Capítulo Introducción a los Sistemas Con nados Breve recuento histórico

Transcripción

1 Capítulo Introducción a los Sistemas Con nados En los cursos de mecánica cuántica se estudian problemas estacionarios (descritos con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo) en los que no se restringe el tamaño del sistema físico. En ellos, la condición de frontera que deben cumplir las eigenfunciones n es que lim r!1 n = 0: Dos casos distintos son la partícula encerrada en una caja, de dos o tres dimensiones; y también, el de la partícula encerrada en una esfera. Estos son sistemas con nados. En general, cuando en lugar de tomar el límite al in nito se imponen condiciones de frontera a distancias nitas, se obtienen sistemas con nados. Esto da lugar a cambios tanto en las funciones de onda como en el espectro de energías del sistema Breve recuento histórico Los primeros en estudiar estos tipos de sistemas fueron A. Michel, J. de Boer y A. Bijl, quienes en 1937 estudiaron al átomo de hidrógeno con nado en una esfera, con la intención de simular los efectos de la presión sobre un átomo (ver [2]). En la literatura también se encuentra que A. Sommerfeld y H. Walker estudiaron el estado base del átomo de hidrógeno, obteniendo la dependencia de la energía de ligadura (binding energy) del estado base en función del radio, r 0, de una esfera con nante con paredes impenetrables. Obtuvieron un desarrollo en serie para el estado físico con número cuántico del momento angular, l = 0, y demostraron que conforme r 0 disminuye, la energía de ligadura también decrece, hasta alcanzar un radio crítico en el que la energía de ligadura se hace cero. Ellos encontraron que ese radio crítico es r c = 1:835 unidades atómicas (ver Apéndice C y referencia [3]). En 1995, J. L. Marín, R. Rosas y A. Uribe, usan el método variacional para calcular el estado base de energía del átomo de hidrógeno con nado dentro de paredes esféricas duras y super cies cilíndricas para el caso en el que el núcleo del átomo se encuentra fuera del centro de simetría de las fronteras con nantes. Comparan sus resultados con otros alcanzados por métodos más so sticados y encuentran que los valores obtenidos por ellos son buenos (ver [4]). En esta tesis los sistemas con nados serán utilizados para estudiar los casos de la partícula con nada, el átomo de hidrógeno (H), y el ión molecular de hidrógeno H

2 1.2 Coordenadas esferoidales prolatas jlas coordenadas esferoidales prolatas permiten especi car un punto en el espacio tridimensional por medio de la intersección de tres super cies. Se trata de un sistema tridimensional ortogonal que resulta de rotar una elipse alrededor de su eje mayor, que es el eje en donde se localizan sus focos. Hay una simetría en torno a este eje, que tomamos como el eje z. Tomando al eje z en coordenadas cartesianas como el eje mayor, las ecuaciones de transformación son: donde 2a es la separación entre sus dos focos. x = a sinh u sin v cos ' y = a sinh u sin v sin ' z = a cosh u cos v La excentricidad de la elipse que resulta de la intersección del esferoide prolato con un plano cualquiera que contiene al eje de simetría (eje Z) está dada por la siguiente expresión: e = 1 0, en donde 0 es el inverso de la excentricidad. Son tres variables, y tomando una de ellas constante se generan las siguientes super cies: 1. Un esferoide prolato, con u = constante, 0 u < 1; y con v y ' variables: Figura 1. Esferoide Prolato. 2. Un hiperboloide, con v = constante, 0 v < ; y u y ' variables: 4

3 Figura 2. Hiperboloide. 3. Un semiplano que tiene su canto en el eje z, con ' = constante, 0 ' < 2; donde u y v son variables: Figura 3. Plano en Coordenadas Prolatas. El punto especi cado por las coordenadas esferoidales prolatas se encuentra en la intersección de las 3 super cies: 5

4 Figura 4. Intersección de Super cies. Para facilitar la aplicación del sistema de coordenadas esferoidales prolatas hacemos el cambio de variables = cosh u; 1 < 1 = cos v; 1 < 1 ' = '; 0 ' < 2 Para un valor dado de > 1, con y ' variando sobre sus respectivos intervalos de de nición, resulta un elipsoide que degenera en una línea para el caso particular = 1. El volumen del esferoide está dado por la siguiente expresión: V = 4 3 a Cuando crece los elipsoides se van alejando de la línea = 1, lo cual se asemeja al cambio de la variable r para obtener esferas concéntricas en coordenadas esféricas. Por esa razón Anjana Bagga y colaboradores le llaman coordenada radial a. Así mismo, para cada valor jo de, con y ' variando sobre sus respectivos intervalos de de nición, resulta una super cie como la de la Figura 2. Cuando cambia de su valor máximo al mínimo, las super cies correspondientes van tomando 6

5 formas cada vez más abiertas, de modo que van cubriendo el espacio conforme el ángulo crece desde 0 hasta. Por eso, Anjana-Bagga y colaboradores le llaman a coordenada angular. En esta tesis se adopta la terminología de ellos. En estas coordenadas el laplaciano es r 2 = 1 a 2 ( 2 ( 2 + ( 2 ( ( 2 1)(1 2 2 Las coordenadas esferoidales prolatas son muy útiles en física ya que nos permiten tratar problemas de dos centros, como es el caso del ión molecular de hidrógeno, o de uno como el átomo de hidrógeno, además de la partícula en la caja esferoidal. 1.3 El método variacional En mecánica cuántica se utilizan diversos métodos para resolver en forma aproximada la ecuación de Schrödinger y conocer la función de onda, o el espectro de energía, o ambos. Uno de ellos es el método variacional, que puede ser utilizado para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones de eigenvalores, como en el caso siguiente, en el que H es el Hamiltoniano que actúa sobre la función de onda en la forma H = E : (1) Se parte del Teorema Variacional, que considera el valor esperado del hamiltoniano calculado con cualquier función de onda de prueba que cumpla con las condiciones de frontera del sistema físico. Ésta contiene al menos un parámetro libre cuyo valor es determinado después y en general se llaman parámetros variacionales. El valor esperado es siempre mayor o igual que la energía del estado base. Matemáticamente h jhj i E 0 donde E 0 es la energía exacta del estado base. La ecuación de valores propios del hamiltoniano H tiene la forma H j = E j j, con E j representando sus eigenenergías, y j sus eigenfunciones. Cuando se utiliza un parámetro, el valor esperado proporciona una función dependiente de dicho parámetro y que al ser gra cada representa una curva en un plano. El mínimo de esta curva señala cuál es la cota superior más cercana al valor correcto de E 0 : Al usarse dos parámetros, el valor esperado es una función que representa a una super cie, y así sucesivamente. El principio 7

6 geométrico es el mismo. Se proporciona una forma de obtener una cota superior para los valores exactos que tomarían los eigenvalores. La idea consiste en partir de una función normalizada 1, y del principio variacional resulta que E cs = h 1 j H j 1 i E 0 (2) en donde E cs es la cota superior de la energía y E 0 es el eigenvalor mas bajo de todas las fe j g. El procedimiento es como sigue. Se escoge una función de prueba 1 = 1 (~r; ; ; ; :::) donde ~r, es el vector de posición, y ; ; ; ::: son los parámetros variacionales que serán introducidos en la función. Se calcula el valor esperado hh (; ; ; :::)i = h 1 (~r; ; ; ; :::)j H j 1 (~r; ; ; ; :::)i (3) Se calcula el gradiente del valor esperado y se iguala a cero, es decir, se minimiza el valor ; ::: = 0; (4) de donde resultan un número de ecuaciones algebraicas igual al número de parámetros utilizados. Estas ecuaciones están acopladas y con frecuencia se necesitan métodos numéricos para resolverlas. Así se obtienen los valores min, min ; min ; ::: que son los valores para los cuales el valor esperado hh (; ; ; :::)i alcanza su valor mínimo. Para encontrar la cota superior dada en (2) se sustituyen min, min ; min ; ::: en hh (; ; ; :::)i y se obtiene E cs. En este contexto, uno considera a 1 como una función de prueba, que puede contener varios parámetros variacionales y minimizar así el valor de h 1 j H j 1 i con respecto a ellos. La práctica enseña que al incrementar el número de parámetros variacionales se incrementa la precisión del resultado. Un método alternativo es la posible inserción de una combinación lineal de un conjunto completo de funciones ortonormales 1X = a i i i=1 con i j j = i; j, y en donde los coe cientes a i forman un conjunto de parámetros variacionales lineales. Usando la expresión anterior, el principio variacional lleva a un conjunto in nito de ecuaciones para las valores a i, cuyas soluciones son obtenidas al diagonalizar la matriz in nita que resulta de la expresión H ij = h i j H j Debido a que la matriz es in nita, en la práctica el procedimiento consiste en cortarla, para expre- 8

7 sarla como una matriz de n n mediante un conjunto de n funciones prueba 1 ; 2 ; 3 ; :::; n. Al diagonalizar H ij resulta una matriz de n n cuya diagonal son los eigenvalores E 1 ; E 2 ; E 3 ; :::E n. Ver por ejemplo [6]. J. Flores y P. A. Mello [14] encontraron una prueba grá ca de que el método variacional de Rayleigh- Ritz permite obtener simultáneamente las cotas superiores de los n eigenvalores más bajos del operador hermitiano H, tal que si se añade otra función prueba n+1 y se diagonaliza la matriz cuadrada correspondiente de (n + 1) (n + 1), se obtienen los eigenvalores " 1 ; " 2 ; " 3 ; :::; " n+1, donde se cumple que " 1 E 1 " 2 E 2 " 3 E 3 ::: " n E n+1 En 1976 C. A. Kocher utilizó el método variacional para encontrar condiciones en las cuales un sistema cuántico puede tener estados ligados [15]. En 1976 Srivastava y Bhaduri demostraron que usando funciones de prueba con dos parámetros se obtienen los estados base de átomos de helio con mejor precisión que los enfoques variacionales con un solo parámetro dados en los textos [16]. En 1991 Marín y Cruz usaron el método variacional para estudiar el átomo de hidrógeno y el oscilador armónico con nado dentro de cajas esféricas con paredes impenetrables [17]. En 1995 Marín, Rosas y Uribe usaron este método para calcular el estado base de energía de un átomo de hidrógeno con nado dentro de una super cie cilíndrica impenetrable [4]. En este trabajo utilizaremos su forma más simple para calcular el estado base de los siguientes sistemas físicos con nados en cajas esferoidales prolatas: átomo de hidrógeno y ión molecular de hidrógeno H