Procesamiento Digital de Señales CE16.10L2. Tema 2. Señales en Tiempo Discreto

Transcripción

1 Procesamiento Digital de Señales CE16.10L2 Tema 2. Señales en Tiempo Discreto

2 Sinusoides La función seno y coseno son esencialmente las mismas señales, excepto que están separadas por únicamente un ángulo de fase de 90. Otras propiedades importantes que necesitamos conocer son:

3 Exponenciales Complejas t=-0.04:0.001:0.04; plot(t, imag(x), 'r'); grid x=20*exp(j*(80*pi*t-0.4*pi)); title('rojo Componente Imaginario, Azul - plot3(t, real(x), imag(x)); grid Componente Real de la Exponencial ) title('20*e^{j*(80\pit-0.4\pi)}') xlabel( Tiempo );ylabel( Amplitud ) xlabel( Tiempo, s'); ylabel('real'); zlabel('imag') plot(t, real(x), 'b'); hold on Hay una diferencia de fase de π/2 entre las componentes

4 Señales Discretas Una secuencia de longitud N es frecuentemente referida como una secuencia de N puntos. La longitud de una secuencia de longitud finita puede ser incrementada rellenándola con ceros. Una secuencia a la derecha x[n] tiene muestras igual a cero para n<n1. Si N1>0, una secuencia a la derecha es llamada secuencia causal. Una secuencia a la izquierda x[n] tiene muestras igual a cero para n>n2. Si N2<0 una secuencia a la izquierda es llamada secuencia anti-causal.

5 Señales en tiempo discreto: Impulso Unitario (secuencia)

6 Señales en tiempo discreto: Impulso Unitario (secuencia) Usando la propiedad anterior, cualquier secuencia puede ser generada en función de impulsos

7 Señales en tiempo discreto: Escalón Unitario (secuencia)

8 Señales en tiempo discreto: Secuencia Exponencial Secuencia Exponencial: Donde A y α son números reales o complejos.

9 Señales en tiempo discreto: Secuencia Exponencial Las partes de una secuencia exponencial compleja son secuencias sinusoidales reales con amplitud: constante (σ0=0), creciente (σ0>0) y decreciente (σ0<0) para n>0.

10 Señales en tiempo discreto: Secuencia Exponencial Un caso especial de la señal exponencial que es muy comúnmente usada en DSP: A=constante real y α=jω0 es puramente imaginaria: Si A y α son puramente real, entonces tenemos una secuencia exponencial real

11 Periodicidad La secuencia secuencial y la secuencia exponencial compleja son secuencias periódicas de periodo N si donde N y r son enteros positivos. El valor mas pequeño de N que satisface es el periodo fundamental de la secuencia. Cualquier secuencia que no satisfaga esta condición es aperiódica. Para verificar lo anterior, consideremos

12 Periodicidad Debemos de recordar que cualquier señal sinusoidal o exponencial continua es periódica, sin embargo, no todas las secuencias sinusoidales discretas lo son: Una secuencia discreta en tiempo es periódica con periodo N, si y únicamente si, existe un entero m, tal que mt0 es un entero, donde. En otras palabras, debe ser satisfecha con N y r enteros, o N/r debe ser un numero racional. Propiedades de las señales discretas: Propiedad 1: Por lo tanto x[n] y y[n] son indistinguibles

13 Propiedades de las señales discretas Que significa esto? Dos secuencias exponenciales periódicas discretas son indistinguibles, si sus frecuencias angulares están 2πk separadas una de otra. Intente el siguiente código de tarea: n=-1000:1000; x=exp(j*2*pi*0.01*n); plot(n, real(x)) y=exp(j*2*pi*2.01*n); %note que ωy[n]= ωx[n]+ 2π hold plot(n, real(y),'r')

14 Sistemas Propiedad 2: La frecuencia de oscilación de se incrementa conforme ω0 se incrementa de 0 a π, y entonces se decrementa conforme ω0 se incrementa de π a 2π. Por lo tanto las frecuencias en la frontera de ω=0 o 2πk son llamadas bajas frecuencias, mientras que las frecuencias en la frontera de ω=π o π(2k+1) son llamadas altas frecuencias. Notemos que las frecuencias alrededor de ω=0 y ω=2π son ambas bajas frecuencias. De echo ω=0 y ω=2π son ambas frecuencias idénticas. Debido a estas 2 propiedades una frecuencia en la frontera de ω=2π es indistinguible de una frecuencia en la frontera de ω=2π+/ 2πk

15 Ejemplo n=-50:50; x=cos(pi*0.1*n); y=cos(pi*0.9*n); z=cos(pi*2.1*n); subplot(311) plot(n,x) title('x[n]=cos(0.1\pin') grid subplot(312) plot(n,y) title('y[n]=cos(0.9\pin)') grid subplot(313) plot(n,z) grid title('z[n]=cos(2.1\pin)') xlabel('n')

16 Frecuencia Discreta Recordemos que una señal discreta puede ser obtenida de una señal continua en tiempo por medio del proceso de muestreo: Tomar una muestra cada Ts segundos. Cuando el tiempo es discretizado, que sucede con la frecuencia? Consideremos lo siguiente: (donde usaremos Ω para representar la frecuencia continua, y ω la frecuencia discreta)

17 El Proceso de Muestreo Recordemos: Si la unidad del periodo de muestreo Ts esta en segundos..... La unidad de tiempo discreto n es muestra (o solo un índice sin unidades) La unidad de la frecuencia angular digital es ω es radianes/segundo La unidad de la frecuencia angular análoga Ω es radianes/segundo La unidad de la frecuencia análoga f es Hert (Hz)

18 Convolución Discreta La convolución es la operación mas usada en DSP s pero también es mal usada y causa de confusión. La parte central de cualquier sistema DSP esta dado por:

19 Convolución Discreta Merece una atención especial estudiar la dependencia n de y[n]: Donde para cada valor de n, la sumatoria de la convolución debe ser calculada en forma separada para todos los valores de la variable m. De tal forma que para cada n : 1. Renombramos la variable independiente como m. Ahora tenemos x[m] y h[m]. Invertimos en tiempo h[m] desde el origen. Esta es h[-m]. 2. Desplazamos h[-m] a la izquierda tanto como sea posible a un punto n, donde las señales apenas se toquen. Esta es h[n-m]. 3. Multiplicamos las dos señales y sumamos para todos los valores de m. El resultado es la suma de convolución para el n especifico que tomamos anteriormente. 4. Desplazamos/Movemos h[-m] a la derecha en 1 muestra, y obtenemos una nueva h[n-m]. Multiplicamos y sumamos para toda m. 5. Repetimos los pasos 2-4 hasta que h[n-m] no se traslape con x[m].

20 Ecuaciones Útiles Las siguientes expresiones son frecuentemente útiles en el calculo de las convoluciones de señales discretas en forma analítica.

21 Ejemplo de la Convolución

22 Ejemplo

23 Ejemplo en Matlab Matlab tiene la función de convolución conv( ) Pero debemos ser cuidadosos de manejar el índice de tiempo n=-3:7; x=0.55.^(n+3); h=[ ]; y=conv(x,h); subplot(311) stem(x) title( Señal Original ) subplot(312) stem(h) % Usa stem para secuencias discretas title( Respuesta al Impulso / Segunda Señal ) subplot(313) stem(y) title( Convolución Resultante )

24 FIN