SISTEMA DIÉDRICO. Intersección del cono con una recta Sección del cono por un plano

Transcripción

1 SISTEMA DIÉDRICO Intersección del cono con una recta Sección del cono por un plano

2 Intersección del cono con una recta Resolvemos la intersección del cono recto apoyado en el PH con la recta r. Necesitaremos utilizar un plano auxiliar que contenga a la recta r y que corte a la superficie cónica. Según elijamos ese plano auxiliar, determinaremos una sección cónica (elipse, parábola, hipérbola, o en caso particular circunferencia); sin embargo, si ese plano auxiliar, además de contener a la recta r contiene al vértice de la superficie, entonces la sección que se producirá será de tipo triangular (puesto que el plano contendrá a dos de las generatrices del cono). Nos interesará entonces simplificar el ejercicio usando un plano de estas características, del cual necesitaremos determinar su traza horizontal (ya que el vértice del cono es un punto fijo de la sección que vamos a determinar). El plano vendrá determinado por la recta r, y por una segunda recta (en este caso la horizontal s), que pasa por el vértice y tiene un punto común P con r).

3 Si bien en este caso usamos una recta auxiliar s horizontal, cualquier otra recta que pase por el vértice y sea paralela a r, o bien tenga un punto común con r, sería igualmente válida. Determinaremos ahora la traza horizontal del plano que buscamos: esta traza pasará por Hr, traza horizontal de la recta r, y será paralela a la 1ª proyección de la recta s (por ser ésta una recta horizontal). Es innecesario en este caso la determinación de la traza vertical del plano auxiliar.

4 La traza horizontal del plano nos determinará, al cortar a la directriz de la figura, los otros dos puntos que nos permiten dibujar la sección triangular producida (recordamos que el tercer punto de esta sección es el vértice). Al ser la sección triangular coplanaria con la recta r, ya podemos precisar los puntos de entrada y salida de la recta y, por último, resolver de forma correcta la visibilidad de la intersección.

5 Sección del cono por un plano Resolvemos ahora la sección del cono recto apoyado en el PH por el plano proyectante vertical representado. Nos fijamos en primer lugar en que el plano corta a todas las generatrices de la superficie, lo cual determina en primer lugar que la sección generada será una curva cerrada; el ángulo del plano proyectante con el eje del cono nos indica además que esta curva será una elipse (recordar tema curvas cónicas). Para poder dibujar la sección elíptica necesitaremos determinar un suficiente número de puntos de la misma. Para ello dividiremos la directriz en partes iguales (en este caso 8) y utilizaremos la generatrices resultantes para obtener estos puntos. Al ser un plano proyectante el que genera la sección, los puntos pueden determinarse de forma directa en segunda proyección, salvo los puntos relativos a las generatrices 1-5.

6 Para determinar estos puntos podríamos recurrir a la tercera proyección de la figura, o bien podemos usar un nuevo plano auxiliar horizontal que, por ser paralelo a la base, provoca una sección circular en el cono, sección que nos permite encontrar los puntos de intersección en las generatrices 1-5. Con los ocho puntos ya podemos ahora realizar de manera competente el dibujo de la sección elíptica.

7 Obtendremos ahora la verdadera magnitud de esta sección abatiendo el plano proyectante. Como ya sabemos que es una elipse, determinamos primero los ejes de la cónica. Comenzamos por el eje mayor AB, que ya está en verdadera magnitud en la segunda proyección (A2-B2) por resultar paralelo al PV. Para determinar el eje menor CD, primero obtendremos el centro de la elipse (punto medio del eje mayor AB), y luego los puntos C y D utilizando las generatrices implicadas (observa que al ser el eje AB paralelo al PV, el eje CD es perpendicular a dicho plano y paralelo al PH y a la traza horizontal del plano alfa). Con los ejes en verdadera magnitud, podríamos utilizar cualquiera de los métodos de trazado de la cónica conocidos.

8 En esta caso completaremos el abatimiento utilizando los puntos previamente determinados de la sección. Una vez abatidos todos ellos, completaremos la representación de la verdadera magnitud.

9