Matemáticas III. Carrera: AGM Participantes Representante de las academias de Ingeniería Agronomía de los Institutos Tecnológicos.

Transcripción

1 1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Carrera: Clave de la asignatura: Horas teoría-horas práctica-créditos Matemáticas III Ingeniería en Agronomía AGM HISTORIA DEL PROGRAMA Lugar y fecha de elaboración o revisión Instituto Tecnológico de Roque del 13 al 17 de febrero 2006 Participantes Representante de las academias de Ingeniería en Agronomía de los Institutos Tecnológicos. Observaciones (cambios y justificación) Reunión Nacional de Evaluación Curricular de la Carrera de Ingeniería en Agronomía. Instituto Tecnológico de Conkal Academias Ingeniería Agronomía. de en Análisis y enriquecimiento de las propuestas de los programas diseñados en la reunión nacional de evaluación Instituto Tecnológico de Tlajomulco, Jal. del 15 al 19 de mayo 2006 Comité de Consolidación de la carrera de Ingeniería en Agronomía Definición de los programas de estudio de la carrera de Ingeniería en Agronomía. 3. UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA a) Relación con otras asignaturas del plan de estudio

2 Anteriores Posteriores Asignaturas Temas Asignaturas Temas Matemáticas I Cálculo diferencial Investigación de Operaciones Programación lineal. Matemáticas II Cálculo integral Método grafico. Método simplex. Formulación y Evaluación de Proyectos. Hidráulica. Mercadotecnia Ruta critica. Matrices. Flujo máximo. Pronósticos de oferta y demanda. b) Aportación de la asignatura al perfil del egresado Desarrollar el pensamiento lógico y axiomático que le permita analizar fenómenos reales de naturaleza lineal y modelarlos. 4. OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO Dominará los conceptos de sistemas lineales, sus transformaciones, matrices y vectores como una herramienta para la solución de problemas prácticos en el área de agronomía. 5. TEMARIO Unidad Temas Subtemas 1 Números complejos Definición y origen de los números complejos. Operaciones fundamentales con números complejos. Potencias de i, módulo o valor absoluto de un número complejo. Forma polar y exponencial de un número complejo. Teorema de Moivre, potencias y

3 2 Sistemas de ecuaciones lineales. extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas. 2.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 2.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 2.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 2.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales(gauss-jordán, eliminación Gaussiana) 2.5 Aplicaciones. 3 Matrices y determinantes 3.1 Definición de matriz, notación, orden. 3.2 Operaciones con matrices (suma, resta, producto, producto de un escalar por una matriz). 3.3 Clasificación de las matrices triangular superior,triangular inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente, involutiva, transpuesta, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana, y ortogonal. 3.4 Cálculo de la inversa de una matriz. 3.5 Definición de determinante de una matriz. 3.6 Propiedades de los determinantes. 3.7 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa. 3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la regla de Cramer Aplicación de matrices y determinantes. 4 Espacios vectoriales Definición de espacio vectorial y sus propiedades Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades. Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal. Base y dimensión de un espacio vectorial. Espacio vectorial con producto interno y

4 sus propiedades. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de Ortonormalización de Gram- Schmidt. 5 Transformaciones lineales. 5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades 5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación) 5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal. 5.4 La matriz de una transformación lineal y la representación matricial de una transformación lineal. 5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. 5.6 Álgebra de las transformaciones lineales. 5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales. 6 Valores y vectores característicos Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada. Polinomio y ecuación característica. Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada. Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices. Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas. Teorema de Cayley-Hamilton Aplicaciones. 6. APRENDIZAJES REQUERIDOS Calculo diferencial Cálculo integral Vectores.

5 7. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Investigar el origen histórico de las definiciones Exposición de temas. Analizar y discutir las aplicaciones prácticas de las definiciones del tema concerniente a la agronomía. Propiciar el uso de software matemático Resolución de ejercicios por equipos 8. SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN Examen escrito Investigación documental Revisión de problemas resueltos por software. Participación en clases. 9. UNIDADES DE APRENDIZAJE Unidad 1: Números complejos. El estudiante conocerá el concepto de número complejo así como sus principales propiedades y diferentes representaciones y los aplicará a la resolución de problemas. Investigar el origen de los números complejos. Definir el número complejo y su representación gráfica en el espacio cartesiano. Realizar operaciones con números complejos(suma, resta, producto, cociente, así como la multiplicación de un escalar por un número complejo) Definir el conjugado de un número complejo y representarlo gráficamente, obtener la potencia de i, obtener el módulo y ángulo de un número complejo. Explicar qué es un número complejo en la forma z= a+ bi, forma polar, forma exponencial. Realizar operaciones de producto y cociente en estas formas alternativas. Demostrar el teorema de Moivre y usarlo para obtener potencias y extracciones de raíces de números complejos. 1,2, 4,5, 7

6 Resolver ecuaciones de la forma polinómica. Unidad 2: Sistemas de Ecuaciones lineales. Conocerá y aplicará métodos generales como E y G-J. Comprenderá que al resolver un sistema lineal puede existir una solución única, una solución infinita o ninguna solución. Definir cuando dos o más ecuaciones lineales forman un sistema. Interpretar geométricamente los distintos Tipos de soluciones y realizar su respectiva clasificación. Presentar y solucionar los métodos de solución : eliminación Gaussiana y Gauss-Jordán, estableciendo las similitudes lineales a problemas de la ingeniería. Resolución de ejemplos de aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales a problemas de ingeniería. 1,3, 5,7, 8 Unidad 3: Matrices y determinantes Utilizará las matrices para organizar datos numéricos en tabla, y conducir a los estudiantes a lograr la definición de matriz. Utilizará los determinantes y sus propiedades en la solución de problemas. Proponer problemas que requieran de organizar datos numéricos en tabla y conducir al estudiante a lograr la definición de matriz. Diseñar problemas que involucren matrices en su solución y que requieran de las operaciones (suma, producto, escalar) para lograr los resultados. Involucrar las diferentes clases de matrices, para lograr cierto tipo de resultados y así clasificarlas según estos. Utilizar un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=b, y ver la posibilidad de obtener su inversa. Obtener una fórmula para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2 y de esta forma definir su determinante. 3,4, 6,7, 8

7 Realizar evaluaciones de determinantes de algunas matrices en donde se pueda conducir al estudiante a observar algunas regularidades para arribar a las propiedades. Calcular los determinantes de los menores de una matriz A de 2x2, y posteriormente una de 3x3 y formar con estos una matriz para multiplicarla por A y observar la regularidad con que se presenta, para finalmente construir su inversa. Proponer sistemas de ecuaciones lineales para que sean representados en la forma Ax=b, y sean premultiplicados ambos miembros y se obtenga X. Proponer algunos problemas de contexto que involucren sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes. Unidad 4: Espacios vectoriales. Aplicará las definiciones de espacio y subespacio vectorial en la solución de problemas. Así como los conceptos de conjunto generador independencia lineal y base. Repasar las operaciones y propiedades de vectores en R² Y R³. Definir el concepto de espacio vectorial y sus propiedades. Aplicar la definición de espacio vectorial en diferentes tipos de conjuntos para ver si se cumple la definición de espacio vectorial. Definir el subespacio vectorial y sus propiedades. Aplicar la definición de subesapcio para determinar si unconjunto dado es un subespacio vectorial de un esapcio vectorial. Definir las propiedades de los vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal, combinación lineal, conjunto generador, base y dimensión de un espacio. Definir u espacio vectorial con producto interno y sus propiedades, así como un 1,2, 4,5

8 producto punto o escalar en Rⁿ. Definir las propiedades de un producto punto, longitud de un vector y ángulo entre dos vectores en Rⁿ. Definir una desigualdad de triángulo, producto interno, norma, distancia y ángulo entre vectores. Definir los conjuntos ortogonales y los conjuntos ortonormales. Así como el proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt. Identificar las aplicaciones de los espacios vectoriales. Unidad 5: Transformaciones lineales. Comprenderá el concepto de transformación lineal para su aplicación en problemas geométricos y físicos. Definir una transformación lineal y proporcionar sus propiedades. Resolver ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación). Definir el núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal. Definir la matriz d una transformación lineal y proporcionar su representación matricial de una transformación lineal. Resolver problemas de transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Proporcionar ejemplos donde se aplican las propiedades algebraicas de las transformaciones. Aplicar la transformación lineal en problemas de física y geometría. 1,3, 5,7

9 Unidad 6: Valores y vectores característicos. Analizará los conceptos básicos acerca de los valores y vectores característicos y los usará en la solución de problemas. Definir el concepto de valor y vector característico de una matriz n x n. Encontrar los valores característicos resolviendo su ecuación característica. Determinar los valores característicos de una matriz triangular. Determinar los vectores característicos de una matriz n x n. Definir la matriz diagonizable y diagonalizar una matriz cuadrada, potencias y raíces. Definir y diagonalizar una matriz simétrica, encontrar una matriz ortogonal que diagonalice ortogonalmente a una matriz simétrica. Identificar las formas cuadráticas. Comprobar el teorema de Cayley- Hamilton para una matriz dada. Considerar las aplicaciones más relevantes de los valores y vectores característicos. 2,3, 6,4 10. FUENTES DE INFORMACIÓN Stanley, I. G. Algebra lineal. Editorial Iberoamericana, México p Nakos, G., Joyner D., Álgebra lineal con aplicaciones. Editorial International Thomson editores.méxico Kleiman, Ariel y Eledna K. de Kliman. Matrices, aplicaciones matemáticas en economía y administración. Editorial Limusa. México ª edición. Seymour, Lipschutz. Álgebra lineal. Editorial Mc Graw Hill. México ª edición, Drof, Richard. Introducción al álgebra de matrices. Editorial Limusa 3ª reimpresión. Murray R. Spiegel. Variable Compleja. Editorial Mc GrawHill (serie shaum) 1989 Churchil, V. Ruel,Brown J. W. Variable compleja y aplicaciones. Editorial Mc Graw-Hill.1985 Larson, A., Edwards F. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa- Noriega Harvey, G. Álgebra lineal. Editorial Grupo iberoamericano.1990.

10 11. PRÁCTICAS PROPUESTAS. Graficación y resolución de problemas utilizando software ( Mathlab). Análisis y discusión en el aula de la aplicación de los conceptos teóricos en la solución en problemas de Ingeniería. Cálculo de mezclas de fertilizantes.