Guia 4. Transformada de Laplace

Transcripción

1 Guia 4. Transformada de Laplace 1. Encontrar la transformada de Laplace de la función f(t) = e αt [Asen(ωt)+Bcos(ωt)]. 2. Encontrar la transformada de Laplace de g(t) = d2 f(t) 2 si L[f(t)] = F(s). 3. Transformar al dominio de la variable s la función excitación mostrada en la figura 1. 3V v(t) 1s t Figura 1: Excitación pulso 4. Transformar las relaciones tensión-corriente del inductor y capacitor del dominio del tiempo al dominio de Laplace, y armar el circuito equivalente serie y paralelo que representan las ecuaciones transformadas. 5. En se aplica al circuito RL serie de la figura 2 una tensión continua de 55V. Encontrar la transformada de la respuesta i(t) para t > Ω 55u(t) i(t) 300mH Figura 2: Circuito RL serie con excitación constante. 6. El capacitor de la figura 3 tiene una carga inicial de q 0 = C con la polaridad indicada. Hallar la respuesta completa de la tensión del capacitor en el dominio de la variable s. 10Ω 80V i(t) 4µF q 0 Figura 3: Circuito RC. 1

2 7. La respuesta de corriente de un circuito eléctrico tiene la siguiente transformada I(s) = 4 5 ( s 5 +1) 2 +4, se pide: a) encontrar i(t), b) encontrar el valor de i(0) aplicando el teorema del valor inicial y comprobar en el tiempo, c) encontrar el valor de i( ) aplicando el teorema del valor final y comprobar en el tiempo. 8. Si la corriente que atraviesa un capacitor de C = 2,5mF en el dominio de s es se pide: I C (s) = 5 s+200, a) encontrar V C (s) si v C (0) = 10V, b) decir cuál es el τ del circuito, c) calcular y graficar i C (t) y. 9. Encontrar la tensión del capacitor V C (s) si tiene una carga inicial de 12V con la polaridad indicada en la figura 4. 8Ω 22u(t)V 5F 22Ω Figura 4: Cálculo de V C (s). 10. En el circuito de la figura 5 encontrar la respuesta para t > 0 utilizando la transformada de Laplace como herramienta. La tensión inicial sobre el capacitor es cero. 11. Encontrar la respuesta completa de tensión en el capacitor y corriente en el inductor para t > 0 del circuito de la figura 6, indicando el tipo de amortiguamiento del sistema. Verificar por teorema de valor inicial y final que se cumplen con las condiciones iniciales y finales impuestas por el circuito. 12. Para el circuito de la figura 7 plantear el sistema de ecuaciones en términos de I L (s)yv C (s)eneldominiodelaplace,coni L (s) = L[i L (t)]yv C (s) = L[]. 2

3 Datos i in v R (t) i in = 10sen(2π50t)[A] C = 10000µF R = 20Ω Figura 5: Circuito RC paralelo. 1H 10V 0,1F i(t) 2Ω Figura 6: Cálculo de la respuesta natural de tensión y corriente. R L R C V 0 i L (t) L C Figura 7: Sistema de segundo orden. 50V 1H 100V 50mF 25Ω Figura 8: Circuito RLC con excitación constante. 13. Aplicando la transformada de Laplace, calcular t > 0 según la referencia indicada en el circuito de la figura Encontrar la respuesta completa de tensión en el capacitor y corriente en el inductor para t > 0 del circuito de la figura 9, si i(t) = 10e 2t u(t)[a]. 15. Para el circuito de la figura 10 se pide encontrar I L (s) y i L (t) para t > Para el circuito de la figura 11 se pide encontrar la corriente i 1 (t). Para mayor facilidad de cálculo se aconseja utilizar las variables de estado físicas del circuito para el planteo. 3

4 2H 16Ω i L (t) i(t) 1 30 F Figura 9: Circuito de segundo orden con excitación no constante. 0,1H 100Ω i L (t) 1A 30Ω 1mF 26u(t)[V] Figura 10: RLC en régimen transitorio. 4Ω 1H 4Ω 1H 1V i 1 (t) 500mF 1V i 2 (t) Figura 11: Circuito RLC. 17. Dado el circuito de la figura 12 en el dominio de s. 6 V(s) = 3 s2 +s+1 s 2 +1 I(s) 3s Figura 12: Dominio de s. Encontrar I(s) y su correspondiente i(t) = L 1 [I(s)] Tiene el circuito condición inicial no nula? Verificar utilizando el TVI. Encontrar V L (s). 18. Un circuito RL serie tiene como función de transferencia H(s) = I(s) V(s) = 1 36+s18. (1) Si se lo excita con un escalón v(t) = 36u(t)[V], encontrar por convolución la respuesta i(t) = h(t) v(t). 4

5 19. Aplicando transformada de Laplace, encontrar i L (t) y según se indica en el circuito de la figura 13. 4Ω 1H 10u(t 5)[V] i L (t) 1 3 F Figura 13: Circuito RLC desplazado. 20. Un sistema es excitado con una señal de entrada v in (t) = e 2t [V]. Se encuentra que la corriente de salida vale i out (t) = 4 ( 3 e 2t e 5t) [A]. Calcular la respuesta al impulso h(t) del sistema. 21. La corriente de excitación del circuito de la figura 14 es i(t) = 10e 2t u(t)[a], se pide calcular: a) la función de transferencia H(s) definida como H(s) = V C(s) I(s), con I(s) = L[i(t)] y V C (s) = L[] b) y la transformada inversa h(t) = L 1 [H(s)]. 2H 16Ω i(t) 1 30 F v C(t) Figura 14: Función de transferencia H(s) y respuesta al impulso h(t). 22. Obtener la respuesta al impulso del circuito de la figura 15 considerando H(s) = I R (s) V(s) ; donde I R(s) = L[i R (t)] y V(s) = L[v(t)]. 400mH v(t) i R (t) 1000µF 10Ω Figura 15: Cálculo de respuesta al impulso. 5

6 6Ω 311cos(100t)[V] 1000µF 20Ω v o (t) Figura 16: Tensión de salida. 23. Aplicando transformada de Laplace encontrar la tensión v o (t) indicada en el circuito de la figura Para el circuito de la figura 17 de condiciones iniciales i L (0) = 1[A] y v C (0) = 1[V] se pide: a) encontrar la respuesta completa de corriente i(t) para t > 0 utilizando el modelo de circuito equivalente de Laplace, b) decir que parte de la respuesta corresponde a la natural y cuál es la forzada. i L (t) i(t) 1µH 1µF Figura 17: Equivalente de Laplace. 25. Aplicando la transformada de Laplace, determinar i 1 (t) y i 2 (t) del circuito de la figura 18 para t > 0, siendo V = 10V, R1 = 3Ω, R 2 = 2Ω, L 1 = 1H, L 2 = 4H y k = 0,6. k V i 1 (t) i 2 (t) L 1 L 2 R 2 R 1 Figura 18: Circuito con acoplamiento inductivo. 6

7 Soluciones Ejercicio 1 Solución F(s) = Aω (s+α) 2 +ω 2 + B(s+α) (s+α) 2 +ω 2 (2) Ejercicio 3 Solución F(s) = 3 3e s s (3) Ejercicio 4 Planteo y solución numérica Según las referencias del circuito de la figura 19a, la relación entre la tensión y corriente del inductor es v L (t) = Ldi L (t)/, cuya transformada queda V L (s) = L(sI L (s) i L (0)) = sli L (s) Li L (0) (4) representado por el circuito equivalente serie de la figura 19b. Luego I L (s) = V L(s) sl + i L(0) s (5) cuyo circuito equivalente paralelo se muestra en la figura 19c. I L (s) v L (t) i L (t) L I L (s) Li L (0) sl V L (s) sl V L (s) i L(0) s (a) (b) (c) Figura 19: Circuito equivalente de Laplace del inductor. Según las referencias del circuito de la figura 20a, la relación entre la tensión y corriente del capacitor es i C (t) = Cd/, cuya transformada es I C (s) = C(sV C (s) v C (0)) = scv C (s) Cv C (0) (6) 7

8 I C (s) i C (t) C I C (s) v C(0) s 1 sc V C (s) 1 sc V C (s) Cv C (0) (a) (b) (c) Figura 20: Circuito equivalente de Laplace del capacitor. representada por el circuito equivalente serie de la figura 20c. Luego V C (s) = I C(s) sc + v C(0) s cuyo circuito equivalente paralelo se muestra en la figura 20b. Notarquetantoenlafigura19como20elinductoryelcapacitorserepresentan en el dominio de Laplace mediante su impedancia, es decir Z L (s) = sl y Z C (s) = 1/sC. Las admitancias respectivas son Y L (s) = 1/sL y Y C (s) = sc. (7) Ejercicio 5 Planteo y solución numérica Ejercicio 6 Solución Según la LKV, la malla debe cumplir 1 55u(t) = 470i(t) di(t) Aplicando la transformada a ambos miembros tenemos [ ] di(t) L[55u(t)] =470L[i(t)] L (9) 55 s =470I(s) (si(s) i(0)) (10) la corriente inicial del circuito es i(0) = 0 debido al inductor. Despejando I(s) queda I(s) = 55 ( ) 1 s (11) s 183,33 I(s) = s(s+1566,66). (12) (8) V C (s) = 80 s s La función u(t) representa la aplicación de la fuente en el tiempo. (13) 8

9 Ejercicio 7 Solución 1. i(t) = 2e 5t sen(10t) 2. i(0) = lím s si(s) = 0 3. i( ) = lím s 0 si(s) = 0 Ejercicio 10 Planteo Por LKC en el nudo tenemos i in (t) i C (t) i R (t) = 0 (14) i in (t) = i C (t)+i R (t) (15) i in (t) = C d(v C(t)) + v R(t) R (16) como = v R (t)porseruncircuitoparalelo,ponemoslaecuaciónenfunción de la respuesta Aplicando L[] a ambos miembros de donde despejamos V C (s) Resolución numérica i in (t) = C d(v C(t)) + v C(t) R I in (s) = scv C (s) Cv C (0)+ V C(s) ( R I in (s)+cv C (0) = V C (s) sc + 1 ) R V C (s) = I in(s) sc + 1 R Para poder operar con (20) calculamos primero (17) (18) (19) + Cv C(0) sc + 1. (20) R 100π I in (s) = L[10sen(2π50t)] = 10 s 2 +(100π) 2 (21) y reemplazando tenemos ( ) ( ) 100π 1 V C (s) = 10 s 2 +(100π) 2 s0,01+ 1 (22) 20 ( )( ) 100π 1 V C (s) = 1000 s 2 +(100π) 2 (23) s+5 A V C (s) = s+j100π + A s j100π + B s+5. (24) 9

10 Para calcular A hacemos primero A = lím s j100π π (s j100π)(s+5) (25) A = 1,5911+j0,025 (26) A = 1,5913e j179, (27) luego para calcular B B = lím s π s 2 +(100π) 2 (28) B = 3,1823. (29) Reemplazando en (24) tenemos V C (s) = 1,5913ej179 s+j100π + 1,5913e j179 s j100π + 3,1823 s+5. (30) Cada término de la ecuación anterior tiene antitransformada conocida, quedando la igual a = 1,5913e j179 e j100πt +1,5913e j179 e j100πt +3,1823e 5t (31) utilizando la igualdad de Euler cos(ωt) = ejωt +e jωt 2 (32) nos queda [ ] e j(100πt 179 ) +e j(100πt 179 ) = 3, ,1823e 5t (33) 2 = 3,1826cos(100πt 179 )+3,1823e 5t (34) = 3,1826sen(100πt 89 )+3,1823e 5t (35) que se grafica en la figura 21. Ejercicio 11 Planteo Según las referencias de la figura 22 la ecuación de equilibrio de la malla aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones es y las relaciones tensión-corriente de cada elemento v L (t) = L di L(t) v L (t) v R (t) = 0, (36), v R (t) = Ri L (t), i C (t) = C dv C(t). (37) 10

11 [V] t[s] -3 Figura 21: Caída de tensión en el capacitor del ejercicio 10. L C i L (t) R Figura 22: Cálculo de la respuesta natural de tensión y corriente. Reemplazando (37) en (36), el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que modela el sistema resulta L di L(t) Ri L (t) = 0 (38) i L (t) = C dv C(t). (39) Luego, tomando la transformada de Laplace de (38) y (39), el sistema de ecuaciones algebraicas en el dominio de la variable s queda I L (s)(sl+r) V C (t) = 0 (40) I L (s)+scv C (s) = Cv C (0), (41) donde se ha considerado que i L (0) = 0A. El sistema de ecuaciones (40)-(41) puede ponerse en forma matricial [ ][ ] [ ] sl+r 1 IL (s) 0 =. (42) 1 sc V C (s) Cv C (0) 11

12 Por último, se resuelve el sistema dado en (42) mediante Cramer como I L (s) = 1, V C(s) = 2, (43) donde es el determinate de la matriz principal de (42), y 1 y 2 son los determinantes de la matrices sustitutas 1 y 2, respectivamente. Resolución numérica El determinante de la matriz principal de (42) queda = sl+r 1 1 sc = sc(sl+r)+1 = LCs2 +RCs+1 = 0,1(s 2 +2s+10), el determinante sustituto 1 queda 1 = 0 1 Cv C (0) sc = v C(0)C = 1, y el determinate sustituto 2 2 = sl+r 0 1 Cv C (0) = Cv C(0)(sL+R) = LCv C (0)s+v C (0)RC = s+2. Además,alfactorizarelpolinomiodeldeterminanteprincipal = (s s 1 )(s s 2 ) las raíces resultan complejas conjugadas s 1,2 = 1±j3. Por lo que la respuesta del circuito de segundo orden será subamortiguada s 2 +2s+10 = s 2 +2s = (s 2 +2s+1)+3 2 = (s+1) (44) Luego, las transformadas de la corriente del inductor y de la tensión del capacitor quedan I L (s) = 10 s 2 +2s+10 = 10 (s+1) (45) V C (s) = 10s+20 s 2 +2s+10 = 10s+20 (s+1) (46) Por último, la corriente del inductor en el dominio del tiempo se obtiene tomando la antitransformada de Laplace de (45) I L (s) = (s+1) , i L(t) = L 1 [I L (s)] = 10 3 e t sin(3t), (47) 12

13 y la tensión del capacitor tomando la antitransformada de Laplace de (46), para lo cual se opera previamente en el dominio de Laplace V C (s) = 10s+20 (s+1) = 10s+10 (s+1) (s+1) (48) s+1 = 10 (s+1) (s+1) (49) y se toma la antitransformada = L 1 [V C (s)] = 10e t cos(3t) e t sin(3t) (50) [ = e t 10cos(3t)+ 10 ] 3 sin(3t). (51) Ejercicio 16 Planteo y resolución numérica Para t > 0, la suma de tensiones en las mallas es 1 = 4i 1 (t)+ di 1 +v C(t) (52) 0 = 4i 2 (t)+ di 2 v C(t) (53) la corriente neta por el capacitor es i 1 (t) i 2 (t) = C dv C, de donde 0 = 2i 1 (t) 2i 2 (t) dv C. (54) Transformando por Laplace estas tres ecuaciones quedan 4I 1 (s)+si 1 (s) i 1 (0)+V C (s) = 1/s (55) 4I 2 (s)+si 2 (s) i 2 (0) V C (s) = 0 (56) 2I 1 (s) 2I 2 s sv C +v C (0) = 0, (57) o en su forma matricial (s+4) 0 1 I 1 (s) 1/s 0 (s+4) 1 I 2 (s) = 0. (58) 2 2 s V C (s) 1 La corriente I 1 (s) se calcula I 1 (s) = 11 p (59) 13

14 El deteminante principal de esta matriz es (s+4) 0 1 p = 0 (s+4) s 2(s+4) 2(s+4) (60) = (s+4)[s(s+4)+4] (61) = (s+4)(s 2 +4s+4) (62) = (s+4)(s+2) 2, (63) mientras que el determinante sustituto se calcula 1/s = 0 (s+4) 1 = (s+4)+(s+4) 2/s 1 2 s (64) = 2/s, (65) de donde I 1 (s) = 2 s(s+4)(s+2) 2. (66) Desarrollando I 1 (s) en fracciones simples I 1 (s) = A s + B (s+4) + C (s+2) 2 + D (s+2) donde A = 1/8, B = 1/8, C = 1/2 y D = 0. (67) I 1 (s) = 1/8 s 1/8 (s+4) 1/2 (s+2) 2, (68) Las fracciones obtenidas son trasformadas de funciones conocidas, es decir que podemos encontrar la función en el tiempo cuya transformada sea I 1 (s), en efecto que se grafica en la figura 23. i 1 (t) = e 4t 1 2 te 2t (69) Ejercicio 18 Solución i(t) = ( 1 e 2t) u(t)[a]. (70) 14

15 i 1 (t)[a] t[s] Figura 23: Corriente de la malla 1 del circuito de la figura 11. Ejercicio 23 Planteo y resolución numérica Para t > 0, eligiendo correspondientemente las referencias de tensión y corriente, en la malla RC se cumple donde siendo R o la resistencia de 20Ω. Operando se tiene I C (s)+i o (s) = 0 (71) V C (s) = V o (s), (72) I C (s) = scv C (s) Cv C (0) (73) V C (s) = v C(0) s+ 1 R oc I o (s) = V o(s) R o (74) = V o (s). (75) Para determinar v C (0) se debe buscar la respuesta forzada del circuito para t < 0, resolviendo la ODE no homogénea de equilibrio en términos de la tensión. Llamando R in al resistor de 6Ω, las ecuaciones de equilibrio para t < 0 serán de donde 311cos(100t) = R in i(t)+ (76) i(t) = C dv C, (77) 311cos(100t) = R in C dv C +v C. (78) 15

16 Aplicando coeficientes indeterminados, o resolviendo por método de Lagrange, la respuesta de régimen permanente que se obtiene es y en es v C (0) = 197,3V, entonces = 153,65 2cos(ωt 24,77 )[V], (79) V o (s) = v C(0) s+ 1 R oc Antitransformando, la tensión de salida para t > 0 será = 197,3 s+50. (80) v o (t) = 197,3e 50t. (81) Ejercicio 25 Planteo Apartirdelasreferenciasdelcircuitodelafigura24,lasecuacionesqueresultan de aplicar la Ley de Kirchhoff de tensiones en ambas mallas en el dominio del tiempo, son y la relación tensión-corriente en cada elemento V v L1 v R1 = 0 (82) v L2 v R2 = 0, (83) v R1 = R 1 i 1 (84) v R2 = R 2 i 2 (85) di 1 v L1 = L 1 Mdi 2 (86) v L2 = L 2 di 2 +Mdi 1. (87) k V i 1 i 2 L 1 L 2 R 2 R 1 Figura 24: Circuito para t > 0. Luego, reemplazando (84)-(87) en (82) y (83), se tiene L 1 di 1 Mdi 2 +R 1i 1 = V (88) di 2 R 2 i 2 +L 2 Mdi 1 16 = 0. (89)

17 Las ecuaciones (88) y (89) conforman el sistema de ecuaciones diferenciales que modelan el circuito dado. Tomando la transformada de Laplace de (88) y (89), el sistema de ecuaciones algebraicas en el dominio de la variable s, queda sl 1 I 1 (s) smi 2 (s)+r 1 I 1 (s) = V/s (90) R 2 I 2 (s)+sl 2 I 2 (s) smi 1 (s) = 0, (91) donde se han considerado i 1 (0) = i 2 (0) = 0A. El sistema de ecuaciones (90)- (91) puede ponerse en forma matricial [ R1 +sl 1 sm sm R 2 +sl 2 ][ ] I1 (s) = I 2 (s) [ ] V/s. (92) 0 Por último, se resuelve el sistema dado en (92) mediante Cramer como I 1 (s) = 1, I 2(s) = 2 (93) donde es el determinante de la matriz principal de (92), y 1 y 2 son los determinantes de las matrices sustitutas 1 y 2, respectivamente. Resolución numérica El determinante de la matriz principal de (92) queda = R 1 +sl 1 sm sm R 2 +sl 2 = (R 1 +sl 1 )(R 2 +sl 2 ) s 2 M 2 = (L 1 L 2 M 2 )s 2 +(R 1 L 2 +R 2 L 1 )s+r 1 R 2 = 2,56s s +16s+12, el determinante sustituto 1 queda 1 = V/s sm 0 R 2 +sl 2 = V s (R 2 +sl 2 ) = 40s+40, s y el determinante sustituto 2 2 = R 1 +sl 1 V/s sm 0 = VM = 12. Luego, las transformadas de las corrientes queda 15,625(s + 1) I 1 (s) = s(s 2 +6,25s+4,6875) = I 2 (s) = 15,625(s+1) s(s+0,87)(s+5,38) (94) 4,6875 s 2 +6,25s+4,6875 = 4,6875 (s+0,87)(s+5,38). (95) 17

18 Por último, se aplica la antitransformada de Laplace para lo cual es necesario hacer el desarrollo en fracciones parciales. La corriente 1 queda por lo que y la corriente 2 por lo que I 1 (s) = 10/3 s 0,51 s+0,87 2,88 s+5,38 i 1 (t) = ,51e 0,87t 2,88e 5,38t [A], I 2 (s) = 1,04 s+0,87 1,04 s+5,38 i 2 (t) = 1,04e 0,87t 1,04e 5,38t [A]. 18