ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre. Parte II

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1 1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas ALGEBRA LINEAL 2015 Segundo Semestre Parte II

2 2 1. Valores y Vectores propios. Diagonalización.Forma de Jordan Polinomios Repaso P K [x] son los polinomios en la variable x con coeficientes en K. Es un anillo conmutativo con unidad. (Tiene neutro con el producto pero no hay inverso multiplicativo). Es un espacio vectorial sobre K Divisibilidad en P K [x]: Sean p y d P K [x], d 0. Se dice que p es divisible por d si existe q P K [x] tal que p = q.d. Se anota también p/d. Recordar que c K, p P K [x], entonces (x c)/p sí y sólo sí p(c) = 0. Se dice que c es raíz de p(x). Recordar también que si p es un polinomio no nulo de grado n de K [x], entonces p tiene, a lo sumo n raíces distintas.

3 3 DEFINICIÓN: Si c es raíz de p P K [x], la multiplicidad de c como raíz de p es el mayor entero r tal que (x c) r divide a p, es decir c es raíz de multiplicidad r de p sí y sólo sí (x c) r /p pero (x c) r+1 no divide a p DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo. Un ideal M de P K [x] es un subespacio vectorial de P K [x] tal que f.g M, para todo f P K [x] y para todo g M. (Un polinomio cualquiera multiplicado por uno de M debe darme un polinomio de M).

4 4 EJEMPLO 1: K cuerpo, d P K [x], fijo. M = d.p K [x] = {d.f, f P K [x]} es un ideal, llamado ideal principal generado por d. Vamos a ver que todo ideal de polinomios es principal, generado por un sólo polinomio que es el MCD entre todos los polinomios que lo generan. EJEMPLO 2: Sean d 1, d 2, d n un número finito de polinomios de P K [x], M = d 1.P K [x] + d 2.P K [x] + d n.p K [x] es un ideal de P K [x]. A M se lo llama ideal generado por d 1, d 2, d n

5 5 Teorema: Sea K un cuerpo y sea M un ideal no nulo de P K [x]. Entonces existe un único polinomio d P K [x] tal que M es el ideal principal generado por d, es decir M = d.p K [x] Demostración Corolario: Si p 1, p 2, p n son polinomios sobre un cuerpo K, no todos nulos, existe un único polinomio d P K [x] tal que: 1. d está en el ideal generado por p 1, p 2, p n 2. d/p i, i = 1, n

6 6 Cualquier polinomio que satisface los dos puntos anteriores necesariamente satisface 3. d es divisible por todos los polinomios que dividen a cada uno de los p i. DEFINICIÓN: Si p 1, p 2, p n son polinomios sobre un cuerpo K, no todos nulos, el generador mónico del ideal d 1.P K [x] + d 2.P K [x] + d n.p K [x] se llama máximo común divisor de p 1, p 2, p n. Se dice que p 1, p 2, p n son primos entre sí si su MCD es 1 (en ese caso el ideal generado por ellos es todo P K [x] DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo. Un polinomio f P K [x] es reducible sobre K si existen polinomios f, g P K [x], ambos de grado 1 tal que f = g.h. f es primo o irreducible sobre K cuando ésto no se cumple.

7 7 Teorema: Sean p, f y g polinomios sobre el cuerpo K. Supongamos que p es primo sobre K y que p/f.g. Entonces p/f o p/g. Teorema de la factorización prima: Sea K un cuerpo, un polinomio mónico no escalar de P K [x] puede factorizarse como producto de factores primos en P K [x] de manera única, salvo el orden f = p n 1 1.pn 2 2 pn k k DEFINICIÓN: El cuerpo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio primo sobre K tiene exactamente grado 1. NOTA: R no es un cuerpo algebraicamente cerrado mientras que C sí lo es

8 Introducción a valores y vectores propios Cuando vimos en el punto 2.4 Cambio de base para aplicaciones lineales vimos que dada un aplicación lineal T era posible encontrar una base tal que la matriz sea diagonal. ( ) 6 2 T = Y surge la pregunta Esto siempre es posible? T = 6 1 ( )

9 9 Dada la matriz T = ( Supongamos existe una matriz C de cambio de base tal que ) C 1 T C = T = ( α 0 0 β ) Se llega a una contradicción. No todas las matrices son diagonalizables.

10 10 Veremos que siempre es posible encontrar la forma más sencilla en que una matriz dada puede transformarse mediante un cambio de base. Esta forma más sencilla se denomina matriz de Jordan de la matriz dada. (El nombre se debe al matemático Camille Jordan ). La forma de Jordan puede usarse para clasificar las aplicaciones lineales y también para hallar potencias de matrices. T 6 = ( ) 6 como T = CT C 1

11 Subespacios invariantes. Valores y vectores propios de una aplicación lineal Dado un espacio vectorial V y una aplicación lineal T : V V, es decir T L(V ), un subespacio vectorial W de V se llama invariante respecto a L si T (W ) W, es decir la imagen T x de todo vector x W es un elemento de W. EJEMPLO 1: Sea T L(R 2 ) una aplicación lineal en R 2 cuya matriz respecto de la base { e 1, e 2 } de R 2 está dada por ( ) 2 0 T = 0 1 Entonces W 1 = {x 1 e 1, x 1 R} y W 2 = {x 2 e 2, x 2 R} son invariantes respecto de T.

12 12 En efecto y T (x 1 e 1 ) = x 1 T ( e 1 ) = x 1 (2 e 1 ) = (2x 1 ) e 1 W 1 T (x 2 e 2 ) = x 2 T ( e 2 ) = x 2 e 2 W 2 EJEMPLO 2: Sea R α una rotación de ángulo α 0 en R 3 con respecto al eje Oz. Geométricamente se observa que el plano xoy y la recta Oz son invariantes con respecto a esta aplicación. Para comprobar algebraicamente que el plano xoy es invariante obsevar que la matriz de R x con respecto a la base canónica de R 3 es R = cosα senα 0 senα cosα

13 13 EJEMPLO 3: Sea P la proyección ortogonal de R 3 sobre el plano xoy; todo plano π que contiene al eje Oz es invariante. En efecto, como la matriz de P es P = con respecto a la base canónica, y los elementos de π son de la forma v = x 1 e 1 +λx 1 e 2 +x 3 e 3, λ R, tenemos que P ( v) es de nuevo un elemento del plano π. Otros subespacios invariantes de esta proyección ortogonal son el plano xoy, el eje Oz y cualquier recta del plano xoy que pase por el origen de coordenadas. NOTA: Para cualquier aplicación lineal T L(V ) el subespacio E = { 0}, formado sólo por el elemento nulo, es invariante ya que T ( 0) = 0 y el propio espacio vectorial V es también invariante.

14 14 PROPOSICIÓN 1: La intersección y la suma de subespacios invariantes respecto de una aplicación lineal T L(V ) son subespacios invariantes respecto de T. DEFINICIÓN: Valores y Vectores propios Un vector x 0 de un espacio vectorial V sobre K se llama autovector o vector propio de una aplicación lineal T L(V ) si existe un escalar λ K tal que T ( x) = λ x; este número λ se denomina autovalor o valor propio de la aplicación T correspondiente al vector x. NOTA: Si x es un vector propio de T con autovalor λ, todo elemento no nulo del subespacio unidimensional generado por x es un autovector de T con el mismo autovalor λ.

15 15 Supongamos que una aplicación lineal T en un espacio V de dimensión n tiene n vectores propios linealmente independientes, e 1, e 2,, e n con valores propios λ 1, λ 2,, λ n respectivamente, tomando { e 1, e 2,, e n } como una base de V se tiene que T ( e 1 ) = λ 1 e 1, T ( e 2 ) = λ 2 e 2,, T ( e n ) = λ n e n y, por lo tanto, la matriz de T con respecto a esta base es la matriz diagonal T = λ λ λ n

16 16 Recíprocamente, toda aplicación lineal que tiene una matriz diagonal en una cierta base, tiene a los elementos de esta base como vectores propios. Si decimos que una aplicación lineal T L(V ) es diagonalizable si existe una base de V en la cual la matriz de T es diagonal, hemos probado el siguiente resultado: PROPOSICIÓN 3: Una aplicación lineal T L(V ) es diagonalizable sí y sólo sí existe una base de V formada por vectores propios DEFINICIÓN: Una matriz T M n n (K) se dice diagonalizable en K si la aplicación lineal T : K n K n que la tiene como matriz es diagonalizable Veremos a continuación cómo se calculan autovalores y autovectores de una aplicación lineal.

17 17 Supongamos que x es un vector propio de una aplicación lineal T en un espacio vectorial V y que λ es su autovalor, es decir T ( x) = λ x. Sea { e 1, e 2,, e n } una base de V y x = n j=1 x j e j. Si (a ij es la matriz de T con respecto a la base tenemos que n j=1 λx j e j = λ n j=1 n x j e j = λ x = T ( x) = T ( x j e j ) j=1

18 18 = n j=1 x j T ( e j ) = n j=1 x j ( n i=1 a ij e i ) = n n ( i=1 j=1 a ij x j ) e i ) Como { e 1, e 2,, e n } es una base de V se tiene (a 11 λ).x 1 + a 12.x a 1n.x n = 0 a 21.x 1 + (a 22 λ).x a 2n.x n = 0 a n1.x 1 + a n2.x (a nn λ).x n = 0 (1)

19 19 Como es un sistema homogéneo, para que exista una solución no nula debe ocurrir que Det(T λi) = 0, donde I denota la matriz identidad. Esto es una ecuación de grado n en λ y sus soluciones en K (R o R) son los autovalores de T. Si V es un espacio vectorial complejo, por el teorema fundamental del álgebra la ecuación anterior tiene n soluciones complejas contando cada una con su multiplicidad. Si V es un epacio vectorial real, no podemos asegurar que la ecuación anterior tenga n soluciones reales. EJEMPLO 1: Determinar los valores y vectores propios de la aplicación lineal de T : V V, V = R 2, que tiene como matriz, T = ( )

20 20 Al polinomio Det(T λi) se lo denomina polinomio característico de la aplicación T o de la matriz T. Este polinomio no depende de la base elegida. Para demostrar esto, sea P B (λ) = Det(T λi) el polinomio característico de la aplicación T en la base B = { e 1, e 2,, e n } como una base de V y sea P{ B (λ) = Det(T λi) el polinomio característico de T en la base B = e 1, e 2,, e m} ; si C es la matriz del cambio de base, sabemos que T = CT C 1, y se tiene (dem) P B (λ) = P B (λ) Esto prueba que el polinomio característico no depende de la base elegida en V para representar T.

21 21 EJEMPLO 2: Determinar los valores y vectores propios de la aplicación lineal que corresponde a la rotación de ángulo α que tiene como matriz, ( ) cosα senα R α = senα cosα con respecto a la base canónica de R 2 EJEMPLO 3: Idem para una rotación de ángulo α en R 3 con respecto al eje Oz, que tiene como matriz, R = cosα senα 0 senα cosα

22 22 La proposición 3 nos da una condición necesaria y suficiente para saber cuándo una aplicación lineal es diagonalizable, a saber, que exista una base del espacio vectorial V formada por vectores propios. En algunos casos puede resultar laborioso encontrar esta base. Una condición que es suficiente para poder asegurar la diagonalizaciónde una matriz está contenida en la proposición siguiente: PROPOSICIÓN 4: Los vectores propios de una aplicación T correspondientes a valores propios distintos dos a dos, son linealmente independientes Demostración NOTA: La condición Det(T λi) = 0 es equivalente a que T λi no es inyectivo, o sea N(T λi) 0

23 23 EJEMPLO 4: Estudiar si las matrices son diagonalizables. EJEMPLO 5: Sea A = 0 α 0 α A = ( ) 0 1 T = 1 0 Analizar para qué valores de α R la matriz es diagonalizable.

24 24 Sea T L(V ). Al subespacio de vectores propios correspondientes a λ se lo llama espacio propio asociado a λ y se lo anota E(λ) = N(T λi) E(λ) contiene todos los vectores propios correspondientes a λ junto con el vector 0 De los resultados ya vistos se tiene que E(λ) es un subespacio vectorial de V y dim(e(λ)) = dim(v ) dim(im(t λi)) = dim(v ) r(t λi)

25 25 Teorema: Sea T L(V ), V de dim <. Sean λ 1, λ 2,, λ n los autovalores distintos de T. Son equivalentes: 1. T es diagonalizable 2. Si el polinomio característico de T es (x λ 1 ) α 1(x λ 2 ) α 2 (x λ n ) α n entonces α i = dim(e(λ i )) Corolario: Si T es diagonalizable y λ 1, λ 2,, λ k los autovalores distintos de T, entonces V = E(λ 1 ) E(λ 2 ) E(λ k )

26 26 Teorema: Sea T L(V ), V de dim <. Si T es diagonalizable y λ 1, λ 2,, λ k son los autovalores distintos de T, entonces existen E 1, E 2,, E k aplicaciones lineales tales que 1. E 1 + E E k = I 2. T = λ 1 E 1 + λ 2 E 2, λ k E k 3. E i oe j = 0 i j 4. E 2 i = E i, 1 = 1, 2,, k 5. Im(E i ) = E(λ i ) Por lo anterior, si T = λ 1 E 1 + λ 2 E 2, λ k E k T 2 = T (λ 1 E 1 + λ 2 E 2, λ k E k ) = (λ 1 E 1 + λ 2 E 2, λ k E k )(λ 1 E 1 + λ 2 E 2, λ k E k ) T 2 = λ 2 1 E 1 + λ 2 2 E 2, λ 2 k E k

27 27 Por ejemplo T 2 + T 3 = (λ λ3 1 )E 1 + (λ λ3 2 )E 2 + (λ 2 k + λ3 k )E k o sea si P (x) = (x 2 + x 3 ) P (T ) = P (λ 1 )E 1 + P (λ 2 )E P (λ k )E k En general, si P P K [x] y T es diagonalizable, entonces P (T ) = P (λ 1 )E 1 + P (λ 2 )E P (λ k )E k Cuándo P (T ) = 0?

28 28 P (T ) = 0 sí y sólo sí P (λ 1 ) = P (λ 2 ) = = P (λ k ) = 0 P anula al operador T sí y sólo sí λ i es raíz de P para todo i = 1, 2,, k sí y sólo sí (x λ i )/P i = 1, 2,, k sí y sólo sí (x λ 1 )(x λ 2 ) (x λ k )/P DEFINICIÓN: Sea T una aplicación lineal cualquiera sobre un espacio vectorial V sobre K. Se llama anulador de T { } Anul(T ) = P P K [x] P (T ) = 0 NOTA: Anul(T ) es un subespacio vectorial de P K [x]

29 29 PROPOSICIÓN 5: Anul(T ) es un ideal de P K [x] Demostración Corolario: Si Anul(T ) 0 entonces existe m P K [x] tal que Anul(T ) = m.p K [x] NOTA: Anul(T ) 0 Si dim(v ) = n, dim(l(v, V )) = n 2. Luego I, T, T 2,, T n son n operadores lineales de L(V, V ), entonces existe una combinación lineal con escalares no todos nulos tales que α 0 I + α 1 T + α 2 T α n 2T n2 = 0 Sea P (x) = α 0 + α 1 x + α 2 x α n 2x n2 = 0 P K [x] P 0 y P (T ) = 0 y entonces Anul(T ) 0

30 30 DEFINICIÓN: Se llama polinomio minimal de T al polinomio generador del ideal Anul(T ) y lo simbolizamos m T NOTA: m T se caracteriza por 1. m T (T ) = 0 2. m T es mónico y es el de menor grado que anula a T 3. Si P (T ) = 0 entonces m T /P EJEMPLO 6: T = El polinomio característico es P (λ) = (λ 2) 2 (λ 1) Y se puede verificar que m T (T ) = (T 2I)(T 1I) = 0, y entonces el polinomio minimal es m T (λ) = (λ 2)(λ 1) Hallar la matriz que diagonaliza a T.

31 31 NOTA: Anul(T ) = Anul((T ) B ) ya que para P P K [x], (P (T )) B = P ((T ) B ) pues si P (x) = α 0 + α 1 x + α 2 x α n x n P (T ) = α 0 + α 1 T + α 2 T α n T n (P (T )) B = α 0 I + α 1 (T ) B + α 2 (T ) 2 B + + α n(t ) n B = P ((T ) B) NOTA: Anul((T ) B ) = Anul((T ) B ) PROPOSICIÓN 6: Sea T L(V ), V espacio vectorial sobre K. Sea P P K [x], T ( v) = λ v, v 0. λ K, entonces P (T ) v = P (λ) v Demostración

32 32 Teorema: Sea T una aplicación lineal sobre un espacio vectorial de V de dim <. El polinomio característico y el polinomio minimal tienen las mismas raíces. Demostración Teorema: Sea T una aplicación lineal sobre un espacio vectorial de V de dim <. Sean λ 1, λ 2,, λ k los autovalores distintos de T. T es diagonalizable sí y sólo sí m T (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ k ) Demostración Si v es un autovector, entonces, uno de los operadores (T λ 1 I), (T λ 2 I),, (T λ k I) al aplicarlo a v da 0. Por lo tanto (T λ 1 I)(T λ 2 I) (T λ k I)v = 0

33 33 para todo autovector. Como existe una base de autovectores, se tiene que p(t ) = (T λ 1 I)(T λ 2 I) (T λ k I) = 0 (es el operador nulo por anularse en un base) falta la vuelta Teorema de Cayley-Hamilton: Sea T una aplicación lineal sobre un espacio vectorial de V de dim <. Si P C es el polinomio característico de T, entonces P C (T ) = 0 Demostración Sea { v 1, v 2,, v n } una base de V y sea A la matriz que representa a T en la base dada. Entonces T v i = n j=1 A ji v j, 1 i n Estas ecuaciones pueden escribirse en forma equivalente

34 34 n (A ji I δ ij T )v j = 0, 1 i n j=1 Sea B K n n con elementos B ij = δ ij T A ji I Cuando n = 2, ( ) A11 I T A B = 21 I A 12 I A 22 I T y det(b) = (A 11 I T )(A 22 I T ) A 12 A 21 I det(b) = T 2 (A 11 + A 22 )T + (A 11 A 22 A 12 A 21 )I det(b) = f(t ) donde f es el polinomio característico

35 35 f = λ 2 (traza(a))λ + det(a) Para n > 2, también se tiene det(b) = f(t ), ya que f es el determinante de la matriz (A λi) cuyos elementos son los polinomios (A λi) ij = A ij δ ij Se quiere ver que f(t ) = 0, y para eso es necesario y suficiente ver que det(b)v k = 0 para 1 k n Por la definición de B, los vectores v 1, v 2,, v n satisfacen n j=1 B ij v j = 0, 1 i n Cuando n = 2, ( A11 I T A 21 I A 12 I A 22 I T ) ( v1 v 2 ) = ( 0 0 )

36 B B = ( det(b) 0 0 det(b) ) 36 Luego, se tiene (det(b)) ( v1 v 2 ) = B (B = ( 0 0 = B B ( v1 v 2 ) ) ) ( v1 v 2 ) En el caso general, se tiene que, como n j=1 B ij v j = 0, 1 i n n B ki B ij v j = 0

37 37 n i=1 n j=1 B ki B ijv j = 0 n n ( j=1 i=1 B ki B ij)v j = 0 Ahora B B = det(b)i. con lo que n i=1 B ki B ij = δ ij det(b) Por lo tanto n j=1 δ kj (det(b))v j = 0 = (det(b))v k, 1 k n

38 38 Teorema de la descomposición prima: Sea T una aplicación lineal sobre un espacio vectorial de V de dim <. Sea m T (λ) el polinomio minimal de T cuya factorización prima es m T (λ) = p r 1 1 pr 2 2 pr k k los p i son los polinomios primos en P K [λ], todos distintos. Sea W i = Nu(p r i i (T )). Entonces 1. V = W 1 W 2 W k 2. Cada W i es invariante por T (T (W i ) W i ) como poli- 3. Si T i = T W i ( W restringido a W i ), entonces T i tiene a p r i i nomio minimal Demostración EJEMPLO 1 : (hecho en clase) Aplicar el TDP a T =

39 39 Por el TDP p 1 = (λ 2) 2, (r 1 = 2) y p 2 = (λ 1), (r 2 = 1) W i = Nu(p r i i (T )). W 1 = Nu(p r 1 1 (T )) = Nu(T 2I)2. Una base de W 1 es (1, 1, 2), (1, 1, 0) ((1, 1, 2) es base de Nu(T 2I)) W 2 = Nu(p r 2 2 (T )) = Nu(T 1I) = E(1). Una base es (1, 0, 2) En la base B = (1, 1, 2), (1, 1, 0)(1, 0, 2). Como, T (1, 1, 2) = 2(1, 1, 2), T (1, 1, 0) = (4, 4, 4) = 2(1, 1, 2) + 2(1, 1, 0) y T (1, 0, 2) = (1, 0, 2) la matriz de T es casi diagonal! y se tiene que V = R 3 = W 1 W 2 (T ) B =

40 40 EJEMPLO 2 : (hacer) T : V V, V = R 5 y m T (λ) = (λ 2 + 1)(λ 1)(λ + 1) 2 W 1 = Nu(p r 1 1 (T )) = Nu(T 2 + I) W 2 = Nu(p r 2 2 (T )) = Nu(T 1I) = E(1) W 3 = Nu(p r 3 3 (T )) = Nu(T + I)2 V = R 5 = W 1 W 2 W 3 NOTA: Si aplicamos el teorema anterior en el caso que T sea un operador diagonalizable se tiene que m T (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ k ) donde λ 1, λ 2,, λ k son los autovalores distintos de T y entonces, W i = Nu(T λ i I) = E(λ i ) V = E(λ 1 ) E(λ 1 ) E(λ k ) (ver Corolario de la página 25)

41 41 DEFINICIÓN: Sea N una aplicación lineal sobre un espacio vectorial V. Se dice que N es nilpotente si existe algún entero positivo r tal que N r = 0. Se tiene el siguiente resultado: Teorema: Sea T una aplicación lineal sobre un espacio vectorial de V de dim <. Supongamos que m T (x) = (x λ 1 ) r 1 (x λ 2) r 2 (x λ k) r k. Entonces existe un operador D diagonalizable y N un operador lineal nilpotente tal que 1. T = D + N 2. DN = ND k 1.4. Forma de Jordan de matrices de orden 2 Sea T L(V ), V espacio vectorial de dimensión dos, y supongamos su matriz, en cierta base es ( ) a b T = c d

42 42 Su polinomio característico es P (λ) = (a λ)(d λ) cb con lo que P (λ) = 0 es una ecuación de grado 2 en la variable λ y se tendrán dos casos diferentes según las dos soluciones sean iguales o distintas. 1. Caso I Las raíces del polinomio característico son distintas λ 1 λ 2. En este caso la matriz T es diagonalizable. (ver...). Su forma de Jordan es J = ( λ1 0 0 λ 2 y T = P JP 1 donde la matriz P del cambio de base tiene en sus columnas las coordenadas de vectores x e y Nu(T λ i I), i = 1, 2 respectivamente 2. Caso II Las raíces del polinomio característico coinciden λ 1 = λ 2 En este caso, si Nu(T λ 1 I) tiene dimensión 1, no podremos encontrar una base de autovectores en V y se tiene el siguiente resultado: )

43 43 Lema: Si T tiene dos autovalores iguales λ, (T λ i I) 2 = 0 Demostración Sea E 1 = Nu(T λi) y E 2 = Nu(T λi) 2, el lema anterior nos dice que E 2 coincide con el espacio vectorial V que estamos considerando y es de dimensión dos. Como E 1 tiene dimensión 1 podemos encontrar u 2 E 2 E 1, tomar u 1 = (T λi) u 2. u 1 y u 2 son linealmente independientes ya que u 1 E 1, u 2 / E 2 y ninguno de ellos es el vector nulo. Como V es un espacio de dimensión 2, u 1 y u 2 forman una base de V. En esta base tenemos, (T λi) u 1 = 0 T u 1 = λ u 1 (T λi) u 2 = u 1 T u 2 = u 1 + λ u 2

44 44 con lo que la matriz de la transformación lineal en esta base es ( λ 1 0 λ ) Se pueden resumir estos resultados en la siguiente proposición, en donde K designa el cuerpo de los números reales o el de los complejos PROPOSICIÓN: Dada una matriz T M 2 2 (K) siempre puede encontrarse una matriz J M 2 2 (K) de una cualquiera de las formas ( ) ( ) λ1 0 λ 1 o 0 λ 2 0 λ con λ 1, λ 2 K y una matriz P M 2 2 (K) tal que T = P JP 1 La matriz J se denomina matriz de Jordan de T.

45 Forma de Jordan de matrices de orden 3 Ahora veremos lo anterior para aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión 3. Servirá para comprender los resultados teóricos necesarios para obtener la forma de Jordan en espacios vectoriales de cualquier dimensión. Intentaremos reducir la matriz a su forma de Jordan. Sus autovalores son λ 1 = 2 (simple) y λ 2 = 2 (doble) E 1 (2) = Nu(T 2I) = α α K

46 E 1 ( 2) = Nu(T + 2I) = α α K 46 Como E 1 (2) + E 1 ( 2) no llena todo el espacio no podemos elegir una base de autovectores. Se debe realizar un trabajo análogo al realizado en el caso de raíces iguales para matrices de orden 2. Calculamos E 2 ( 2) = Nu(T + 2I) 2. Es el subespacio vectorial de dimensión 2, E 2 ( 2) = Nu(T + 2I) 2 = α β α, β K Como E 1 (2) + E 2 ( 2) llena todo el espacio podemos elegir una base de V de manera que la matriz de T en esta base sea sencilla.

47 47 Sea u 3 = un vector de E 2 ( 2) que no está en E 1 ( 2) y tomemos u 2 = (T + 2I) = { u 1, u 2, u 3 } es una base y en esa base la expresión para la aplicación que tiene a T como matriz es T u 1 = 2 u 1, T u 2 = 2 u 1, T u 3 = u 2 2 u 3

48 Teorema de clasificación de Jordan Denominamos matriz elemental de Jordan de orden k y autovalor λ C a la matriz de orden k cuyos elementos son todos nulos, excepto los de la diagonal principal, que valen λ y los situados inmediatamente encima de la diagonal principal que son unos. Por ejemplo: J 1 (λ) = (λ) J 2 (λ) = y así sucesivamente. ( λ 1 0 λ ) J 3 (λ) = λ λ λ

49 49 Se llama matriz de Jordan a cualquier matriz cuadrada formada por yuxtaposición de matrices elementales de Jordan a lo largo de la diagonal, de la forma donde J ij = λ i λ i λ i J 1j J 2j J nj Un operador T puede expresarse en la forma canónica de Jordan si sus polinomios característico y minimal se factorizan en polinomios lineales. Esto siempre es verdader si el cuerpo K es C. Análogamente toda matriz es semejante a una matriz en forma canónica de Jordan.

50 NOTA: La matriz J se llama forma canónica de Jordan del operador T. A J ij se lo llama bloque de Jordan correspondiente al valor propio λ i. 50 Teorema de Jordan: Sea T L(V ) cuyos polinomios característico y minimal son respectivamente, P (λ) = (λ λ 1 ) n 1(λ λ 2 ) n 2 (λ λ k ) n k m T (λ) = (λ λ 1 ) m 1(λ λ 2 ) m 2 (λ λ k ) m k donde los λ i son distintos. Entonces T tiene una representación matricial J que es diagonal por bloques. Para cada λ i los bloques correspondientes J ij tienen las siguientes propiedades: 1. Existe al menos un J ij de orden m i, los demás J ij son de orden m i 2. La suma de los órdenes de los J ij es n i 3. La cantidad de J ij es igual a la multiplicidad geométrica de λ i (dimensión de E(λ i ) 4. La cantidad de J ij de cada orden posible está determinado únicamente por T.

51 51 EJEMPLO: Supongamos P (λ) = (λ 2) 4 (λ 3) 3 y m T (λ) = (λ 2) 2 (λ 3) 2 Se quiere hallar su matriz de Jordan aplicando el teorema anterior: Como m 1 = m 2 = 2 existe al menos un bloque de orden 2 para cada λ, λ 1 = 2 y λ 2 = 3. La suma de los órdenes de los bloques para λ 1 = 2 es n 1 = 4 y para λ 2 = 3 es n 2 = 3 La cantidad de bloques es la multiplicidad geométrica. Para λ 2 = 3, hay un bloque de orden 2 y uno de orden 1. Para λ 1 = 2 hay 2 posibilidades, dependiendo de su multiplicidad geométrica:

52 52 En el primer caso, la multiplicidad geométrica es 2, hay 2 bloques de orden 2. En el segundo, la multiplicidad geométrica es 3, hay 3 bloques, 1 de orden 2 y 2 de orden 1. Observar que la cantidad de 1 en la matriz de Jordan corresponde a la resta: multiplicidades algebraicas - mult. geométricas. 3 = en el primer caso y 2 = en el segundo.