tomamos un punto M(a; b; c) perteneciente a la directriz, el cual deberá satisfacer la expresión de la misma F (a; b; c) = 0 G(a; b; c) = 0
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- Xavier Duarte Morales
- hace 5 años
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1 1 Super cies 1.1 Super cie Cónica ada una curva plana o alabeada,(irectriz) un punto jo (VËRTICE), se denomina Super cie Cónica a la constituída por las rectas que cada uno de los in nitos puntos de la directriz determina con el vértice. adas la directriz () el vértice (V ) V (l; m; n) F (; ; z) = G(; ; z) = M V tomamos un punto M(a; b; c) perteneciente a la directriz, el cual deberá satisfacer la epresión de la misma F (a; b; c) = G(a; b; c) = ahora determinaremos la recta que dicho punto determina con el vértice V (l; m; n) a l a = b m b = z c n c nalmente la epresión de la super ce quedará determinada en función de estas dos epresiones a que cualquier terna deberá cumplir ambas simultaneamente ( pertenecer a la directriz a la recta que determina con el vértice) 8 F (a; b; c) = >< Sup Cónica G(a; b; c) = >: a l a = b m b = z c n c 1
2 1.1.1 Ejemplo: eterminar la ecuación de la Sup. Cónica dada la directriz el vértice. + = 9 V (; ; ) z = 6 ahora bien, tomemos un punto P ( ; ; z ) que pertenezca a la directriz + = 9 z = 6 sabemos que z = 6 (1) determinará la recta = = z z luego = = z 6, nalmente = 6 z = 6 z la 8 epresión completa quedará >< + = 9 z = 6 >: = = z reemplazando en (1) uni cado 6 36 z + 36 z = 9, nalmente z = z 8 6
3 V M 1. Super cie Cilíndrica ada una curva plana o alabeada,(irectriz) un vector, se denomina Super cie Cilíndrica a la constituída por las rectas que cada uno de los in nitos puntos de la directriz determina con la dirección paralela al vector dado. adas la directriz () el vector (! V ) F (; ; z) =! V (l; m; n) G(; ; z) = tomamos un punto M(a; b; c) perteneciente a la directriz, el cual deberá satisfacer la epresión de la misma F (a; b; c) = G(a; b; c) = ahora determinaremos la recta que pasa por dicho punto tiene dirección paralela a! V (l; m; n) a l = b l = z c m nalmente la epresión de la super ce quedará determinada en función de estas dos epresiones a que cualquier terna deberá cumplir ambas simultaneamente ( pertenecer a la directriz a la recta que determina con la direción dada) 3
4 8 >< Sup Cónica >: l F (a; b; c) = G(a; b; c) = a = b m = z c n 1..1 Ejemplo: eterminar la ecuación de la Sup. Cilíndrica determinada dada la directriz un vector. + z = 9! V (; ; ) = ahora bien, tomemos un punto P ( ; ; z ) que pertenezca a la directriz + z = 9 = sabemos que = 3 = z = z (1) determinará la recta = = z z luego = = z z, nalmente la 8 epresión completa quedará ( ) >< + (z ) = 9 = >: = = z z reemplazando en (1) uni cando, nalmente + + z z =
5 z 1.3 Super cie de revolución ada una curva plana incluída en uno de los planos corordenados, se denomina Super cie de revolución generada en rotación alredededor de un eje a la constituída por las circunferencias que cada uno de los in nitos puntos de la directriz determina al girar en torno al eje dado. ada la directriz () determinando el giro alrededor del eje Z F (; ; z) = G(; ; z) = tomamos un punto M(a; b; c) perteneciente a la directriz, F (a; b; c) = G(a; b; c) = ahora determinaremos la circunferencia a que pasa por dicho punto tiene su centro en el eje Z + = a + b 5
6 Z Y X M Finalmente la epresión de la super ce quedará determinada en función de estas dos epresiones a que cualquier terna deberá cumplir ambas simultaneamente ( pertenecer a la directriz a la recta que determina con el vértice) 8 F (a; b; c) = >< G(a; b; c) = Sup Cónica >: + = a + b z = c A Ejemplo: eterminar la ecuación de la Sup. de revolución que se engendra a partr de hacer rotar la directriz dada alrededor del eje z z + 1 = = como giraremos alrededor de Z, dicha variable en la epresión no se modi- cará mientras que en Y efectuaremos el siguiente reemplazo = p + a que describirá una circunferencia en el plano XY con centro sobre el eje Z o sea p z = 6
7 1 1 z Cuádricas redondas Se llaman así a las que se obtienen a partir de la generación de una super cie de revolución.1 Paraboloide Partiendo de una parábola = z = si rotamos alrededor del eje Z ( p + ) = z + z = 7
8 z = z = si rotamos alrededor del eje = z = ( p + z ).1.1 Elipsoide + z = 1 = si rotamos alrededor del eje Z ( p + ) = ( p + ) + z = 1 nalmente + + z = 1 8
9 1 1 z Hiperboloides z = 1 si rotamos alrededor del eje Z = tendremos un..1 Hiperboloide de una hoja ( p + ) = ( p + ) z = z = 1 9
10 z Si en cambio rotamos alrededor del eje Y obtendremos un.3.1 Hiperboloide de dos hojas ( p + z ) = z ( p + z ) = 1 z = 1 1
11 z
12 . Ejercitación 1. Hallar la ecuación de la super cie cilíndrica dada la directriz las coordenadas del vector paralelo (a)! = ;! A (1; 1; 3) z = rta:9 6z + z z = z (b)! + z = 1 = ;! A (; 1; 1) rta: + z + 5 z 1 = 1
13 z (c)! = 1 z = ;! A(; ; 1) rta: z z 1 = z (d)! = 1 z = ;! A (; ; 1) rta: z + z + 1 = 13
14 z. adas las ecuaciones de la irectriz el vértice. Hallar la ecuación de la super cie cónica que ambas determnan.gra car (a)! + = ; V (; ; ) z = rta: + z = z 1
15 z (b)! = = ; V (; ; ) rta:z = z (c)! + z = 9 = ; V ( 1; 1; ) rta: z = 15
16 z z (d)! = ; V ( 1; 1; 1) = 3 rta: 7 16z 16z z 31 = z 3. Hallar la ecuación de la super cie de revolución. Gra car (a)! + z = ; alrededor del eje Z = 16
17 rta: + + z = z (b)! = 3 z = rta: 3 p + z = ; alrededor del eje X z 17
18 z (c)! = = rta: + z = ; alrededor del eje Y z (d)! z = = rta: + z = ; alrededor del eje Y 18
19 z (e)! 9 + = 36 z = rta: + z + 9 = 1 ; alrededor del eje Y z (f)! + = 6 z = rta: + z + = 6 ; alrededor del eje Y 19
20 z
21 3 Cuádricas 3.1 Elipsoide a + b + z c = 1 podemos observar que a diferencia del obtenido como Super cie de revolución los tres denominadores pueden o no ser diferentes. Si de nimos sus trazas como la intersección del mismo con los planos coordenados encontramos que : Si hacemos = (intersección con el plano ZY) b + z c = 1 Si hacemos = (intersección con el plano XZ) a + z c = 1 Si hacemos z = (intersección con el plano XY) b + a = 1 En todos los casos obtenemos elipses ejemplo + + z 3 = 1 1
22 z Haciendo 8 = < : + + z 3 = 1 = 9 = ; ) + z 3 = 1 z Haciendo =
23 8 < : + + z 3 = 1 = 9 = ; ) + z 3 = 1 z Haciendo 8 z= < : + + z 3 = 1 z = 9 = ; ) + = 1 z 3
24 3. Hiperboloides 3..1 e una Hoja a + b z c = 1 podemos observar que a diferencia del obtenido como Super cie de revolución los tres denominadores pueden o no se diferentes. Si de nimos sus trazas como la intersección del mismo con los planos coordenados encntramos que : Si hacemos = (intersección con el plano ZY) z b c = 1 Si hacemos = (intersección con el plano XZ) a z c = 1 Si hacemos z = (intersección con el plano XY) b + a = 1 En los primeros dos casos obtenemos hiérbolas pero en el tercero una elipse ejemplo + z 3 = 1
25 z Haciendo 8 = < : + z 3 = 1 = 9 = ; ) z 3 = 1 z Haciendo = 5
26 8 < : + z 3 = 1 = 9 = ; ) z 3 = 1 z Haciendo 8 z= < : + z 3 = 1 z = 9 = ; ) + = 1 z 6
27 3.. e dos Hojas z a b c = 1 podemos observar que a diferencia del obtenido como Super cie de revolución los tres denominadores pueden o no se diferentes. Si de nimos sus trazas como la intersección del mismo con los planos coordenados encontramos que : Si hacemos = (intersección con el plano ZY) z b c = 1 a vemos que no ha intersección salvo para valores a < < a para los cuales resultan elipses Si hacemos = (intersección con el plano XZ) z a c = 1 Si hacemos z = (intersección con el plano XY) a b = 1 En los restantes obtenemos hiérbolas ejemplo z 3 = 1 7
28 z Haciendo 8 = >< >: z 3 = 1 = 9 9 >= >; ) z 3 = 1 z Haciendo = 8
29 8 < : z 3 = 1 = 9 = ; ) z 3 = 1 z Haciendo 8 z= < : z 3 = 1 z = 9 = ; ) = 1 z 9
30 Paraboloides Elíptico a + b = cz Si hacemos = (intersección con el plano ZY) Obtenemos parábolas b = cz Si hacemos = (intersección con el plano XZ) Obtenemos parábolas a = zc Si hacemos z = (intersección con el plano XY) No ha intersección salvo para valores z 6= en cuo caso resultan elipses a + b = cz ejemplo + = z z 3
31 Haciendo 8 = < : + = z = 9 = ; ) = z z Haciendo 8 = < : + = z = 9 = ; ) = z 31
32 z Haciendo 8 z= < : + = z z = 1 9 = ; ) + = z 3
33 Hiperbólico a b = cz Si hacemos = (intersección con el plano ZY) Obtenemos parábolas b = cz Si hacemos = (intersección con el plano XZ) Obtenemos parábolas a = zc Si hacemos z = (intersección con el plano XY) z 6= en cuo caso resultan hipér- No ha intersección salvo para valores bolas a b = cz ejemplo = z 1 z
34 Haciendo 8 = < : = z = 9 = ; ) = z 1 1 z Haciendo 8 = < : = z = 9 = ; ) = z 3
35 1 1 z Haciendo 8 z=1 < : = z z = 1 9 = ; ) = 1 1 z
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