ALUMNO: GRUPO: Sean dos formas homológicas F y F' de planos superpuestos, una circunferencia c perteneciente a F y su cónica homóloga c' en F'.

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE GRANADA GEOMETRÍA APLICADA. EXAMEN FINAL. 28 DE JUNIO DE EJERCICIO TEÓRICO ALUMNO: GRUPO: NOTAS - El test consta de un total de 40 preguntas que se valorarán con las puntuaciones siguientes: +0,25 puntos si la respuesta es correcta; 0,00 puntos si la respuesta queda en blanco; y -0,10 puntos si la respuesta es incorrecta. El test se valorará sobre un total de 10 puntos. - Tiempo: 20 minutos. Sea un cuadrilátero alabeado definido por dos directrices d y d y dos generatrices g y g. 01) Los planos determinados por d y g, d y g', d' y g, y d' y g' son tangentes a cualquier cuádrica que se apoye en el cuadrilátero alabeado 02) En el cuadrilátero alabeado pueden apoyarse infinitos hiperboloides hiperbólicos y sólo un paraboloide hiperbólico 03) Si la proyección horizontal del cuadrilátero alabeado fuese un cuadrado, la cuádrica que se apoya en dicho cuadrilátero sería necesariamente un paraboloide hiperbólico 04) Si la proyección horizontal del cuadrilátero alabeado fuese un cuadrado, el centro de cualquier cuádrica que se apoyara en él se proyectaría según el centro de dicho paralelogramo Un cono de revolución Ω de vértice V es seccionado por un plano P según una elipse δ. 05) El vértice V está en una hipérbola ε, situada en el plano perpendicular a P que contiene al eje mayor de δ, de vértices y focos los focos y vértices de la elipse δ respectivamente 06) Si Ω fuese un cilindro de revolución, su eje sería una de las asíntotas de la hipérbola ε a que se refiere la cuestión 05). 07) La proyección V' de V sobre P deberá estar sobre la recta que contiene al eje mayor de δ 08) La proyección V' de V sobre P deberá estar sobre la recta que contiene al eje menor de δ Sean dos formas homológicas F y F' de planos superpuestos, una circunferencia c perteneciente a F y su cónica homóloga c' en F'. 09) En la recta límite L se encuentran los homólogos de los puntos impropios de todas las rectas pertenecientes a la forma F 10) Si la homología entre F y F es afín, entonces c es una elipse 11) c' tendrá 2, 1 ó ningún punto impropio dependiendo de si c es secante, tangente o exterior a la recta límite L, y por tanto c será una hipérbola, parábola o elipse respectivamente 12) En la recta límite L se encuentran los homólogos de los puntos impropios de todas las rectas pertenecientes a la forma F Sean Ψ y Π superficies cónica y cilíndrica, ilimitadas, ambas de revolución. 13) Si fuesen tangentes a lo largo de una generatriz, su intersección estaría compuesta por dicha generatriz y una hipérbola 14) Si sus ejes fuesen coplanarios, la intersección de Ψ y Π estaría compuesta por dos cónicas 15) Si fuesen coaxiales, la intersección de Ψ y Π estaría compuesta por dos circunferencias 16) Si fuesen circunscritos a una misma esfera, su intersección estaría formada por dos elipses

2 Sea Φ una cuádrica, P un punto ordinario de ella y τ P el plano tangente en P. 17) Cualquier plano secante que contenga a P cortará a Φ y a τ P según una cónica que contiene a P y su recta tangente en dicho punto, respectivamente 18) Si Φ fuese una cuádrica parabólica, entonces todas sus generatrices concurrirían en un punto de τ P distinto de P 19) Si Φ fuese una cuádrica elíptica τ P sólo podría tocarla en P 20) Si Φ fuese una cuádrica hiperbólica τ P la cortaría según dos rectas concurrentes en P Sean dos series proyectivas r (A, B, C) y r' (A', B', C'). 21) Si r y r' se cortan las series son siempre perspectivas 22) Si r y r' se cruzan las series son siempre perspectivas 23) Existen infinitas cadenas de proyecciones y secciones que relacionan las series r y r 24) Si AA, BB y CC concurren en un punto, entonces las series son perspectivas Una cuádrica hiperbólica está engendrada por las generatrices rectilíneas que se apoyan en tres rectas r, s y t que se cruzan dos a dos. Sean dos generatrices g y g', que cortan a las directrices r, s y t en los puntos A, B y C y A', B' y C' respectivamente. 25) Si las rectas r, s y t fuesen paralelas a un mismo plano todas las generatrices g, g, g serían también paralelas a otro plano (distinto del anterior) 26) Las secciones planas de la cuádrica sólo pueden ser parábolas e hipérbolas, puesto que se trata de un paraboloide hiperbólico o de un hiperboloide hiperbólico 27) Si las series g (A, B, C) y g' (A', B', C') fuesen semejantes sería un hiperboloide hiperbólico; en caso contrario sería un paraboloide hiperbólico 28) Siempre pueden encontrarse infinitos planos que, pasando por un punto K no perteneciente a la cuádrica, sean exteriores a ésta (es decir, no sean tangentes ni secantes) Sea un tetraedro con una cara sobre en el plano horizontal de proyección, y un cubo con una diagonal vertical y un vértice en el plano horizontal de proyección. 29) La proyección del cubo sobre el plano horizontal de proyección es un hexágono regular por cuyos vértices pasa la proyección de la esfera circunscrita al cubo 30) La sección que produce en el cubo un plano horizontal que pasa por su centro es un hexágono regular de lado igual a la mitad de la diagonal de la cara del cubo 31) La esfera inscrita en el tetraedro se proyecta sobre el plano vertical de proyección según una circunferencia tangente a la línea de tierra 32) La esfera circunscrita al tetraedro se proyecta sobre el plano horizontal de proyección según una circunferencia que pasa por los vértices de la cara situada en dicho plano Indique si las siguientes superficies son no regladas (NR), regladas desarrollables (RD) o regladas alabeadas (RA): NR RD RA 33) Elipsoide 34) Hiperboloide elíptico de revolución 35) Superficies de igual pendiente 36) Cono de revolución 37) Cono cuadrático 38) Helicoide axial recto 39) Paraboloide hiperbólico 40) Conoide

3 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, EXAMEN FINAL GEOMETRÍA APLICADA. CONVOCATORIA DE JUNIO EJERCICIO PROYECCIÓN DIÉDRICA I. De un octaedro se conocen el vértice A(2; 5 5; 0) y que la arista BC se encuentra en la recta horizontal que contiene el punto G(-8 5; 0; 4 5) y forma un ángulo de 38º con el plano vertical de proyección en sentido dextrógiro. Se pide: 1º. Determinar las proyecciones del poliedro. 2º. Determinar la sección producida en el octaedro por el plano F bisector primero. 3º. Representar las proyecciones de la sombra propia y arrojada sobre los planos de proyección con luz E paralela, de dirección descendente de izquierda a derecha y hacia el plano vertical de proyección, B formando sus proyecciones ángulos de 45º con la C línea de tierra. D L2 45 A 45 L1 NOTAS: Lámina DIN A-4 en posición apaisada. Coordenadas en centímetros. Origen de coordenadas a 12 cm de borde inferior y a 15 cm de borde izquierdo de la lámina. El segundo y tercer apartado se resolverán en una segunda lámina

4 EXAMEN FINAL GEOMETRÍA APLICADA. CONVOCATORIA DE JUNIO EJERCICIO PROYECCIÓN DIÉDRICA II (SUPERFICIES) Una cuádrica reglada alabeada está definida por las generatrices AB y CD y las directrices AD y BC, que determinan un cuadrilátero alabeado de vértices los puntos A(-65; 65; 80) B(-40; 110; 0) C(65; 50; 40) D(X; Y; 0) y cuya proyección horizontal es un paralelogramo Se pide: 1º. Indicar nombre de la superficie. 2º. Indicar planos directores (tipo plano). 3º. Indicar dirección del eje de la superficie (tipo recta). 4º. Indicar dirección plano tangente en vértice a la cuádrica (tipo plano). 5º. Representar las proyecciones de las asíntotas, ad y ag. Dejar constancia de las construcciones geométricas realizadas. 6º. Representar las proyecciones del vértice V. 7º. Representar las proyecciones del eje de la superficie, e. 8º. Representar el plano T tangente a la cuádrica en el vértice V. 9º. Representar las proyecciones de directrices (rojas) y generatrices (azules) a distancia 1 cm, delimitadas por el cuadrilátero ABCD. 10º. Representar los planos asintóticos, M de generatrices y N de directrices. 11º. Representar los planos principales, P y Q. 12º. Representar las proyecciones de las cónicas principales, α y β. 13º. Representar las trazas del plano W tangente a la cuádrica en el punto A. Notas: Lámina DIN A-4 en posición apaisada. Origen de coordenadas a 17 cm del borde izquierdo y a 12 cm del borde inferior. Coordenadas en milímetros. Los apartados 1 a 8 se resolverán en lámina independiente.

5 EXAMEN FINAL GEOMETRÍA APLICADA. CONVOCATORIA DE JUNIO EJERCICIO PROYECCIÓN ACOTADA Se pretende construir un circuito de pruebas cuyo eje en planta está formado por dos alineaciones rectas AD y BC de 100 m de longitud, enlazadas mediante sendas alineaciones circulares AB y CD de 40 m de radio. La rasante del circuito está compuesta por las alineaciones AD y CD, horizontales de cota 15, y por las alineaciones de inclinación constante AB y BC, cuyas pendientes están determinadas por las cotas de los puntos A (15), B (19) y C (15). En la lámina adjunta se representa la planta de conjunto de la instalación, que se implanta sobre una superficie topográfica formada por tres planos (que se cortan según las rectas r y s) cuyas líneas de nivel están representadas en dicha lámina. SE PIDE: 1. Representar la graduación del vial. 2. Representar el estado final del movimiento de tierras, indicando la/s línea/s de paso, las superficies de talud generadas indicando si corresponden a desmonte o a terraplén y la intersección de las superficies de talud entre sí y con el terreno. 3. Indicar la naturaleza de las curvas de intersección de las distintas superficies entre sí (curvas planas o alabeadas; si se trata de curvas planas, indicar también el tipo de curva). 4. Indicar la cota de los puntos significativos del movimiento de tierras (cotas más bajas de los terraplenes y cotas más altas de los desmontes). 5. Indicar si existe algún cauce que obligue a la construcción de la correspondiente obra de drenaje transversal y, en su caso, representar su/s eje/s y sus puntos de entrada y salida. NOTAS: - Escala 1/ Equidistancia curvas de nivel: 1 metro. - Módulo de desmonte: 5. - Módulo de terraplén: 6.

6 B (19) C (15) A (15) D (15) r s

7 EXAMEN FINAL GEOMETRÍA APLICADA. CONVOCATORIA DE JUNIO EJERCICIO PROYECCIÓN CÓNICA Un octaedro, de centro el punto C (-3; -3; 3), se encuentra apoyado en el plano geometral por una cara, la cual posee un vértice con el mayor alejamiento posible. Se pide: 1º. Representar la perspectiva cónica del poliedro. 2º. Representar la sección producida por el plano del cuadro. 3º. Representar la sombra propia y arrojada sobre el plano geometral del octaedro, con luz paralela cuya dirección es descendente de izquierda a derecha, paralela al plano del cuadro y formando un ángulos de 45º con el plano geometral. Notas: V(3; 8; 9). Láminas DIN A-4 en posición peraltada. Origen de coordenadas a 11 cm del borde izquierdo y a 11 cm del borde inferior. Coordenadas en centímetros.