) sin[kr + δ 0(k)], r > r 0, (3.31) donde ya hemos escrito la solución en r > r 0 de forma consistente con la condición de Sommerfeld (que sustituye la condición de normalizabilidad de la función de onda que aparecía en el caso E < 0). Las condiciones de contorno son las mismas; en particular, una vez exigido u < E0 (0) = 0 la continuidad de la derivada logarítmica implica kr 0 cot[kr 0 + δ 0 (k)] = ξr 0 cot ξr 0, (3.3) que es la condición que fija el valor de δ 0 (k). Nótese que esta expresión tiene una solución δ 0 (k) para cualquier valor de k, a diferencia de la condición que determinaba la energía de los estados ligados. Esto se debe a que en el problema de dispersión hay un grado de libertad más (cuatro constantes de integración respecto a tres, una vez que se impone el comportamiento de la función de onda en el infinito), lo que a su vez implica que los valores posibles de la energía no están constreñidos. Lo mismo se aplica a la ligadura que relaciona k y ξ: ahora en lugar de una circunferencia es una hipérbola (ξr 0 ) (kr 0 ) = mv 0r 0, (3.33) y ambas variables pueden tomar cualquier valor. Partiendo del resultado (3.3), se dejará como ejercicio comprobar que se obtiene el comportamiento a baja energía correcto, y que, en particular, en este caso el signo de δ 0 es positivo, como corresponde a un potencial atractivo. Más adelante se estudiará el caso interesante en que uno de los estados ligados tiene una energía E 0, y qué implicaciones tiene esto para los observables de dispersión. Potencial coulombiano Por último, estudiaremos la dispersión en un potencial coulombiano. Este es un ejemplo muy interesante, ya que por una parte es un caso de gran interés físico, pero por otra el potencial V (r) = α/r no satisface la condición de corto alcance rv (r) 0, r. La solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial coulombiano y E < 0 el átomo de hidrógeno, para α < 0 es bien conocida. Para estudiar la dispersión, es necesario en primer lugar obtener la solución de la ecuación para E > 0. Este es un cálculo relativamente farragoso, que se resume en el apéndice. El resultado que nos interesa es que para r la forma de la función de onda en el

9 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 3-9 sistema de referencia habitual k z, donde k es el número de onda de la onda plana incidente, es ψ E (r) exp {ikr cos θ + iβk [ ln kr sin θ ]} + f C(k, θ) exp {ikr iβk } r r ln(kr), (3.34) donde k := me, β := αm, (3.35) y f C (k, θ) es una función conocida. Esta función de onda no tiene la forma de la condición de Sommerfeld ψ(r) exp {ikr cos θ} + r f(k, θ) r exp {ikr}, (3.36) sino que presenta factores logarítmicos adicionales en los argumentos de las exponenciales. Por lo tanto, no es trivial interpretar la solución del problema en términos de observables de dispersión, ya que no se puede reducir la función de onda a una interpretación en términos de partículas libres (ondas plana entrante y onda esférica saliente) lejos del centro del potencial. Además, se puede ver que si se proyecta a ondas parciales la expresión para f, las fases de dispersión resultantes desarrollan una dependencia espacial a través de contribuciones ln kr que divergen en r. Estas correcciones logarítmicas son una propiedad profunda de la interacción coulombiana, como se puede comprender en el contexto de la electrodinámica cuántica relativista. Por otra parte, si se insiste en interpretar f C como una amplitud de dispersión y se aplica ciegamente la fórmula que la conecta con la sección eficaz diferencial, usando la forma citada en el apéndice se obtiene inmediatamente dσ ( α ) 1 dω = f C(k, θ) = 4E sin 4 θ, (3.37) que coincide con el resultado clásico, y se puede justificar como correcta con un estudio más elaborado del problema (!!!).

10 3-10 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Apéndice: solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria para un potencial coulombiano con E > 0 Utilizando las definiciones (3.35), la ecuación de Schrödinger para un potencial coulombiano con E > 0 se puede escribir como [ + k β ] ψ E (r) = 0. (3.38) r Para resolver la ecuación conviene pasar a coordenadas parabólicas ξ := r z, η := r + z ; n.b. r z = r sin θ. (3.39) Llamando u := ξ y sustituyendo en la ecuación un ansatz de la forma ψ(r) = Ae ik(η ξ )/ φ(ξ ) (3.40) se obtiene para φ la ecuación ] [u d d + (1 iku) du du β φ(u) = 0. (3.41) La solución regular en r = 0 de esta ecuación está dada por la función hipergeométrica confluyente φ(u) = A 1 F 1 ( iβ/k; 1; iku), A := Γ(1 + iβ/k)e πβ k. (3.4) Finalmente, usando la propiedad asintótica 1F 1 (a; c; z) z Γ(c) Γ(c a) e±iπa z a + e z a c Γ(c) a Γ(a) (3.43) (donde el signo en e ±iπa depende del argumento de z, y es + para z = iku), se obtiene el comportamiento (3.34), con 1 f C (k, θ) = k sin θ exp {iσ C (k) iβk ( ln sin θ )}, (3.44) σ C (k) = arg {Γ(1 + iβ/k)}.