EJERCITACIÓN PROPUESTA

Transcripción

1 EJERCITCIÓN PROPUEST ) Dadas las siguientes matrices determine los autovalores y los espacios característicos o propios asociados: a a 3 a) 3 b) B c) C a 3 5 a 3 3 ) Determinar y justificar cuales de las matrices del ejercicio anterior es diagonalizable 3 3 3) Dada la matriz 5 6 Hallar los autovalores, autovectores asociados, 3 4 la matriz diagonal D y la matriz de paso Q que diagonaliza a la matriz dada 4) Si es un autovalor asociado a una matriz regular de orden nxn, entonces demostrar que / es un autovalor asociado a - 5) Si es un autovalor asociado a una matriz de orden nxn, entonces demostrar que es un autovalor asociado a t 6) Hallar los autovalores y los subespacios característicos asociados a las siguientes TL Determinar si existe una base B del EV correspondiente tal que la matriz de la transformación asociada a dicha base resulte diagonal a) T: R 3 R 3 / T es una proyección sobre el plano x b) T: R 3 R 3 / T(x y z) (x - y +z y +z z) c) T: R R / T es una dilatación es la dirección del eje y, de coeficiente K 3 7) Dadas las siguientes ecuaciones, expresar en forma canónica, identificar y graficar en R

2 a) x + x y +y 4 b) 3 x + 4 x y + 6 y 8 c) x y d) x - x y +y e) 8 x + 7 y 8) Dadas las siguientes ecuaciones, expresar en forma canónica, identificar y graficar en R 3 a) 4 x + 4 y + 4 z + 4 x y + 4 x z + 4 y z 3 b) 4 x + 36 y 9 z - 6 x - 6 y +34 c) 4 x + 9 y - z - 54 y - 5 z 544 d) x y + x z + y z 6x 6y 4z + 9 e) x y 6x + y + z 3 9) Dada la ecuación x - y + 4 x y + K, determinar el tipo de cónica que se puede obtener para los distintos valores reales de K ) En la cierta ciudad hay tres tipos de planes de inversión,, B y C, disponibles para los empleados de una empresa Un empleado sólo puede usar un plan a la vez, y puede cambiar de uno a otro sólo al final de cada año El porcentaje de que alguien del plan continúe en él es del %, de que siga en el plan B es del 5 % y en el C del 5% La matriz M de probabilidad de transición para los empleados que participan es la siguiente: B C ( este año),,5,5 T,,5 B año próximo,6,5 C Cuáles son los planes más populares y menos populares a largo plazo? ) En el juego de la Marina contra el Ejército, quien será el ganador a largo plazo si la matriz de probabilidades de transición de juegos ganados es:

3 E M T,7,3,3,7 Donde T,7 representa la probabilidad de que el Ejército sea campeón un año y T,3 es la probabilidad de que el Ejército gane el año siguiente ) Se supone que una partícula se mueve en un campo de fuerza plano y su vector de posición x satisface x x y x() x, donde : 4 5 x o,9,6 Hallar la función x(t) y y + y 3) Dado el sistema diferencial y 4 y y a)resolverlo b) Hallar la solución que satisface las condiciones iniciales y (), y () 6 3

4 RESPUESTS ) a) utovalores: y con multiplicidad aritmética doble S gen S 3 4 gen la multiplicidad geométrica del autovalor es uno pues la dimensión de su espacio propio asociado es uno 3 b) utovalores: a con multiplicidad aritmética cuádruple S gen la multiplicidad geométrica de a es cuatro c) utovalores: - 3 con multiplicidad aritmética doble S gen S gen S gen siendo la multiplicidad geométrica de doble 3 ) Son diagonalizables las matrices B y C pues la multiplicidad aritmética de los autovalores coincide con la multiplicidad geométrica de los espacios propios asociados 3) Los autovalores son - y (solución doble) Reemplazándolos en el sistema ( - I) se obtienen los subespacios propios S gen {( )} y S gen{( ) ( )} Verifique la respuesta efectuando manualmente la resolución del sistema homogéneo para cada valor de hallado 4

5 Luego, la matriz diagonal es D y la matriz que diagonaliza a la matriz es Q 4) se multiplica ambos miembros de la igualdad por : por propiedad de los determinantes : ) ) ( ( extrayendo factor común : n n n ) ( ) ( como no puede ser nulo pues que es regular, resulta con lo cual es / un autovalor de - 5) Si es un autovalor de la matriz, entonces: ) ( t t es un autovalor de t 6) a) utovalores con multiplicidad aritmética doble S gen S gen Los tres autovectores resultan LI, por lo tanto son base de R 3 La matriz asociada a la trasformación lineal es M(T) BB que contiene en su diagonal a los autovalores b) utovalores con multiplicidad aritmética triple S gen 5

6 Imposible hallar una base de R 3 c) utovalores y 3 S gen S gen 3 Los dos autovectores resultan LI, por lo tanto son base de R La matriz asociada a la trasformación lineal es M(T) BB 3 7) a) (x ) Par de rectas paralelas b) 7(x ) + (y ) 8 Elipse c) (x ) (y ) Hipérbola d) x - y Recta e) ( ) Punto 8) a) (x ) + (y ) + 8(z ) 3 Elipsoide b) 4(x ) + 36(y ) -9(z ) 36 Hiperboloide de una hoja c) 4(x ) + 9(y ) (z ) Superficie cónica d) (x ) + (y ) (z ) + Hiperboloide de dos hojas e) (x ) + (y ) + z Paraboloide hiperbólico 9) Si K, par de rectas incidentes Si K, hipérbolas ) largo plazo el plan C es el más popular y el B es menos popular 6

7 ) largo plazo la Marina y el Ejército ganarán el 5% de los juegos cada uno ) x(t) c v e + c v e 3-5 6t 88 e + e 7 - t 3) a) b) y x c e 5 ce x y c e + c e y e y e x x e + 4 e 7