Algebra Lineal. Curso Segundo Cuatrimestre 2017 FACULTAD DE CIENCIAS ASTRONOMICAS Y GEOFISICAS. UNLP. Practica 2

Transcripción

1 lgebra Lineal. urso Segundo uatrimestre 27 FULTD DE IENIS STRONOMIS Y GEOFISIS. UNLP Trabajo de investigacion Practica 2 Un circuito se describe con la siguiente ecuacion diferencial: x (t) x 2 (t) = (=R + =R 2 )= =(R 2 ) =(R 2 2 ) =(R 2 2 ) x (t) x 2 (t) donde x (t) y x 2 (t) son los voltajes en los dos capacitores al tiempo t. Suponga que el resistor R es de, R 2 =2, las constantes = y 2 =.5, con cargas iniciales de 5 en el capacitor y de 4 en el capacitor 2. Encuentre las formulas para las x (t) y x 2 (t) que describan como los voltajes cambian en el tiempo. Sabiendo que sea! y =! y un sistema de ecuaciones diferenciales donde la matriz, de tama~no n x n, es diagonalizable. onsiderese que! u,! u 2,...,! u n son n vectores linealmente independientes asociados a los valores propios, 2,..., n de respectivamente. Entonces el conjunto fe x! u,e 2x! u 2,..., e nx! u n g es una base del espacio de soluciones de la ecuacuacion! y =! y Fecha de entrega: Viernes 5 de octubre Ejercicios practicos Esta practica se tratara sobre autovectores y autovalores que es una herramienta matematica muy util a la hora de resolver diversos problemas. En una clase que impartio en la Universidad de Gottingen en 95, el matematico aleman David Hilbert ( ) utilizo por primera vez el termino espectro para referirse al conjunto completo de los autovalores. De hecho, el termino fue mas que adecuado, puesto que los autovalores del

2 operador que describe los saltos de energa en un atomo, son literalmente los que vemos en el espectro del atomo. utovalores y autovectores. Polinomio caracterstico. Diagonalizacion.. Halle el polinomio caracterstico, autovalores y autovectores de las Matrices de i Pauli: x ), y ), i z ), onstruya s=h/2 y calcularle tambien los autovectores. 2. Sea T 2 End R 2R 2, dado por T (x; y) = (y; x). Halle el polinomio caracterstico, autovalores y autovectores. Interprete geometricamente. cos() sen() 3. Demuestre que si < <, la matriz no tiene autovalores sen() cos() ni autovectores reales. Interprete geometricamente. 4. T : R 3! R 3 la transformacion lineal denida por: T (x; y; z) = ( x 2y + 2z; y; x 3y 4z). Encuentre una base de R 3 tal que (T ) sea diagonal. =2 =2 5. Sea = =2 =2 la matriz que representa la transformacion lineal que proyecta cualquier vector v 2 R 3 sobre la recta de vector director (; ; ). a) nalice si es semejante sobre el cuerpo R a una matriz diagonal. En caso armativo hallar la matriz diagonal correspondiente. b) Interprete geometricamente lo hallado en a. 6. a Dena matriz diagonalizable b Sea = Indique para que valores de y la matriz es diagonalizable. 7. Sea = nalice si es semejante sobre el cuerpo R a una matriz diagonal. Idem sobre el cuerpo. En caso armativo hallar la matriz diagonal correspondiente Halle, donde = 3 (debera encontrar una matriz P que diagonalice a ) 2

3 9. Sabiendo que = T T con = alcule 6 y Encuentre la solucion del sistema, = 8 < : 2y + 2y 2 + y 3 = y y + 3y 2 + y 3 = y 2 y + 2y 2 + 2y 3 = y 3,T = con las condiciones iniciales y () =, y 2 () = y y 3 () =. Resuelva la ecuacion diferencial homogenea de tercer orden y y =, con las condiciones iniciales y()=, y () =, e y () = Realizando el cambio z = y, z 2 = y, z 3 = y. Polinomio Minimal 2. Sea T 2 End R R 3, denida por T (x; y; z) = (x; x + y; z) a. Halle el polinomio caracterstico,y el polinomio minimal. b. Halle autovalores y una base para cada espacio propio de T. c. Determine si T es o no diagonalizable Utilice las propiedades del polinomio minimal para determinar si las matrices siguientes son diagonalizables o no (considerar sobre el cuerpo R y sobre el cuerpo. 2 a. = 3 b. es una matriz cuadrada tal que 6= I y = I a 4. Sea 2 M 3 (K) la matriz = a a 2 a 3 Halle su polinomio minimal y su polinomio caracterstico. Teorema de Hamilton-ayley.. 3

4 5. Dada = utilice el teorema de Hamilton-ayley para hallar, 3 y 3 Forma de Jordan. Transformaciones lineales nilpotentes. 6. Encuentre la forma de Jordan de la matriz Escriba todas las matrices de Jordan de 4 4 posibles. 8. Determine las formas de Jordan posibles de una matriz de 4 4 cuyo polinomio caracterstico es ( + 2) 3 :( 3). 9. Determine las formas de Jordan posibles de una matriz de 5 5 cuyo polinomio minimal es ( 2) Sea T 2 End R R 4, tal que su polinomio caracterstico es ( + ) 2 ( 2) a) Indique los polinomios minimales de T, e indicar en que casos es diagonalizable. b) Si T no es diagonalizable, encuentre su forma de Jordan. 2. Dada N 6 = Demuestre que es nilpotente con ndice de nilpotencia La matriz = tiene polinomio caracterstico ( + ) 2 ( ) 2, y polinomio minimal ( + )( ) 2, por lo que no es diagonalizable. Encuentre su forma de Jordan y utilicela para encontrar (yuda: para hallar las potencias de los bloques de Jordan que son de la forma (I m +N) k utilizar el binomio de Newton y el hecho que N es una matriz nilpotente. 4

5 Ejercicios teoricos 23. Dado un cuerpo K, sea 2 M n (K) inversible. Pruebe que los autovalores de son los inversos de los autovalores de, y que los autovectores correspondientes a autovalores inversos coinciden. 24. Demuestre que los valores propios de una matriz Hermitiana son reales. a b 25. Sea = Demuestre que es diagonalizable si (a d) c d 2 + 4bc. nalice el caso que sea simetrica (b = c). 26. Sea D el operador derivacion sobre el R-espacio vectorial de las funciones derivables de R en R. Si k 2 Z; k 6=, demuestre que las funciones sen(kx) y cos(kx) son autovectores de D 2. Indique cuales son los autovalores correspondientes. 27. Sea T : R n! R n una transformacion lineal con matriz asociada respecto a la base canonica, u y v 2 R n autovectores asociados a los autovalores y. Indique justicando cuales de las siguientes armaciones son verdaderas a Para todo 2 R el vector u es un autovector asociado a b Todo vector del nucleo es autovector c El vector w = v + u es autovector de T d n es autovalor de T n con autovector asociado u e Una matriz diagonalizable es invertible 28. Dado un cuerpo K, sean y P 2 M n (K), P inversible. Demuestre que (P P ) 2 = P 2 P y (P P ) k = P k P para k un entero positivo. 29. Sea T 2 End R R 2 la transformacion lineal cuya matriz en la base canonica es : = 2 2 a. Demuestre que los unicos subespacios de R 2 invariantes por T son R 2 y. b. Si U es la misma transformacion pero en 2, cuya matriz en la base canonica es, demuestre que U tiene algun subespacio unidimensional invariante. 3. Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, sean S, T 2 End K V tales que SoT = T os. onsideremos un autovalor de T y E T () su espacio propio. Pruebe que E T () es S-invariante. 3. Sea T 2 End R R 2 la transformacion lineal cuya matriz en la base canonica es : = 2 2 5

6 y sea W el subespacio de R 2 generado por (; ) t a. Pruebe que W es T -invariante. b. Demuestre que no existe un subespacio W 2 que sea invariante tal que R 2 = W + W 2. Notacion Tensorial. 32. Escriba de forma tensorial: i) La traza de una matriz. ii) El determinante de una matriz. 33. Escriba el polinomio caracterstico en funcion de los invariantes de un tensor. 34. Responda: i) > que se denomina tensor esferico? ii) >Que expresion toman los invariantes de una matriz que esta en su espacio principal? iii) >Que expresion toman los invariantes de un tensor esferico? iv) >omo queda la ecuacion caracterstica de un tensor antisimetrico? v) >ualquier combinacion de los invariantes principales sera un invariante? vi) > que se llama represenacion espectral de un vector? vii) >omo se calcula la matriz inversa usando el teorema de Hamilton-ayley y los invariantes de un tensor? viii) >La norma de un tensor es tambien un invariante? utoevaluacion Verdadero o Falso.. Si es invertible entonces cero no es un valor propio de. 2. Los valores propios de una matriz triangular son los numeros en la diagonal de la matriz. 3. Si la matriz real de 3x3 tiene tres valores propios distintos, entonces los vectores prropios coorespondientes a esos valores propios constituyen una base para R Si la matriz de 3x3 tiene dos valores propios distintos, entonces tiene a lo mas dos vectores propios linealmente independientes. 5. Si tiene elementos reales, entonces puede tener exactamente un valor propios complejo. 6

7 6. Si det =, entonces es un valor propio de. 7. Si una matriz de nxn se tiene n valores propios diferentes, se puede diagonalizar. 8. Si la matriz de 5x5 tiene 3 valores propios diferentes, entonces no puede ser semejante a la matriz diagonal. 9. El subespacio propio contiene a todos los vectores propios asociados a y ademas al vector nulo.. El determinante de una matriz y el de su transpuesta son iguales, por lo tanto tienen el mismo polinomio caracterstico, los mismos valores y vectores propios.. La matriz I - es invertible entonces es un valor propio de. 2. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterstico y los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. 3. Una matriz es diagonalizable sii la multiplicidad algebraica de cada valor propio de la matriz, coincide con la dimension del subespacio propio correspondiente. Nota: Respuestas del Verdadero o Falso practica : V,F,V,F,V,V,V,V,V,V,V,V. 7