Sistemas en Tiempo Discreto

Transcripción

1 Sistemas en Tiempo Discreto Dr. Luis Javier Morales Mendoza Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG Índice 3.1. Introducción 3.2. Áreas de aplicación de los sistemas discretos 3.3. Clasificación de los Sistemas Discretos 3.4. Representación de sistemas discretos mediante diagramas a bloques Tareas Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2 1

2 Introducción 3.1. Introducción Un sistema en tiempo discreto es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal como se muestra en la Figura 1. en el cual, una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n) a través de la transformación T[.]. Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algún número de formas diferentes. x(n) T[.] y(n) = T[x(n)] Figura 1. Sistema Discreto en tiempo como una transformación T[.] que mapea una señal de entrada x(n) en una señal de salida y(n) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3 Áreas de Aplicación 3.2. Áreas de Aplicación Algunos ejemplos de sistemas discretos son: Radar Sonar Equipos biomédicos tales como -Tomógrafos -Econógrafos -Resonancia Magnética -Electrocardiógrafos -etc Computadores Equipos industriales Equipos militares Etc. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4 2

3 Áreas de Aplicación Procesamiento de Voz Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Áreas de Aplicación Procesamiento de Video Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6 3

4 Áreas de Aplicación Trafico WEB Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Áreas de Aplicación El Radar de Apertura Sintética (SAR) Resolución en Rango (Tiempo) Resolución en Azimuth (Espacio) Estrecho de Gibraltar Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 4

5 Áreas de Aplicación El Radar de Apertura Sintética Inverso (ISAR) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9 Áreas de Aplicación El Radar de Penetración Dr. Luis Javier Morales Mendoza 10 5

6 Áreas de Aplicación Sistemas Biomédicos (Ultrasonido) Arreglos de sensores Dr. Luis Javier Morales Mendoza 11 Áreas de Aplicación Sistemas Biomédicos Tomografías Resonancia Magnética Dr. Luis Javier Morales Mendoza 12 6

7 Áreas de Aplicación Detección de Derrames de Petróleo en el Mar Dr. Luis Javier Morales Mendoza 13 Áreas de Aplicación Verificación de Cultivos Dr. Luis Javier Morales Mendoza 14 7

8 Áreas de Aplicación Radio Astronomía Dr. Luis Javier Morales Mendoza 15 Áreas de Aplicación Verificación de zonas Inundadas por Ríos Límites Dr. Luis Javier Morales Mendoza 16 8

9 Áreas de Aplicación Análisis de los Fenómenos Naturales Erupción del Popocatepetl Huracan Ivan en las costas de Yucatán Dr. Luis Javier Morales Mendoza 17 Áreas de Aplicación Aplicación en la Cartografía Hospital de Pemex Prepa Salamanca FIMEE Salamanca, Gto. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 18 9

10 Áreas de Aplicación Investigación y Prevención Criminal Dr. Luis Javier Morales Mendoza 19 Áreas de Aplicación Protección Civil: Combate al Fuego Radares de penetración para la detección temprana de personas atrapadas por el fuego en edificios. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 20 10

11 Áreas de Aplicación Detección de Contaminantes CO y CO 2 Industrias Automóviles Dr. Luis Javier Morales Mendoza 21 Clasificación de los Sistemas 3.3. Clasificación de los Sistemas Discretos Tanto en el análisis como en el diseño de sistemas es conveniente realizar una clasificación de los mismos según las propiedades generales que lo satisfacen. De hecho, las técnicas matemáticas que se desarrollan para analizar y diseñar sistemas en tiempo continuo dependen fuertemente de las características generales de los sistemas que se consideren. Por esta razón, es necesario desarrollar una serie de propiedades y categorías que puedan usarse para describir las características generales de los sistemas en tiempo discreto. Se debe destacar que, para que un sistema disponga de una propiedad determinada, está debe cumplirse para cada señal posible en la entrada del sistema. Si una propiedad se satisface para algunas señales de entrada pero no para otras, el sistema no posee tal propiedad. En ese caso, un contraejemplo es suficiente para demostrar que un sistema no posee tal propiedad. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 22 11

12 Clasificación de los Sistemas Sin embargo, para demostrar que el sistema tiene alguna propiedad, se debe probar que esta propiedad se cumple para cualquier señal de entrada posible Sistemas Estáticos y Sistemas Dinámicos Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas y/o futuras en la entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Si la salida del sistema en el instante n está determinada completamente por las muestras de entrada en el intervalo de n N a n, entonces, se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Por otro lado, si N = 0, se dice que el sistema es estático. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 23 Clasificación de los Sistemas Si N se encuentra en el intervalo de [0, ), entonces se dice que el sistema tiene memoria finita, y finalmente, si N =, entonces se dice que el sistema tiene memoria infinita. Ejemplo 1. Determine si los siguientes sistemas Discretos son estáticos (sin memoria) ó dinámicos (con memoria) a) y(n) = ax(n) b) y(n) = nx(n) + bx 3 (n) Estáticos o sin memoria c) y(n) = x(n + 1) + 3x(n 1) d) y( n) = x( n k) n k = 0 Dinámicos o con memoria Dr. Luis Javier Morales Mendoza 24 12

13 Clasificación de los Sistemas Sistemas invariantes e variantes en el tiempo Un sistema se dice invariante en el tiempo si sus características de entrada y salida no cambian con el tiempo. Para entender esto, supóngase que se tiene el sistema T[.] en reposo y que, cuando es excitada con una señal x(n), produce una señal de salida y(n). Entonces, se puede escribir ( n) T[ x(n) ] y = (1) Supóngase ahora que esa misma entrada es retardada k unidades de tiempo para dar lugar a x(n k), y de nuevo se aplica al mismo sistema. Si las características del sistema no cambian con el tiempo, la salida del sistema del sistema en reposo será y(n k), es decir, la salida será la misma que la correspondiente a la entrada x(n), excepto que este estará retardada las mismas k unidades de tiempo que se retardó la entrada. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 25 Clasificación de los Sistemas Esto conduce a definir un sistema invariante en el tiempo o invariante ante desplazamientos de la siguiente forma: Teorema: un sistema en reposo T[.] es invariante en el tiempo o invariante a desplazamientos si y solo si x T ( n) y( n) x( n 1) y( n 1) para toda señal de entradas x(n) y todo desplazamiento temporal k. Para determinar si un sistema dado es invariante en el tiempo, necesitamos realizar el test especificado en la definición precedente. Básicamente, excitamos al sistema con una secuencia de entrada arbitraria x(n) que produce una salida y(n). En seguida, se retarda la señal de entrada la cantidad k y se recalcula la salida. En general, se puede escribir la salida como y ( n, k) = T[ x( n k)] T (2) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 26 13

14 Clasificación de los Sistemas Si la salida cumple con y(n,k) = y(n 1), para todos los valores de k, el sistema es invariante en el tiempo. En cambio, si la salida no cumple para un valor de k, el sistema es variante en el tiempo Ejemplo 2. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son variante o invariantes en el tiempo a) Sol. y ( n) = x( n) x( n 1) y ( n k) = x( n k) x( n k 1) y como: y ( n, k) = x( n) x( n 1) y ( n k) = y( n, k) Es un sistema Invariante en el tiempo Dr. Luis Javier Morales Mendoza 27 Clasificación de los Sistemas b) y ( n) = nx( n) y( n k) = ( n k) x( n k) y( n k) = nx( n k) kx( n k) como: y ( n, k) = nx( n) y ( n k) y( n, k) Es un sistema Variante en el tiempo. c) y( n) = x( n) como: y( n k) = x( n k) y( n, k) = x( n) y ( n k) y( n, k) Es un sistema Variante en el tiempo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 28 14

15 Clasificación de los Sistemas Sistemas Lineales y No-Lineales Los sistemas, en general, pueden subdividirse en lineales y no lineales. Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. De forma sencilla se puede decir que el principio de superposición exige que la respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las señales de entrada. En otras palabras, un sistema T[.] es lineal si para dos entradas x 1 (n) y x 2 (n) y dos constantes a y b se cumple la siguiente propiedad [ ax n) bx ( n) ] = at[ x ( n)] bt[ x ( )] T + + (3) 1( n Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x 1 (n) y x 2 (n), y cualesquiera constantes arbitrarias a y b. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 29 Clasificación de los Sistemas El principio de superposición dado en la relación (3) se puede expresar en dos partes. Para la primera parte, se supone que b = 0, entonces se reduce a [ ax ( n) ] at[ x ( n) ] T 1 = 1 Esta relación muestra la propiedad de multiplicación ó escalonado de un sistema lineal. Esto es, si la respuesta del sistema a x 1 (n) es y(n), entonces la respuesta del sistema ax 1 (n) es simplemente ay(n). Por tanto, cualquier escalonado de la entrada produce un escalonado igual de la salida correspondiente. Para la segunda parte, se supone que a = b = 1, entonces de tiene [ x ( n) + x ( n) ] = T[ x ( n) ] T[ x ( n) ] T Esta relación muestra la propiedad aditiva de un sistema lineal. La propiedad aditiva y multiplicativa definen el principio de la superposición tal y como se aplica a los sistemas lineales. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 30 15

16 Clasificación de los Sistemas Si un sistema produce una salida distinta a cero cuando la entrada es cero el sistema no está en reposo o es no lineal. Ejemplo 3. Determine para cada uno de los sistemas discretos si son lineales o no-lineales. a) b) y ( n) = nx( n) y ( n) = T[ nx( n) ] y ( n) = nt[ x( n) ] Es un Sistema Lineal en el tiempo. 2 y ( n) = x( n ) 2 y ( n) = T[ x( n )] 2 y ( n) = T[ x( n )] Es un Sistema Lineal en el tiempo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 31 Clasificación de los Sistemas [ ] 2 2 c) y( n) = x ( n) y( n) = T x ( n) Es un Sistema No-Lineal en el tiempo. d) y( n) = exp( x( n) ) y( n) = T[ exp( x( n) )] Es un Sistema No-Lineal en el tiempo. e) ( n) = ax( n) b ( n) = T[ ax( n) b] y ( n) = at[ x( n) ] + b y + y + Es un Sistema Lineal en el tiempo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 32 16

17 Clasificación de los Sistemas Sistemas Causales y No Causales Teorema: Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante n (es decir y(n)) depende solo de las entradas presentes y pasadas (es decir, de x(n), x(n 1), x(n 2),...). En términos matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecuación de la forma y n = F x n, x n 1, x n 2,... (4) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] donde, F[.] es una función arbitraria. Si un sistema no satisface esta definición se dice que no es causal. En un sistema no causal, depende no solo de las entradas pasadas y presentes sino también de las futuras. Es evidente que un sistema en tiempo real no se dispone de las entradas futuras de la señal y, por lo tanto, un sistema no causal no puede ser implementado físicamente. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 33 Clasificación de los Sistemas Por otra parte, si la señal se graba de manera que el procesado no se realiza en tiempo real, es posible implementar sistemas no causales, ya que todos los valores de la señal se encuentran disponibles en el momento del procesado. Este es, a menudo, el caso de señales geofísicas e imágenes. Ejemplo 4. De los siguientes sistemas, determine si son causales o no. Explique ampliamente. a) y ( n) = x( n) x( n 1) Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y pasadas en el tiempo. b) y ( n) = x( n) + 3 x( n + 4) Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el tiempo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 34 17

18 Clasificación de los Sistemas c) y( n) = x( n) Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras pasadas en el tiempo. d) n ( n) = y x( k) k = Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y pasadas en el tiempo. e) 2 ( n) x( n ) y = Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el tiempo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 35 Clasificación de los Sistemas Sistemas Estables e Inestables La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerada en cualquier aplicación práctica de un sistema. Los sistemas inestables presentan un comportamiento errático y extremo que es causa del desbordamiento del sistema en aplicaciones prácticas. Aquí se define matemáticamente lo que se quiere decir con un sistema estable y, sus consecuencias de esta definición en sistemas invariantes con el tiempo. Teorema: Un sistema arbitrario en reposo se dice que es limitada en la entrada y salida (BIBO, bounded input bounded output), si y solo si toda la entrada acotada produce una salida acotada. Matemáticamente, el acotamiento de las secuencias de entrada y de salida, x(n) e y(n), se traducen en la existencias de un par de números finitos, digamos M x y M y, tales que Dr. Luis Javier Morales Mendoza 36 18

19 Clasificación de los Sistemas x ( n) M < y ( n) M < x y (5) Si para alguna entrada acotada x(n) la salida no es acotada (es infinita), el sistema se clasifica como inestable. Ejemplo 5. Se considera un sistema no-lineal descrito mediante la siguiente relación de entrada-salida: y(n) = y 2 (n 1) + x(n), con la entrada del sistema la señal acotada definida como x(n) = Cδ(n), donde C es una constante y además y( 1) = 0. Entonces la secuencia de salida es, y(0) = C, y(1) = C 2, y(2) = C 4,..., y(n) = C 2n Claramente, la salida no está acotada si 1 < C <. Por lo tanto, el sistema es inestable dado que la entrada acotada a producido una salida no acotada. y Dr. Luis Javier Morales Mendoza 37 Representación de Sistemas 3.4. Representación de sistemas discretos mediante diagramas de bloques Es de importancia introducir los conceptos de la representación de los sistemas en tiempo discreto mediante diagramas a bloques debido a que puede de alguna forma simplificar la tarea de implementación de dichos sistemas en esquemas computacionales. Con este fin se definirán algunos bloques básicos que pueden ser interconectados para formar sistemas complejos. Nodo Derivador de Señal. La Figura 12. muestra como una señal x(n) puede ser derivada en dos líneas diferentes a través del nodo Derivador x(n) x(n) x(n) Figura 12. Nodo Derivador de señal Dr. Luis Javier Morales Mendoza 38 19

20 Representación de Sistemas Sumador. La Figura 13. muestra un sistema que realiza la suma de dos señales x 1 (n) y x 2 (n) para formar otra secuencia (en suma) denotada por y(n). Obsérvese que no es necesario almacenar ninguna de las secuencias para realizar la suma. En otras palabras, es una operación sin memoria. x 1 (n) + y(n) = x 1 (n) + x 2 (n) x 2 (n) Figura 13. Sumador de Señal Escalado. Esta operación se muestra en la Figura 14; consiste simplemente en aplicar un factor de escala a la entrada x(n). Obsérvese que se trata también de una operación sin memoria. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 39 Representación de Sistemas x(n) a y(n) = ax(n) Figura Multiplicador por una Constante Multiplicador. La Figura muestra la multiplicación de dos señales, x 1 (n) y x 2 (n) para formar otra secuencia (en producto), que se denota en la figura por y(n). Como en los casos previos, la operación de multiplicación de señales es una operación sin memoria. x 1 (n) y(n) = x 1 (n)x 2 (n) x 2 (n) Figura Multiplicador de señal Dr. Luis Javier Morales Mendoza 40 20

21 Representación de Sistemas Retardador de Señal. El retardador de señal es un sistema especial que retraza una posición la señal que pasa por él. La Figura muestra este sistema. Si la señal de entrada es x(n), la salida es x(n 1). De hecho, la muestra x(n 1) se almacena en memoria en el instante n 1 y se extrae de la memoria en el instante n para formar y(n) = x(n 1), por tanto, el bloque básico si tiene memoria. El uso del símbolo z 1 para denotar el retardador de una muestra de la señal se entenderá al estudiar la transformada z. x(n) z 1 y(n) = x(n 1) Figura Retardador de Señal Adelantador de Señal. Al contrario que el retardador de señal, el adelantador de señal adelanta una muestra a la entrada x(n) en tiempo para producir x(n + 1). Dr. Luis Javier Morales Mendoza 41 Representación de Sistemas La Figura muestra esta operación, el operador z se usa para denotar el avance de una muestra en el tiempo. Debe observarse que dicho avance es imposible en tiempo real, dado que, de hecho, implica conocer el futuro de la señal. Por otra parte, si almacenamos la señal en un ordenador, se dispone de todas las muestras en cualquier momento. En aplicaciones de estas características, que no se desarrolla en tiempo real, es factible adelantar la señal x(n) en el tiempo. x(n) z y(n) = x(n + 1) Figura Adelantador de señal Aquí se presentan la implementación en bloques de algunos sistemas en tiempo discreto que son ampliamente utilizados en el procesamiento, las cuales son: Dr. Luis Javier Morales Mendoza 42 21

22 Representación de Sistemas Dr. Luis Javier Morales Mendoza 43 Representación de Sistemas Ejemplo 6. Utilizando los bloques básicos obtenga el diagrama a bloques del sistema discreto dada la siguiente relación de entrada y salida Dr. Luis Javier Morales Mendoza 44 22

23 Representación de Sistemas Dr. Luis Javier Morales Mendoza 45 Representación de Sistemas Dr. Luis Javier Morales Mendoza 46 23

24 Representación de Sistemas Dr. Luis Javier Morales Mendoza 47 Tarea 3.5. Tarea 1. Determine las propiedades de los siguientes sistemas discretos 1 ( n) = cos[ x( n) ] h4 ( n) = x( n + 2) h7 ( n) = x( 2n) h 5( n) = x( n) h ( n) = x( n) u( n) h n ( ) n = x( k) k= h3 n = x n cos ω0 h ( ) ( ) ( n) ( n) = x( n) + nx( n ) h Realice la implementación de los siguientes sistemas discretos y y ( n) = y( n 2) + 3y( n 1) + 3x( n) 2x( n 1) + 2x( n 2) ( n) = x( n) x( n 1) + y( n 1) ( n) = x( n 2) + x( n + 2) x( n) y Dr. Luis Javier Morales Mendoza