<Nombre de la Materia> Álgebra lineal

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1 Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México EDIA <Clave de la materia> MA1010 <Nombre de la Materia> Álgebra lineal Información general del curso Profesor Titular: Carlos Daniel Prado Pérez Correo electrónico: cprado@itesm.mx Clave de la Materia: MA1010 Nombre de la materia: Álgebra Lineal Intención del curso en el contexto general del plan de estudios: Bibliografía: Es un curso de nivel básico que tiene la intención de desarrollar en el alumno su capacidad de abstracción y la habilidad de resolución de problemas. Esto se logrará mediante la exposición a problemas que involucran el estudio de procesos que pueden ser modelados a través de sistemas de ecuaciones lineales y utilizando las herramientas de álgebra lineal. Recomienda el conocimiento previo de cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales. Como resultado del aprendizaje se espera que el alumno solucione problemas que involucren conceptos de álgebra lineal. Técnica didáctica sugerida: En este curso se sugiere emplear la metodología de resolución de problemas combinada con la técnica expositiva y el trabajo colaborativo, aprendizaje basado en problemas, haciendo énfasis en la utilización de los conceptos para resolver problemas. TEXTO: Prado, Carlos, Santiago, Rubén. Introducción al álgebra lineal, e-book. Editorial digital del Tecnológico de Monterrey, Primera edición, REFERENCIAS ADICIONALES: a) Anton, Introducción al álgebra lineal, 5ª edición, México. Limusa-Wiley. b) Lay, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones, 3ª ed. México: Pearson-Addison Wesley.

2 Objetivo general del curso: Al finalizar el alumno será capaz de: 1. Comprender los conceptos básicos de álgebra lineal, tales como: espacios vectoriales, bases, transformaciones lineales, cambio de bases, kernel e imagen de las transformaciones 2. Aplicar los conceptos de álgebra matricial, tales como: matriz transpuesta, matriz inversa etc., determinante, operación de renglones, representación de una transformación lineal por una matriz, matriz de cambio de base, sistema de ecuaciones lineales y su representación matricial, solución de un sistema lineal por medio de operaciones de matrices 3. Analizar problemas por medio de modelos basados en sistemas ecuaciones lineales. Políticas Generales del Curso Las políticas generales de conducta estarán regidas por el reglamento académico del campus Estado de México, por lo que en particular en este curso: El alumno debe conocer y respetar el reglamento general de alumnos y los reglamentos académicos correspondientes. Evitar el uso de teléfonos celulares durante la clase. Las computadoras se usarán únicamente cuando el profesor lo indique y para las actividades propias del curso. Se deberá mantener el orden e instalaciones dentro del laboratorio de cómputo en las condiciones en que este se encontraba al inicio de la clase.. Evaluación Evaluación Porcentaje Examen Quizes Tareas Actividad (1) Parcial 1 30% 70% 10% 10% 10% Parcial 2 30% 70% 10% 10% 10% Final 40% 80% 10% 10% No hay Sesiones Notas: Consideraciones generales. a) Cada profesor tendrá que hacer el ajuste en fechas de sus sesiones de acuerdo al horario de su materia. b) Como criterio general se tomó para la fecha de cada examen parcial la primera que aparece en el calendario escolar. Se pide a cada profesor hacer el ajuste pertinente a su situación. Fechas importantes:

3 Tareas Examen primer período Examen segundo período 1 por semana Examen Final Fecha asignada por Servicios Escolares Límite de registro 23 de febrero Límite de registro 12 de abril Fechas de exámenes del período 1 (8 al 19 de febrero) y período 2 (28 de marzo al 8 de abril) Semana Lunes Martes Jueves Viernes 1 7:00 ; 13:00 7:00 ; 13:00 8:30; 14:30 8:30; 14: :00; 16:00 10:00; 16:00 11:30 11:30 Sesión Fecha Tema/subtema UNIDAD I SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de ecuaciones lineales. Matrices Métodos de Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan. Representar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Utilizando el concepto de matriz ampliada. Definir las operaciones elementales entre filas. Utilizar la eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Identificar los sistemas sin solución, con solución única y con una infinidad de soluciones. Definir y resolver sistemas homogéneos de ecuaciones lineales. Inversa de una Matriz. Definir inversa de una matriz. Encontrar la inversa de una matriz a través de operaciones elementales. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: A es invertible tiene únicamente la solución trivial. Demostrar el teorema que afirma que si A es una matriz nxn invertible entonces para cada matriz B de n x 1, el sistema de ecuaciones tiene la solución. Determinantes Enunciar las propiedades de los determinantes Demostrar al menos una propiedad usando la definición. Obtener el determinante de una matriz mediante. A es una matriz n x n invertible si y sólo si det A es diferente de 0. Obtener la inversa de una matriz, utilizando el método de la adjunta. Actividades

4 7 Enunciar la regla de Cramer. Resolver sistemas de ecuaciones, utilizando la Regla de Cramer. Aplicaciones, por ejemplo, cadenas de Markov, ajuste de curvas, mínimos cuadrados. 8 Examen del primer parcial UNIDAD II ESPACIOS VECTORIALES REALES Definir espacio vectorial real Determinar si un conjunto con dos 9 operaciones, suma y multiplicación por escalar, es un espacio vectorial. Definir subespacio vectorial. Determinar si un subconjunto de un 10 espacio vectorial es subespacio vectorial. Dependencia e Independencia lineal. Definir combinación lineal y subespacio generado. Definir dependencia e independencia 11 lineal. Verificar si dado un conjunto de vectores es o no linealmente independiente. Base de un espacio vectorial. Verificar si un conjunto de vectores dado es o no una base de un espacio vectorial. 12 Definir y obtener la dimensión de un espacio vectorial dado. Dimensión de un espacio vectorial Definir el espacio de los renglones de una matriz (subespacio fila). Obtener una base para el subespacio fila. Definir y obtener las coordenadas de un vector, en una base dada. Definir producto interno. Verificar si una operación dada, definida en un espacio vectorial dado, es o no un producto interno. Enunciar y demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Definir y obtener norma, distancia y ángulo en espacios con producto interno. Enunciar las propiedades de la norma y la distancia. Vectores ortogonales. Definir conjunto ortonormal de vectores. 16 Examen del segundo parcial Definir y obtener componente de un vector, ortogonal a un espacio vectorial. Demostrar que todo espacio de dimensión 17 finita con producto interior tiene una base ortonormal, utilizando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Aplicaciones, por ejemplo, Ilustrar la 18 relación con el método de mínimos cuadrados. 19 UNIDAD III TRANSFORMACIONES LINEALES

5 Aplicaciones. Definir transformación lineal. Dada una transformación, verificar si es o no lineal. Núcleo, imagen, nulidad y rango. Demostrar el teorema que afirma que si tenemos una transformación lineal T de un espacio vectorial V en otro W entonces el núcleo de T es subespacio de V, la imagen de T es subespacio de W. Determinar una base para el núcleo e imagen de una transformación lineal. Calcular la nulidad y rango de una transformación lineal. Enunciar el siguiente teorema: La nulidad más el rango es la dimensión de V. Definir la matriz asociada a una transformación lineal, dadas las bases correspondientes a V y W. Enunciar el siguiente teorema: si A es una representación matricial de la transformación lineal, entonces la imagen de T es el espacio columna. Cambio de base. Definir y obtener la matriz de transición de una base B a una base B. Ilustrar la modificación de las coordenadas de un vector con el cambio de base. Enunciar y aplicar el teorema siguiente: si P es la matriz de transición de B a B P inversa entonces es la matriz de transición de B a B. Definir matrices semejantes (o similares). Enunciar el teorema que afirma que: A y B son representaciones matriciales de una transformación lineal de V en V, si y sólo si A y B son semejantes. 26 Examen del tercer parcial U N I D A D I V VALORES PROPIOS. Definir los siguientes conceptos: valor propio, vector propio. Ecuación característica. Espacio característico. Matrices diagonizables. Definir matriz diagonalizable. Determinar las condiciones para que una matriz sea diagonalizable. Si A es una matriz diagonalizable, encontrar una matriz P que la diagonalice. Resolver problemas que requieran el uso de valores y vectores propios por ejemplo, rotación de las secciones cónicas. 31 Cálculo de la n-ésima potencia de una

6 32 matriz diagonalizable. Aplicaciones, por ejemplo, en la genética, o poblaciones.