2.5 Oscilaciones libres de la Tierra

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Claudia Martín Reyes
hace 6 años
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1 Sismología Oscilaciones libres de la Tierra Para cortos longitudes de onda, que son pequeñas en comparación con el tamaño de la Tierra, podemos considerar ondas sísmicas en términos de la propagación de una onda en un medio sin límites. Para ondas con largos períodos debemos tomar en cuenta el tamaño finito de la Tierra y, en el lugar de la teoría de rayos, usamos modos normales. Usando una buena aproximación, se considera la Tierra como una esféra homogénea, isotrópica, elástica y sin rotación. Este problema se soluciona en coordenadas esféricas con los desplazamientos escritos en términos de un potencial escalar Φ y un vectorial Ψ. El potencial vectorial se expresa en términos de dos potenciales que son los productos del vector unitario en la dirección radial y tangencial. u = Φ+ Ψ = Φ+ Sr+ Tr (2.26) Esto separa el desplazamiento en el movimiento de ondas-p (Φ), el movimiento de ondas-sv (S) y el movimiento de ondas-sh (T). Para la esfera de la Tierra, la ecuación de movimiento de Navier es α 2 ( u) β 2 u = ü (2.27) La solución de (2.27) está expresada en coordenadas esféricas con el desplazamiento u dado en términos de potenciales de forma Φ(r,θ,φ) = j l (k α r) l=0 l m= l Y m l (θ,φ) (2.28) donde Yl m (θ,φ) = Pl m (cosθ)e ±imφ son las funciones armónicas esféricas asociadas de índice angular l e índice azimutal m y j l (k α r) son funciones esféricas de Bessel. Las soluciones para las otras componentes de movimiento tienen formas similares. Para cada valor de l existen 2l +1 valores de m. La solución general es una suma sobre todos los modos, pero la solución puede estar separada en modos esferoidales Sl m que involucran los potenciales P y SV (Φ y Sr), y en los modos toroidales Tl m que involucran el potencial SH (T r. Para los modos toroidales, la condición de borde de la superficie libre es σ rφ = 0 y se puede escribir la parte radial de la solución en términos de las funciones esféricas de Bessel: k β aj l+1 (k β a) = (l 1)j l (k β a) (2.29) donde a es el radio de la Tierra. Esta tiene un número infinito de soluciones, entonces esa condición de borde introduce un tercer índice, n, y la solución total para los modos toroidales se escribe como n Tl m. Para cada valor de l, n = 0 es el modo fundamental y n 1 son los modos superiores. l es el orden de la función de Legendre asociada y describe la distribución de desplazamiento con θ, m describe la dependencia del desplazamiento con el ángulo azimutal φ, y n es el número de raíces en la dirección r y corresponde al número de modos del desplazamiento radial. Los modos esferoidales, n Sl m, son similares salvo que ellos involucren movimiento vertical.

2 Sismología 18 Fig 18: Arriba: La variación en desplazamiento radial para los modos esferoidales. Centro: La variación en desplazamiento azimutal para los modos toroidales. Abajo: El desplazamiento radial con profundidad para el modo fundamental y los primeros tres modos superiores.

3 Sismología 19 Fig 19: El espectro de la componente radial, con los modos esferoidales visible, de 240 horas de datos del terremoto de 2004 Sumatra-Andaman (Mw=9.1), registrado en la estación ARU (en Rusia). El modo S2 0 se grafica con una escala extendida para mostrar su forma con 5 cimas (asociada con el orden azimutal (m) que tiene valores entre -2 y 2 (S2,S 2 2,S 1 2,S 0 1 2,S 2 2 ).

4 Sismología 20 Fig 20: (Izquierda): La modificación del patrón de las ondas estacionarias debido a una estructura aesférica. (Derecha): El espectro de cuatro modos de bajos grados armónicos que muestran multipletes. Arriba se muestra el efecto de esas dobles frecuencias y abajo, una modificación para la estructura aesférica de la Tierra.

5 Sismología La correspondencia entre rayos y modos Hay una correspondencia, entre la representación usando modos y la representación usando rayos, para ondas de una cierta frecuencia de fase c. El punto de doblamiento del rayo (la parte lo más baja de la trayectoria) está a una profundidad donde β = c; es decir, la dependencia con x 3 cambia de una región oscilatoria a una región donde hay un decaimiento exponencial. La representación usando rayos implica que la onda no siente la estructura bajo del punto de doblamiento del rayo. En la representación usando modos, la onda actualmente es influenciada por esta estructura. Fig 21: La aproximación de rayos asume que el rayo no es sensible a la estructura bajo del punto del doblamiento del rayo. Actualmente esta profundidad representa la profundidad en que la solución usando modos cambia a decaimiento exponencial; entonces el modo es influenciado por esta estructura.

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