SISTEMAS ELECTRICOS EJEMPLO 1.- CIRCUITO ELECTRICO DE COMPONENTES EN SERIE CON UNA FUENTE DE TENSIÓN

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Guillermo Martínez Revuelta
hace 7 años
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1 SISTEMAS EETIOS EJEMPO.- IUITO EETIO DE OMPONENTES EN SEIE ON UNA FUENTE DE TENSIÓN ircuito eléctrico con un componente pasivo y un componente almacenador de energía, ambos en serie con una fuente de voltaje V(t). V(t) i(t) Eo(t) - Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la tensión en el condensador Eo(t) ante una variación de V(t). Suposiciones:.- Elementos ideales y lineales onstantes: esistencia apacitancia Variables: V(t) fuente de voltaje (variable de entrada) i(t) corriente del circuito V (t) caída de voltaje en la resistencia Vc(t) Eo(t) caída de voltaje en el condensador 5

2 MODEO MATEMATIO EN EUAIONES DIFEENIAES eyes de Kirchhoff V( t ) V ( t ) Vc( t ) 0 () V( t ) V ( t ) Vc( t ) () Ecuaciones constitutivas V ( t ) i( t ) (3) Vc ( t ) i( t ) Eo( t ) (4) Se sustituyen las ecuaciones (3) y (4) en () V( t ) i( t ) i( t ) (5) Expresar la corriente en función de Eo deo( t ) i ( t ) (6) El modelo completo del sistema es entonces: V ( t ) i( t ) Eo( t ) (7) deo( t ) i ( t ) (8) 53

3 MODEO MATEMATIO EN FUNION DE TANSFEENIA Sustituyendo (8) en (7) deo( t ) V ( t ) Eo( t ) (9) Se escribe la ecuación en estado estacionario d Eo V Eo (0) estando (9) (0) d( Eo( t ) Eo ) V( t ) V ( Eo( t ) Eo ) () Se escribe en variables de perturbación deo ( t ) V ( t ) Eo ( t ) () Aplicando Transformada de aplace V s Eo Eo (3) V ( s )Eo (4) Despejando se obtiene la Función de Transferencia: Eo V s (5) 54

4 Forma general Eo k V τ s Sistema de er Orden (6) donde: k ganancia estática del sistema τ constante de tiempo del sistema DIAGAMA DE BOQUES V (s) k τ s Eo (s) 55

5 EJEMPO.- IUITO EETIO DE OMPONENTES EN SEIE ON UNA FUENTE DE TENSIÓN ircuito eléctrico con un componente pasivos y dos componentes almacenadores de energía y, todos en serie con una fuente de voltaje V(t). V(t) - i(t) Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la corriente i(t) ante una variación de V(t). Suposiciones:.- Elementos ideales y lineales onstantes: esistencia Inductancia apacitor Variables: V(t) fuente de tensión i(t) corriente del circuito V (t) caída de voltaje en la resistencia Vc(t) caída de voltaje en el condensador V (t) caída de voltaje en el inductor 56

6 MODEO MATEMATIO EN EUAIONES DIFEENIAES ey de Kirchhoff V( t ) V ( t ) V ( t ) V ( t ) (7) Ecuaciones constitutivas di( t ) V ( t ) V ( t ) i( t ) V ( t ) i( t ) (8) (9) (0) Sustituyendo (8), (9) y (0) en (7) di( t ) V( t ) i( t ) i( t ) () y derivando se obtiene el modelo del sistema como: di ( t ) di( t ) i( t ) dv( t ) () 57

7 MODEO MATEMATIO EN FUNION DE TANSFEENIA Se escribe la ecuaciòn () en variables de perturbación y se toma la transformada de aplace: s I s I I s V (3) I s s s V (4) I V s s s (5) si hacemos ξω n ; ω n I V n ( s ξω s ω ) kω s (6) n n donde ω n ξ 4 k 58

8 DIAGAMA DE BOQUES V(s) s s s I(s) V(s) s k ω s n ξωns ωn I(s) ξ coeficiente de amortiguación 4 ω n frecuencia natural k ganancia 59

9 EJEMPO 3.- IUITO EÉTIO DE OMPONENTES ESISTIVO, APAITIVO E INDUTIVO ircuito eléctrico compuesto por un componente resistivo, y dos componentes almacenadores de energía y. E E Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de la tensión E (t) ante una variación de E (t). Suposiciones:.- Elementos ideales y lineales onstantes: esistencia ondensador Inductor Variables: E (t) tensión de entrada E (t) tensión de salida i(t) corriente a través del inductor i (t) corriente a través de la resistencia i (t) corriente a través del condensador V (t) caída de voltaje en el inductor 60

10 MODEO MATEMÁTIO EN EUAIONES DIFEENIAES i i i E E - - eyes de Kirchhoff E ( t ) V( t ) E( t ) (7) i( t ) i ( t ) i( t ) (8) E ( t ) V ( t ) V ( t ) (9) Ecuaciones constitutivas di( t ) V ( t ) (30a) V ( t ) i ( t ) (30b) V ( t ) i ( t ) (30c) 6

11 Por lo tanto el modelo completo del sistema es: di( t ) E ( t ) E( t ) (3) E( t ) i( t ) i( t ) (3) i( t ) i ( t ) i( t ) (33) MODEO MATEMÁTIO EN FUNIÓN DE TANSFEENIA Sustituyendo (33) en (3): d( i ( t ) i ( t )) ( t ) E ( t ) (34) E Despejando i (t) y i (t) de la ecuación (3): E de i ( t ) i ( t ) (35) y (36) Finalmente, sustituyendo (35) y (36) en (37) y arreglando, obtenemos el modelo matemático en ecuaciones diferenciales del sistema: d E( t ) de( t ) E( t ) E( t ) (37) En estado estacionario: E E, y tomando variables de perturbación, la ecuación (37) queda: d E ( t ) de ( t ) E ( t ) E ( t ) (38) 6

12 Aplicando Transformada de aplace: s E se E E (39) a Función de Transferencia queda: E E s s Sistema de do Orden (40) DIAGAMA DE BOQUES E (s) s s E (s) Escribiendo la función de transferencia en forma general: E donde: E ωn ζωns ωn (4) s ω n ζ 63

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