Bioingeniería MATEMÁTICA I. Carreras. Programa Analítico y de Examen de la asignatura: Año: MSc. Ing. Dora A. Christian.

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA Universidad Nacional de San Juan Carreras Bioingeniería Programa Analítico y de Examen de la asignatura: MATEMÁTICA I Año: MSc. Ing. Dora A. Christian Profesora Titular... MSc. Ing. María del Carmen Berenguer Jefe de Departamento... Ing. Daniel Eduardo Argumosa Secretario Académico

2 Programa Analítico y de Examen Curso 2014 MATEMÁTICA I Bioingeniería Objetivos generales del curso. Se espera que al finalizar el curso el alumno: Adquiera un dominio básico e integral del Álgebra y la Geometría Analítica, asociando conceptos en una estructura lógica, que lo habilite para aplicar los aprendizajes logrados en la solución de problemas del ámbito de estudio. Sea capaz de analizar problemas y soluciones obtenidas con sentido crítico. Seleccionar y aplicar acertadamente un procedimiento entre los tratados en el curso para la solución de un problema. Emplear el lenguaje propio de la asignatura, articulando la expresión verbal con la simbólica y gráfica. Fundamentar afirmaciones que realice. Comunicarse con pares y docentes en un marco de respeto y tolerancia mutua. Unidad N 1: Matrices y Determinantes. Matrices de orden (pxn). Tipos especiales de matrices. Igualdad. Operaciones: Suma. Producto por un número. Producto de matrices. Trasposición. Propiedades de las operaciones. Forma escalonada de una matriz. Rango. Determinante de una matriz. Definición. Cálculo empleando cofactores y escalonamiento. Propiedades. Inversa de una matriz. Definición. Cálculo de la inversa. Propiedades. Una vez que concluya el aprendizaje programado para esta unidad, el alumno estará en condiciones de: Clasificar matrices, Efectuar cálculos con matrices, Emplear oportunamente las propiedades de las operaciones, Escribir una matriz, dada la ley de formación de sus elementos, Encontrar formas escalonadas de una matriz, Determinar el rango de una matriz, Definir y calcular el determinante de una matriz. Definir inversa de una matriz. Decidir si una matriz es inversible. Calcular la inversa de una matriz cuando sea posible. Emplear oportunamente propiedades de las funciones DET e INV, Utilizar la notación adecuada. Proporcionar ejemplos que verifiquen una condición especificada. Programa Analítico y de Examen- Curso

3 Unidad N 2: Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial. Sistemas equivalentes. Método de eliminación simple de Gauss para resolver sistemas lineales. Existencia y unicidad de las soluciones de sistemas lineales. Conjunto de las soluciones de un sistema lineal. Se espera que el alumno sea capaz de: Resolver completamente un sistema de ecuaciones lineales empleando el método de eliminación simple de Gauss. Decidir si un sistema lineal tiene solución o no. Establecer si la solución será única o no. Determinar el número de variables a las que se puede asignar cualquier valor real (variables libres). Proporcionar el conjunto de soluciones que corresponda. Encontrar soluciones particulares cuando exista más de una solución. Proporcionar ejemplos de sistemas lineales que verifiquen alguna condición especificada. Unidad N 3: Espacios vectoriales. Espacio vectorial real. Definición y ejemplos. Subespacios: Definición, caracterización. Ejemplos. Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores. Conjuntos que generan un espacio vectorial. Dependencia e independencia lineal de vectores. Propiedades. Bases y dimensión de un espacio vectorial. Representación de un vector en una base: matriz de coordenadas y vector de coordenadas. Producto interior euclídeo. Propiedades. Normas de vectores: Norma uno. Norma euclídea. Norma infinito. Conjuntos ortogonales. Propiedades. Conjuntos ortonormales. Bases ortonormales. Coordenadas de un vector con relación a una base ortonormal. Construcción de una base ortonormal a partir de una base cualquiera de un espacio vectorial. Se espera que el alumno sea capaz de: Conocer y comprender la definición de espacio vectorial real. Emplear la noción de espacio vectorial para identificar conjuntos familiares como ejemplos de esa estructura. Reconocer los conjuntos de soluciones de sistemas lineales homogéneos como ejemplos de subespacios de un espacio vectorial. Encontrar el subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores. Encontrar conjuntos que generen un subespacio vectorial dado. Decidir si los vectores de un conjunto son linealmente independientes, o linealmente dependientes. Programa Analítico y de Examen- Curso

4 Construir bases para un espacio vectorial y justificar que lo son. Decidir si un conjunto de vectores es base o no de un espacio vectorial dado. Determinar la dimensión de un espacio vectorial. Representar un vector mediante sus coordenadas en una base. Calcular normas para vectores. Decidir si los vectores de un conjunto son: ortogonales, unitarios, ortonormales. Decidir si un conjunto de vectores es una base ortonormal de un espacio vectorial dado. Construir bases ortonormales. Hallar las coordenadas de un vector en una base ortonormal, usando propiedades de estas bases. Interpretar definiciones y teoremas mediante ejemplos particulares. Usar las propiedades enunciadas como teoremas, para justificar respuestas cuando sea oportuno. Demostrar teoremas de la unidad. Unidad N 4: Aplicaciones geométricas. Rectas y Planos. Cónicas y Cuádricas. Espacio afín sobre un espacio vectorial. Dimensión afín. Vector de posición de un punto. Sistema de coordenadas. Subespacio afín vinculado con un subespacio vectorial. Construcción de rectas en el plano y en el espacio determinadas por dos puntos dados; o por un punto y un vector que la dirige. Diversas formas de la ecuación de la recta. Construcción de planos en el espacio determinados por tres puntos no alineados, o por un punto y dos vectores que generan el subespacio vectorial asociado, o por un punto y un vector ortogonal. Diversas formas de la ecuación del plano. Posiciones relativas entre rectas y planos; rectas entre sí y planos entre sí. Distancias y medidas de ángulos. Ecuaciones cuadráticas en el plano y en el espacio. Ecuaciones canónicas de cónicas y cuádricas. Elipse. Hipérbola. Parábola. Paraboloide Hiperbólico. Paraboloide elíptico. Hiperboloide de una y de dos hojas. Cono. Cilindro. Elipsoide. Al finalizar el aprendizaje propuesto en esta unidad, los alumnos podrán: Encontrar todas las formas posibles de la ecuación de una recta determinada por un punto y un vector que la dirige, o por dos puntos. Encontrar todas las formas posibles de la ecuación de un plano determinado por un punto y dos vectores que generan el subespacio vectorial asociado, o por tres puntos no alineados, o por un punto y un vector ortogonal. Expresar rectas y planos, como conjunto de soluciones de una ecuación lineal o de un sistema de ecuaciones lineales. Identificar rectas y planos proporcionando los elementos que los determinan. Consideradas las rectas y los planos como subespacios afines, proporcionar un subespacio vectorial asociado con ellos, y la correspondiente dimensión afín. Determinar las posiciones relativas entre rectas y planos; rectas entre sí y planos entre sí. Programa Analítico y de Examen- Curso

5 Interpretar geométricamente los conjuntos de soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Representar gráficamente puntos, vectores, rectas y planos. Calcular distancia de un punto a una recta y de un punto a un plano. Encontrar una medida del ángulo formado por dos rectas que se cortan en un punto y por dos planos que tienen una recta en común. Proporcionar ejemplos de rectas y planos que guarden entre sí una posición relativa especificada. Identificar una cónica cuando la ecuación que la define tiene la forma canónica, proporcionando sus elementos notables y su gráfica. Identificar una superficie cuádrica cuando la ecuación que la define tiene la forma canónica, mediante intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados. Representar gráficamente las cuádricas y las intersecciones, proporcionando los elementos notables que las caracterizan. Asociar la forma canónica de la ecuación de una cónica o de una cuádrica con la gráfica correspondiente y viceversa. Unidad N 5: Transformaciones Lineales. Aplicaciones Geométricas. Cónicas de ecuación no canónica. Transformaciones lineales. Definición. Ejemplos. Transformaciones matriciales. Transformación matricial asociada con una transformación lineal. Espacio imagen y rango de una transformación lineal. Núcleo y nulidad de una transformación lineal. Isomorfismo. Espacios vectoriales isomorfos. Valores y vectores propios de una matriz. Definición. Subespacios propios. Caracterización de valores y vectores propios. Diagonalización. Diagonalización ortogonal. Transformación ortogonal de coordenadas. Reducción de cónicas a la forma canónica. Al finalizar el aprendizaje propuesto en esta unidad, usted podrá: Identificar transformaciones entre espacios vectoriales conocidos. Mediante la definición, decidir si una transformación es lineal o no. Construir la transformación matricial asociada con una transformación lineal. Encontrar el espacio imagen y el rango de una transformación lineal. Hallar el núcleo y la nulidad de una transformación lineal. Caracterizar en forma analítica y geométrica el núcleo y el espacio imagen de una transformación lineal y establecer sus vínculos dimensionales. Decidir si una transformación lineal es un isomorfismo entre el dominio y el espacio imagen. Reconocer un vector propio de una matriz asociado con el valor propio que corresponda, mediante la definición. Encontrar los valores propios de una matriz cuadrada. Programa Analítico y de Examen- Curso

6 Construir los subespacios propios correspondientes. Diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica. Hacer uso oportuno de teoremas que caracterizan los valores y vectores propios de una matriz y las matrices diagonalizables ortogonalmente. Reducir una cónica a la forma canónica para su identificación. Encontrar un sistema de coordenadas con ejes paralelos a los ejes de simetría de una cónica dada. Construir un sistema de coordenadas respecto del cual la ecuación de la cónica en estudio adquiera forma canónica. Representar gráficamente en el mismo diagrama todos los sistemas de coordenadas, la cónica y sus elementos notables. Justificar sin ambigϋedad decisiones y afirmaciones, expresándose con corrección y claridad. Demostrar los teoremas incluídos en la unidad. Proporcionar ejemplos que verifiquen una condición especificada. Programa Analítico y de Examen- Curso

7 BIBLIOGRAFIA Notas de Matemática I y Algebra y Geometría Analítica. CHRISTIAN, D. BERENGUER, M. DE LA TORRE, E. MOYANO A. Ed. Fotocopiadora del Centro de Estudiantes. FI. UNSJ La cátedra proporciona al alumno material de información, ejemplos y actividades de aprendizaje, con respuestas para autoevaluación, en las Notas de Álgebra y Geometría Analítica, abarcando la totalidad de las unidades del programa y ordenadas conforme a la secuencia de contenidos seleccionada para el curso. Notas de Matemática I y Algebra y Geometría Analítica. CHRISTIAN, D. BERENGUER, M. DE LA TORRE, E. MOYANO A. Página web de la asignatura. FI. UNSJ Álgebra Lineal (Grado de Estadística) VVAA. Ed. Universidad de Sevilla OPENLIBRA Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería I: Álgebra Lineal BARREDA ROCHERA MIGUEL, LÓPEZ ORTI JOSÉ ANTONIO. Ed. Universitat Jaume I OPENLIBRA Matrices y Sistemas Lineales PÁEZ CRISTHIAN. Ed. Instituto Tecnológico de Costa Rica OPENLIBRA Introducción al Algebra Lineal. ANTON, HOWARD. Ed. Limusa. 4 a edición. México ISBN: Algebra Lineal. GROSSMAN STANLEY I. Ed. MCGRAW-HILL. 6 ta edición ISBN: Álgebra Lineal. KOLMAN BERNARD, HILL DAVID R. Ed. PEARSON ADDISON-WESLEY. 8 va edición ISBN: Algebra lineal y sus aplicaciones. LAY, DAVID C. Programa Analítico y de Examen- Curso

8 Ed. PEARSON ADDISON-WESLEY. 3 ra edición. México ISBN: Introducción al Algebra Lineal LARSON, ROLAND. Ed. Limusa. México ISBN: Álgebra Lineal Aplicada. NOBLE, B. DANIEL, J. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. México Algebra Lineal y Geometría Analítica. HEINHOLD, J.- RIEDMÜLLER, B. Ed. Reverté. S.A. Barcelona San Juan, Marzo de MSc. Ing. Dora A. Christian Profesora Titular Programa Analítico y de Examen- Curso