b) En qué se diferencia la gráfica de un elipsoide que tiene un par semiejes iguales, con la de otro elipsoide cuyos semiejes son todos distintos?

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1 Unidad Trabajo Práctico Superficies en 3D 01 CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA SUPERFICIES Es necesario que sepas: - operar con expresiones algebraicas - resolver sistemas de ecuaciones e interpretar sus soluciones - graficar en 3D: puntos, rectas paralelas a los ejes, planos - acotar curvas y superficies Seguramente, necesitarás consultar: Anexos a Superficies 3D. Problemas para resolver 1) Teniendo en cuenta lo estudiado, respondé a las siguientes cuestiones, justificando tu respuesta cuando sea necesario: a) Escribí las ecuaciones canónicas de los elipsoides de semiejes a, b y c, que cumplen con las siguientes condiciones: i) El centro coincide con el origen de coordenadas. ii) El centro es el punto C(α;β;γ). iii) El eje x es su eje de revolución. iv) La intersección entre la cáscara y el plano z = 0 es una circunferencia radio r. v) Sus semiejes son iguales entre sí. b) En qué se diferencia la gráfica de un elipsoide que tiene un par semiejes iguales, con la de otro elipsoide cuyos semiejes son todos distintos? c) Cómo se determina el eje principal de un elipsoide, en caso de que exista? d) Qué ocurre con el eje principal de un elipsoide con centro en el origen si a = b y a > c? (Ayuda: graficá un elipsoide con estas características y observá lo que ocurre cuando se corta la cáscara con cualquier plano paralelo al plano xy). ) a) A partir de la siguiente información, obtené la ecuación canónica de un elipsoide y graficá. i) C (1,8,3) ; siendo a = 6, b =, c = ii) C (0,0,-10) ; siendo a = 1, b = 1, c = 5 iii) C (5,-5,1) ; siendo a = 3, b = 3, c = 1 b) Respondé, justificando tu respuesta: i) Alguno de estos elipsoides es una superficie de revolución? ii) Alguno de ellos es una esfera? iii) Es posible que un elipsoide tenga más de un eje de revolución? Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 1

2 Sup3D_TP Análisis geométrico del Museo Marítimo de Osaka, de Paul Andreu. Completemos el análisis comenzado en el Trabajo Práctico 1. Actividades: a) Da la ecuación de la superficie exterior y las cotas que sean necesarias. b) Da las ecuaciones del piso del edificio y de la elipse central al nivel del mar. Recordá que se trata de una elipse en el espacio XYZ. c) Da la ecuación de la base del edificio sobre el fondo del mar Qué rango de valores toma la variable z? Modelización: Retomemos el modelo simplificado de la obra que utilizamos en la unidad anterior y agreguemos los supuestos que sean necesarios, teniendo en cuanta que trabajaremos ahora en tres dimensiones: El edificio es una esfera seccionada, cuyo radio es de 0 m. El semieje mayor de la elipse central mide 0 m y el semieje menor mide 10 m. La base del edificio se encuentra sumergida a una profundidad de 10,3 m. Como origen de coordenadas se adoptará el centro de la esfera. El nivel del mar coincide con el plano que divide a la esfera justo a la mitad. IMPORTANTE: Recordá que en la WAC hay material adicional sobre la obra.. Considerá un hiperboloide de una hoja de eje x, con centro en el punto P(-1,0,1) y cuyas constantes toman los siguientes valores: a = 6, b = 3, c = 3. a) Expresá su ecuación canónica y graficalo. b) Da las ecuaciones de la garganta y del eje de revolución. c) Qué se obtiene si se corta al hiperboloide el plano y = -3? d) Qué se obtiene si se corta al hiperboloide el plano z = -3? e) Cómo debe acotarse la variable x si se quiere cortar la superficie de modo que la misma resulte simétrica y tenga 1 unidades de largo total? 5. a) La superficie anterior es una superficie de revolución? Justificá tu respuesta. b) Qué es lo que cambia en la ecuación dada si ahora se pide que el eje sea vertical? 6. La siguiente es una Lámpara Hiperbólica diseñada por R. Sapper (Holanda). h 1 Supongamos las siguientes dimensiones para la lámpara: - Altura total: 50 cm. - h : 18 cm. - Diámetro mínimo: cm. - Diámetro máximo superior: 1 cm. h IMPORTANTE: Deben quedar claramente explicitados en la resolución del problema: La ubicación del origen del sistema coordenado. Los supuestos realizados para modelizar la situación. Las cotas necesarias. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP

3 Sup3D_TP013 a) Escribí la ecuación de la superficie. Recordá elegir el sistema de coordenadas que te resulte más conveniente. b) Según la ecuación propuesta en a): El hiperboloide es de revolución? Por qué? c) Dimensioná una caja con forma de prisma rectangular para comercializar este producto. 7. Escribí la ecuación canónica del paraboloide elíptico que cumpla con las condiciones que se indican en cada ítem y graficá la superficie para cada caso: a) Tiene eje y, vértice en el punto P(,-5,3) y constantes a = 8, b = -, c =. b) Tiene eje x, vértice en el origen de coordenadas, cuando x = 5 se obtiene la elipse y + z = c) Tiene eje vertical, c = 1, vértice en el punto P(3,-3,0), es circular y pasa por el punto Q(5;1;5). 8. Escribí las ecuaciones canónicas de los paraboloide hiperbólicos que cumplan con las condiciones que se indican en cada ítem y graficá la superficie para cada caso: a) De eje y, con vértice en el origen, a = b = c = 1 Hay una única solución? Justificá tu respuesta. b) De eje y, con vértice en (0;0;), pero ahora con a = 1, b = 3, c = 6 Hay una única posibilidad? Justificá tu respuesta. c) De eje z, con vértice en (0;0;0), a =, b =, c = -1. La intersección entre la superficie y el plano yz es la parábola 1 z = y.. Dada la ecuación: x ( y 5) ( z ) + = a) Qué superficie representa? b) Da sus elementos y graficala. c) Hallá las intersecciones con los tres planos coordenados. d) Qué curva resulta como intersección entre la superficie y cada uno de los siguientes planos?: y = 1 ; x = ; z = 10. Da la ecuación del cono en cada caso y graficá: a) Es de eje x, con vértice en el origen de coordenadas, siendo a =, b = c =. b) Es de eje y, con vértice V(;;-3), b = 1, cuya intersección con el plano xz es la curva ( x ) ( z + 3) + = Dada la ecuación: x y = 1 a) Qué representa en el plano xy? Qué representa en el espacio? b) Graficá estimativamente en 3D. 1. Un galpón de planta rectangular tiene 1 m de ancho y 0 m de largo. Si la cubierta es de sección parabólica Cuál es la ecuación que representa a la cubierta si las paredes tienen 3 m de altura y el punto más alto de la construcción está a m? 13. Qué representan en el espacio las siguientes ecuaciones? Cuáles de ellas son cuádricas? Cuáles de ellas podrían representarse también en un plano? Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 3

4 Sup3D_TP013 a) ( + ) y + z = 1 b) 1 z 6 x = 0 c) z = sen (y) 8 16 d) ( x 1) ( z + 1) = 1 e) y x = 3 z f) x = y g) x = cos (3 y) h) ( x 1) ( z + 1) = 0 i) x = y 1. Volviendo al apunte teórico de la Unidad, respondé las siguientes consignas: a) Qué es una superficie de revolución? b) Es posible afirmar que una superficie es de revolución, analizando únicamente su ecuación? Cómo te das cuenta si es así? c) Qué es una superficie reglada? d) Completá la tabla con ejemplos de superficies en 3D que consideres adecuadas para cada caso. Escribí la ecuación correspondiente. Superficies de revolución Superficies que no son de revolución Superficies regladas Superficies no regladas 15. Análisis de objetos de diseño. Las imágenes muestran mobiliario urbano. Imagen 1 Banco Yacaré, diseñado por Diana Cabeza Medidas del cilindro: 00 x 5 x cm. (largo x ancho x alto) Imagen Cesto, diseñado por J. Decaer Medidas del cilindro*: Radio = 0 cm.; Altura = 80 cm. Medidas de la semiesfera*: Radio = 0 cm. * Medidas supuestas por la Cátedra a) Qué superficie te permitiría describir lo más fielmente posible cada uno de los objetos? Mencioná los supuestos que creas necesarios. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP

5 Sup3D_TP013 b) Escribí las ecuaciones de las superficies propuestas en el inciso anterior con respecto a un sistema de ejes coordenados cuyo origen esté ubicado en un punto conveniente. c) Da el rango de valores adecuado para las variables x, y, z. IMPORTANTE: Tanto el origen del sistema de ejes como las cotas y los supuestos, deben quedar claramente explicitados en la resolución del problema. 16. Análisis geométrico de la Torre Agbar, del Arq. Jean Nouvel En el Trabajo Práctico 1, hemos analizado la planta de esta obra. Realicemos ahora el estudio tridimensional de la misma. a) Da la ecuación de aquellas curvas y/o superficies estudiadas que resulten convenientes para la descripción del edificio. b) Hallá las intersecciones entre las superficies anteriores y los planos coordenados. c) Comprobá, mediante algunas secciones paralelas al plano xy (por lo menos dos), que las ecuaciones halladas se ajustan a las medidas reales. d) Da la intersección entre cada una de las superficies que componen el edificio y los planos: I. x = ; II. y = 37/ ; III. z = 1. e) Cuál es la intersección entre las dos superficies que describen la cáscara exterior del edificio? Modelización: Retomemos el modelo simplificado de la obra que utilizamos en la unidad anterior y reformulemos los supuestos necesarios para trabajar en tres dimensiones: Ubicá el sistema de coordenadas en la misma posición que en el problema 1 del TP de cónicas. La parte inferior del edificio, tanto exterior como interior, está formada por cilindros elípticos de secciones E 1 (cilindro envolvente), E y E 3 (que conforman el cilindro interior). En el TP de cónicas, están las dimensiones y los centros de las mismas. La parte superior, tanto exterior como interior, son mitades de elipsoides, de ejes focales verticales. Información sobre las alturas de las distintas partes del edificio: - Altura total: 1 metros - Altura del cilindro exterior: 76,50 metros - Altura del semi-elipsoide exterior: 65,50 metros - Altura de los cilindros interiores: 105,55 metros - Altura del semi-elipsoide interior: 6,5 metros IMPORTANTE: Recordá que en la WAC hay material adicional sobre la obra. 17. A modo de cierre: elaboren un resumen del tema estudiado. Pueden hacer también una lista de preguntas, dudas o problemas que se les hayan presentado durante esta unidad y discutirlos, en clase, con tu docente y tus compañeros. Ejercicios adicionales Para colaborar con tu proceso de estudio del tema, te proponemos que resuelvas el TP de problemas adicionales que hemos elaborado y que está disponible en WAC, en Información General y Contenidos/Unidad. El archivo se denomina Problemas_adicionales_Sup3D. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU-UNLP 5