FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Apellido y nombres del alumno:.legajo Nº.. Corrigió: Calificación final

Transcripción

1 FECHA: 26 de Mayo de 2015 Tema: 1 FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Apellido y nombres del alumno:.legajo Nº.. Corrigió:. La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ 1) Sean: la recta L que pasa por los puntos A (-1, 0, 1) y B (2, k,1) y el plano α que es paralelo al eje de cotas y pasa por los puntos M ( -1, 0, m) y N ( 1, 4, 0) Halle k y m reales, si existen, para que la recta L esté incluida en el plano α. 2) Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: nxn 3 3 a) A R : es autovalor de A es autovalor de A nxn nxn nxn n b) A R, B R, C R, R : det( AB AC).det( A). det B det C. 1 k 1 3) Sea la transformación lineal : 3 3 F R R / M BB' F k k k 2 k 2 siendo M BB (F) la matriz de la transformación F respecto de la base B = { (1,1,0) ; (1,1,1) ; (1,0,0) } del dominio y la base estándar del codominio. a) Halle k real, si existe, para que F sea epimorfismo b) Para k = 0, encuentre todos los vectores (a,b,c), si existen, tales que F[(a,b,c)]= (4,0,-8) 4) Sea la ecuación: A x B y z a) Halle los valores de A y B para que la ecuación dada represente una superficie cuya intersección con el plano z = 3 sea la curva de ecuación: 3 c( t) 1 2 tg t ; 2 4sec t ; 3 ; t [0;2 ) ; 2 2 Grafique la superficie obtenida. b) Para A = 0 y B = 4, identifique y grafique la superficie. 5) Halle y grafique todos los complejos z = x + y i que verifiquen la ecuación: i.z +i. z 2-2i Im (z) + Re(z) 0 2

2 FECHA: 26 de Mayo de 2015 Tema: 2 Apellido y nombres del alumno:.legajo Nº.. Corrigió:. La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ 1) Sean: la recta L que pasa por los puntos A (1, 0, -1) y B (-2, k,-1) y el plano α que es paralelo al eje de cotas y pasa por los puntos M (1, 0, -m) y N ( -1, -4, 0) Halle k y m reales, si existen, para que la recta L esté incluida en el plano α. 2) Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: nxn 3 3 a) A R : es autovalor de A es autovalor de A nxn nxn nxn n b) A R, B R, C R, R : det( BA CA).det( A). det B det C. 1 k 1 3) Sea la transformación lineal : 3 3 F R R / M BB' F k k k 2 k 2 siendo M BB (F) la matriz de la transformación F respecto de la base B = { (1,1,0) ; (1,0,0) ; (1,1,1) } del dominio y la base estándar del codominio. a) Halle k real, si existe, para que F sea epimorfismo b) Para k = 0, encuentre todos los vectores (a,b,c), si existen, tales que F[(a,b,c)]= (2,0,-4) 4) Sea la ecuación: A x B y z a) Halle los valores de A y B para que la ecuación dada represente una superficie cuya intersección con el plano z = 2 sea la curva de ecuación: 3 c( t) 1 2 tg t ; 2 4sec t ; 2 ; t [0;2 ) ; 2 2 Grafique la superficie obtenida. b) Para A = 4 y B = 0, identifique y grafique la superficie. 5) Halle y grafique todos los complejos z = x + y i que verifiquen la ecuación: i.z + i. z 2-2i Im (z) + Re(z) 0 2

3 UTN. FRBA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Apellido y nombres del alumno:... Legajo:... Tema 1 La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Debe presentarse el desarrollo de todos los ejercicios, justificando las respuestas. No usar lápiz. 1) Sea π el plano que contiene a la recta y al punto. Encuentre todos los puntos de cuya proyección ortogonal sobre es A. 2) a) Sea la transformación lineal dada por la matriz, con base de y E base canónica de. Halle los valores de k para los cuales G es inyectiva (monomorfismo). b) Considere la transformación lineal del ítem (a) para y. Sea la T.L.. Pruebe que es biyectiva (isomorfismo) y obtenga. 3) Dada la superficie S: a) Analice los cortes con planos del tipo, identifique y grafique la superficie. b) Parametrice la curva de intersección entre S y el plano. Marque la curva en el gráfico anterior, indicando sentido de recorrido mediante una flecha. 4) Dada la matriz, halle los valores de y para los cuales A es diagonalizable ortogonalmente y además es un autovector de A. Para los valores obtenidos, halle y tales que. 5) Obtenga todas las soluciones de la siguiente ecuación en C: Sugerencia: despejar z

4 UTN. FRBA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Apellido y nombres del alumno:... Legajo:... Tema 2 La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Debe presentarse el desarrollo de todos los ejercicios, justificando las respuestas. No usar lápiz. 1) Sea π el plano que contiene a la recta y al punto. Encuentre todos los puntos de cuya proyección ortogonal sobre es A. 2) a) Sea la transformación lineal dada por la matriz, con base de y E base canónica de. Halle los valores de k para los cuales F es inyectiva (monomorfismo). b) Considere la transformación lineal del ítem (a) para y. Sea la T.L.. Pruebe que es biyectiva (isomorfismo) y obtenga. 3) Dada la superficie S: a) Analice los cortes con planos del tipo, identifique y grafique la superficie. b) Parametrice la curva de intersección entre S y el plano y. Marque la curva en el gráfico anterior, indicando sentido de recorrido mediante una flecha. 4) Dada la matriz, halle los valores de y para los cuales A es diagonalizable ortogonalmente y además es un autovector de A. Para los valores obtenidos, halle y tales que. 5) Obtenga todas las soluciones de la siguiente ecuación en C: Sugerencia: despejar z

5 FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA: 1 octubre de 2015 Apellido y nombre del alumno:... Legajo:... Corrigió:... La condición para aprobar esta evaluación, es tener como mínimo, tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ. Apague su celular. 1) Calcule para que la distancia del punto intersección de las rectas de ecuaciones: con el plano sea igual a 2) Determine justificando si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Si es autovalor de la matriz, entonces es autovalor de. b) Los puntos del plano complejo que cumplen con la ecuación representan una circunferencia. 3) Sea la transformación lineal a) Halle para que sea epimorfismo y b) Para obtenga la expresión analítica de / 4) Sea en Halle los valores reales de para que la ecuación corresponda a una hipérbola. 5) Sea la superficie de ecuación Halle los valores reales de para que la ecuación corresponda a un hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje de ordenadas y tal que su traza con el plano sea una circunferencia de radio 3. Trace un gráfico aproximado de la superficie.

6 UTN Álgebra y Geometría Analítica Examen Final. Fecha 14 / 12 / 2015 Apellido y nombres del alumno:...legajo:... La condición para aprobar este examen es tener 3 ejercicios bien resueltos como mínimo IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ. T 3 3 1) Sea la transformación lineal : R R / T x, y, z kx ; 2 x 2 y z ; 2 x 5 y 4 z Halle todos los valores de k reales, si existen, para que la matriz de la M transformación: EE T sea diagonalizable, siendo E la base canónica de R3 2)Encuentre y grafique todos los complejos z = x + y i, si existen, que verifiquen la siguiente ecuación: 2 z. z 4 Re z Re z A x 1 B y 2 z 3 C 4 3) Sea la superficie de ecuación: Halle todos los valores de A, B y C, si existen, para que la ecuación represente una superficie cónica, tal que la intersección con el plano z = 5 sea una hipérbola equilátera cuyo uno de sus vértices es el punto V(1,0,5). Para los valores hallados, grafique dicha superficie 4) Sean las rectas: 2x z 2 L1 : y L2 : x, y, z 1 t ; 1 ; 3 t ; t R 2y z 4 Halle y grafique un plano que contenga a la recta L1 y sea paralelo a la recta L2. 5) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta: mxn nx1 a) R; R; AR ; X R : Si S1 y S2 son soluciones de un sistema de S ecuaciones lineales homogéneo: A.X = O, entonces 1 S2 es solución del sistema A.X= O nxn nxn nxn A R ; B R ; P R y es inversible ; B P 1.5 A. P det B 5det A b)

7 21 /12/ 15 FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Apellido y nombres del alumno: Legajo Nº.. Corrigió:. La condición para aprobar esta evaluación es tener, como mínimo, tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ. Apague su celular. 1) De todos los planos que pertenecen al haz de ecuación x y z 5 0 con R, obtenga y grafique la ecuación de aquellos que dis tan 3 unidades del punto Q 4;1;1. n n 2) a) Sea A una matriz sociada a una transformación lineal F : R R, sobreyectiva. El sistema Ax 0, es compatible determinado o inde terminado?. Por qué? n nxn b) Demuestre que : Si v R es autovector A R asociado al autovalor, entonces 2 2 v es autovector de A I asociado al autovalor 1. (I es la matriz identidad) ) Sea E e ; e ; e la base canónica de R, la transformación lineal T : R R / T ( e ) e 2 e, T ( e ) T ( e ) 3 e y v (3;4;2) es un autovector de T asociado al autovalor 3. a) Obtenga M EE b) Deter min e si M es diagonalizable. EE ) Deter mine los valores reales de h y k para que la ecuación hx ky 4hx 1 0 ( en R ) corresponda a una elipse que cumpla, simultáneamente, las siguientes condiciones : a) uno de los vértices tiene abscisa x 5 b) es tan gente a la recta t : y ) Sea la superficie S, de ecuación ( A 1) x y ( B 1) z A. a) Para qué valores reales de A y B, la in tersección de S con el plano : y 0, es una curva x 2 cos t de ecuaciones paramétricas : y 0 con t 0; 2? z 2 sen t b) Para A 0 y B 1 grafique la superficie y, en ella, la in tersección con : y 4.

8 UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 29/2/2016 Apellido y nombre del alumno: Corrigió: La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, justificando sus respuestas. No use lápiz. Apague el celular. 1) Sean el punto P( 2, 0, 1) y los planos : x + 4y 2z + 1 = 0; : x + 3y 2 = 0. Halle las ecuaciones simétricas de la recta L tal que L // ; L y P L. 2) Dados los subespacios de R 4 S = gen { (0, 2, 1, 0), (1, -1, 0, 0) } y W = { ( x, y, z, t) / x z = 0 2x + y z = 0 } Defina una transformación lineal F: R 4 R 4 tal que Nu(F) = S W y Im(F) = S + W Nota: No es necesario hallar la fórmula de F. Debe justificar por qué está bien definida. 3) Sea la transformación lineal T: 3 P 1, tal que su matriz asociada es M E B (T) = , siendo E la base canónica de 3 y B= {1- t, 1} una base de P 1. a) Halle, si existen, todos los elementos del dominio cuyo transformado es t-1. b) T es epimorfismo? Justifique su respuesta. Nota: No es necesario hallar la fórmula de T ) Sea A = Analice la verdad o la falsedad de las siguientes afirmaciones Justifique sus respuestas a) A es diagonalizable. b) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo A.X = N tiene solución única 5) Sea la superficie de ecuación A(x-1) 2 + By 2 + C z 2 = 1

9 a) Calcule A, B y C reales sabiendo que la intersección de la superficie con el plano : x = 1 es una circunferencia de radio 2 y la intersección de la superficie con el plano : z=0 es una hipérbola de semiejes de longitudes 2 y 3. Identifique y grafique la superficie. b) Para A=1, C= 0, Halle B de modo que la intersección de la superficie con el plano : z=0 sea una curva de ecuaciones paramétricas (x,y,z) =(1+cos ; 2 sen ; 0) Identifique y grafique la superficie y la curva intersección en el mismo gráfico.