1 Ecuación de la recta en el plano
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- María Rosa Serrano Ayala
- hace 6 años
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1 1 Ecuación de la recta en el plano Supongamos que tenemos para de nir la recta,un punto que pertenece a la misma P 0 y un vector paralelo a ella A: P 0 (x 0 ; y 0 ) 2 r y A (ax ; a y ) q r OP = OP 0 + P 0 P el vector OP 0 se puede obtener ya que el punto P 0 es dato pero el vector P 0 P no lo conocemos pues el punto P es un punto genéricode la recta y puede estar e cualquier lugar de ella. Sin embargo por ser el vector A q r y por estar el vector P 0 P r podremos decir que A q P 0 P, luego ambos vectores serán proporcionales. P 0 P = A nalmente escribiremos la Forma Vectorial de la recta OP = OP 0 + A 1
2 1.1 Forma paramétrica vectorial de la recta OP = OP 0 + A (x; y) = (x 0 ; y 0 ) + (a x ; a y ) x = x0 + a x y = y 0 + a y 1.2 Forma simétrica de la recta x = x 0 + a x y = y 0 + a y despejamos e igualamos = x x 0 a x = y y 0 a y x x 0 a x = y y 0 a y 1.3 Forma General o implícita de la recta Partiendo de la forma simétrica x x 0 a x = y y 0 a y a y (x x 0 ) = a x (y y 0 ) a y x a y x 0 = a x y a x y 0 a y x a x y a y x 0 + a x y 0 = 0 si de nimos A = a y B = a x C = a y x 0 + a x y 0 la ecuación quedará 2
3 Ax + By + C = 0:::Forma General atento a la composición de los parámteros A y B vemos que la pendiente quedará de nida como m = A B 1.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P 0 (x 0 ; y 0 ) 2 r y P 1 (x 1 ; y 1 ) 2 r OP = OP 0 + P 0 P reemplazamos P 0 P por P 1 P 0 OP = OP 0 + P 1 P 0 (x; y) = (x 0 ; y 0 ) + (x 1 x 0 ; y 1 y 0 ) x = x0 + (x 1 x 0 ) y = y 0 + (y 1 y 0 ) Forma paramétrica 3
4 x x 0 = y y 0 x 1 x 0 y 1 y 0 Forma simétrica si continuamos operando y y 0 = ( y 1 y 0 x 1 x 0 ) (x x 0 ) pero ( y 1 y 0 ) = m pendiente, luego x 1 x 0 y y 0 = m (x x 0 ) o bien y = mx mx 0 + y 0 resultando de la forma y = mx + b::forma explícita 1.5 Forma segmentaria Ahora bien, supongamos que se nos presenta el caso de una recta que está dada por dos puntos A(a) y B(b) siendo ellos donde la recta corta los ejes coordenados. Vemos que las coodenadas de los mismos serán A(a; 0) y B(0; b) apliquemos ahora la expresión de la forma simétrica de la recta que pasa por dos puntos x x a = y y a x b x a y b reemplazando y a x a + 1 = y b, nalmente x a 0 a = y 0 b 0 x a + y b = 1 ::Forma segmentaria esta forma tiene la particularidad de evidenciar los puntos de corte sobre los ejes. 4
5 Ejemplo: Dados los puntos A(3; 2) y B( 4; 6), se pide hallar las formas vectorial, paramétrica, simétrica,explícita y segmentaria de la recta que determinan los mismos. (x; y) = (x a ; ya) + (x b x a ; yb ya) (x; y) = (3; 2) + ( 4 3; 6 2) (x;y)=(3,2)+(-7;4)::::::::::::formavectorial 4(x 3) = 7(y 2) 4x 12 = 7y + 14 x = 3 7 y = ::::::::Forma Paramétrica x 3 7 = y 2...Forma Simétrica 4 y = 4 7 x Forma Explícita 4x + 7y = 26 4x + 7y 26 = 0... Forma Implícita o General x y 26 7 = 1...Forma Segmentaria 4 7 x
6 y x Forma Normal Tomaremos como parámetros mormales n y, donde n = Distancia de la recta al origen medida en la dirección normal a la misma ( vector N ) = ángulo que determina el vector N con el eje X Deberemos encontrar la expresión de un punto P (x; y) genérico (que pertenezca a la recta) en función de nuestros dos parámetros normales. se puede observar que n = OP cos($ ) n = OP (cos $ cos + sen$ sen) donde OP cos $ = x n = OP cos $ cos + y OP sen$ = y OP sen$ sen 6
7 nalmente x cos +y sen -n=0:::::forma Normal Aplicación de la foma Normal Qué sucede cuándo el punto P (x; y) NO pertenece a la recta sino que por el contrario es un un punto cualquiera del plano? El razonamiento es análogo al anterior, veamos. n + d = OP cos($ ) n + d = OP (cos $ cos + sen$ sen) donde n + d = OP cos $ cos + OP sen$ sen OP cos $ = x y OP sen$ = y 7
8 nalmente x cos +y sen -n=d donde d es la distancia entre el punto y la recta Finalmente vemos que si reemplazamos las coordenadas de un punto en la expresión Normal de la recta se presentan dos casos x cos +y sen -n=0 el punto pertenece a la recta x cos +y sen -n= d con d 6= 0 d será la distancia de P a la recta r : Pasaje de la forma implícita a la Normal Consideremos dos expresiones de una misma recta, una en forma General y otra en forma Normal r Ax + by + C = 0 r x cos + y sen n = 0 8
9 los coe cientes de las mismas A $ cos ; B $ sen; C $ n, por representar la misma recta deberán guardar la misma relación de proporcionalidad. Si determinamos com h al valor de dicha proporción, tendremos de donde A cos = B sen = C n = h cos h = A (1) sen h = B (2) n h = C (3) elevando al cuadrado (1) y (2) y sumando (cos 2 + sen 2 ) h 2 = A 2 + B 2 obtenemos h = 2p A 2 + B 2 nalmente, reemplazado h en (1)(2) y(3) cos = A 2p A2 + B 2 ; sen = B 2p A2 + B 2 ; n = C 2p A2 + B 2 Conclusión: Si partimos de una recta dada en forma general r Ax + by + C = 0 la transformaremos en Normal dividiéndola por - 2p A 2 + B 2 Nótese el signo menos que afecta a la raíz, indica que debemos considerar a la misma con el signo contrario del término independiente C Ejemplo Calcular la diatancia del punto P (4; 6) a la recta 3x + 4y 2 = 0 1. obtenemos la expresión Normal de la recta 3x + 4y 2 2p = 0 3x + 4y 2 5 = 0 9
10 calculemos su distancia al punto P 3(4) + 4(6) 2 = d = 34 5 el signo positivo en la distancia nos indica que la recta se encuentra entre el origen de coordenadas y el punto x y x
11 1.6 Ejercitación 1. Hallar las ecuaciones vectorial,paramétrica,simétrica,segmentaria, implícita y explícita de la recta determinada por los puntos A( 3; 4) y B(1; 2):Gra car. x = (rta.(x; y) = ( 3; 4) + (4; 2),, y = 4 2 x+3 4 = y 4 2, y = x , y x 5 = 1) 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P 0 y tiene pendiente m y gra car en los siguientes casos. (a) P 0 ( 4; 3) y m = 1 2 (b) P 0 (0; 5) y m = 2 (c) P 0 (2; 0) y m = 3 4 (rta. x 2y + 10 = 0; 2x + y 5 = 0; 3 4 x y 3 2 = 0) 3. Hallar y gra car la recta que pasa por los puntos A( 2; 3) y B(4; 2) (rta. 5y 5x + 8 = 0) 4. Hallar y gra car la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0 (2; 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(4; 1) y B( 2; 2): (rta. x 2 6 = y + 3) 5. Hallar el valor del parámetro k de forma que : (a) 3kx + 5y + k 2 = 0 pase por el punto P ( 1; 4):Gra car (b) 4x ky 7 = 0 tenga pendiente m = 3:Gra car (c) kx y = 3k 6 tenga de abscisa en el origen 5.Gra car (rta.k = 9; k = 4 3 ; k = 3) 6. Hallar las ecuaciones de las rectas de mendiente m = 3 4 que formen con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de 24 unidades cuadradas de super cie.gra car (rta.y = 3 4 x 6) 7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x; y) que disten el doble de la recta x = 5 que de la recta y = 8:Gra car (rta. x + 2y 21 = 0; x 2y + 11 = 0) 8. Reducir a la forma normal (a) p 3x + y 9 = 0 (b) 3x 4y 6 = 0 11
12 (c) x + y + 8 = 0 (rta. p 3 2 x + y = 0; 3 5 x 4 5 y 6 x+y+8 5 = 0; p 2 = 0) 9. Hallar la distancia d de (a) 8x + 15y 24 = 0 a P ( 2; 3) (b) 6x 8y + 5 = 0 a P ( 1; 7) (rta.d = 5; d = ) 10. Hallar el valor de k para que la distancia de la recta 8x + 15y + k = 0 al punto P (2; 3) sea igual a 5 unidades.gra car (rta. k = 146) 11. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta r 1 2x + 7y 3 = 0 en su intersección con la recta r 2 3x 2y + 8 = 0:Gra car. (rta. y = 7 2 x 8) 12. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta r 1 4x + y 1 = 0 que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x 5y + 3 = 0 y x 3y 7 = 0.Gra car (rta.y = x 4 6 = 0) 13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de r 1 3x 2y + 10 = 0 y r 2 4x + 3y 7 = 0 y por el punto P (2; 1):Gra car. (rta. 22x + 25y 69 = 0) 14. Dada la recta 5x 7y + 11 = 0:Escribir la ecuación que representa todas las rectas paralelas a ella. A partir de ésta hallar la ecuación de la recta paralela que pase por el punto P (4; 2):Gra car (rta.5x 7y + k = 0; 5k 7y 6 = 0) 15. Hallar la ecuación de la recta en forma general sabiendo que la intersección con los ejes XeY es 3 y -5 respectivamente. (rta.5x 3y 15 = 0).Gra car 16. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0:Gra car (rta.k = 4) 17. Determinar el varlor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2,5 unidades cuadradas. (rta.k = 10) 18. En un círculo de centro en el origen y radio igual a 5 hallar la forma normal de la ecuación de su tangente en el punto (-3,4). (rta. 3 5 x y 5 = 0) 12
13 19. Dada r 5x 7y 11 = 0:Reducir su ecuación a la forma normal y hallar los valores de n y $: 20. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyos lados se encuentran sobre las rectas de ecuación 2x+3y = 0; x+3y+3 = 0; x+y+1 = 0:Gra car 21. Escribir la ecuación de la recta que pasa por P ( 2; 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(0; 1)yB(1; 5) 22. Escribir la ecuación de la recta que pasa por P (6; 3) y es perpendicular a la recta determinada por los puntosa(1; 2)yB(0; 5): 23. Los vértices de un triángulo son A( 3; 2); B(3; 0)yC(5; 5):Determinar (a) i. las ecuaciones de los lados ii. las ecuaciones de las alturas iii. gra car 24. Dados los cuatro puntos A( 1; 1); B(4; 1); C(2; 6)yD( 3; 4):veri car que ABCD es un cuadrado y hallar la ecuación de sus lados y las de sus diagonales. Gra car. 25. Los vértices de un triángulo son A(4; 5); B( 4; 1)yC(8; 5): Hallar las coordenadas del punto de intersección de sus alturas. Gra car. 26. Determinar la ecuación de la recta que pasa por P (3; 2) y por el punto de intersección de 2x + y 2 = 0 y 4x 3y + 12 = 0: (rta. x + 3y 9 = 0) 27. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de las rectas y = 2x + 1 y 3x + y 11 = 0 es paralela a la recta x 4 + y 2 = 1:Gra car. 28. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x 4y + 12 = 0 y 2x y 2 = 0 y es perpendicular al segmento determinado por A(6; 0) y B(8; 2):Graf icar 29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2; 1) y por el punto de intersección de 5x 2y 10 = 0 y x + 2y 8 = 0:Gra car. 30. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de las rectas x y +1 = 0 y 2x+y 7 = 0 determina con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área 12 unidades cuadradas. 31. Dadas las rectas r 1 y r 2 : Hallar las ecuaciones de las rectas r perpendicular a r 1 y rperpendicular a r 2 :Gra car (rta.r 0 y = 6 x; r 00 y = 4x 14) 32. Dados r y = 2x y P 0( 1; 3):Se pide 13
14 (a) Ecuación de la recta que pasa por P 0 y es paralela a la dada.gra car (b) Ecuación de la recta que pasa por P 0 y es perpendicular a la dada.gra car (rta. y = 2x + 5; y = 1 2 x ) 14
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