Circuitos de corriente alterna

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1 Circuitos de corriente alterna Área Física Resultados de aprendizaje Calcular la corriente, frecuencia y otras magnitudes en circuitos de corriente alterna, como el RLC. Contenidos. Introducción teórica. 2. Ejercicios. Debo saber Conceptos Corriente alterna y corriente directa En la corriente continua, la intensidad de la corriente puede aumentar o disminuir, pero su sentido de circulación se mantiene constante en el tiempo. Es decir En cambio, la corriente alterna cambia su magnitud al transcurrir el tiempo a partir de la sinusoidal que la acompaña. La cual representará la forma alterna tal como lo dice su nombre. La forma más común de transmitir corriente alterna es la sinusoidal: n Donde es la corriente máxima alcanzada, y la frecuencia angular de la onda. De ahora en adelante j se utilizará como la unidad imaginaria, para no confundirla con, que podría usarse como corriente. La notación exponencial en ciertos casos es más cómoda para realizar cálculos: o n En donde. Si el voltaje y la corriente están desfasadas, entonces: Donde representa el ángulo de desfase entre las ondas. Segunda Edición - 207

2 Voltaje/Inten dad Corr ente De las Fig. y Fig. 2 se observan los máximos valores de corriente y voltaje. Estos son instantáneos, al igual que todos los puntos sobre las ondas sinusoidales. V max I max T empo Figura. El voltaje y la corriente están desfasados 9 (o ) pero, quién adelanta a quién?; la corriente llega primero a su máximo, por lo que la corriente adelanta 9 al voltaje, o lo que es lo mismo, el voltaje retrasa 9 con respecto a la corriente. Resistencia e impedancia eléctrica La resistencia eléctrica es una medida que muestra el grado de oposición al paso de la corriente eléctrica. Se define para corriente directa y alterna como R. La impedancia es un número complejo que da cuenta no solo de la resistencia, sino que también de efectos derivados de la dependencia a la frecuencia de ciertos componentes de un circuito, como los condensadores e inductores: Donde es la reactancia, que es la oposición al CAMBIO de la corriente o el voltaje en los condensadores y bobinas. Para cada elemento se calcula de distinta forma la impedancia, la cual veremos a continuación: Donde Xc representa impedancia condensador y C es el valor del condensador. Mientras que Xl es la impedancia en la bobina y L el valor de ésta. Segunda Edición

3 Voltaje/Inten dad Corr ente V max I max T empo Figura 2. Este es el caso inverso de la Fig.. Retraso o adelantamiento de la corriente y el voltaje La frecuencia en la corriente alterna muestra la rapidez con que ésta varía en el tiempo. Al describirse como ondas, el voltaje o la corriente pueden adelantarse o retrasarse una con respecto a la otra. Potencia, voltaje y corriente media Los valores eficaces, o rms, de la corriente y voltaje se definen como las equivalentes en corriente continua que genera la misma potencia que la potencia media, que la señal alterna. Primero, para el caso de, obtenemos: Para la corriente eficaz,, el cálculo es el mismo, y se obtiene. Segunda Edición

4 La potencia eléctrica para corriente directa es simplemente, medida en * +, o sea, energía por unidad de tiempo. De la ley de Ohm, se tiene: Para corriente alterna, la potencia es una función dependiente del tiempo. Se define una potencia media, integrando a lo largo de un periodo y dividiendo por él: n n n n o En la última línea, o se denomina factor de potencia. Se observa claramente que no hay potencia media ( desfase igual a 9 o. ) si el voltaje y la corriente tienen un Componentes principales de los circuitos eléctricos Generador o fuente El generador eléctrico entrega la diferencia de potencial necesaria para el funcionamiento de los circuitos. El generador o fem puede ser alterna o directa, y la energía puede ser producida de muchas formas (química, solar, o mecánica). Resistencia La resistencia o resistor en un circuito restringe la corriente que pasa por un aparato eléctrico. Como idealmente no responde a la frecuencia, el voltaje en una resistencia está en fase con la corriente. Con y, con el subíndice de resistencia: () Recordar que () es la Ley de Ohm. Y que esta se aplica tanto para circuitos de corriente alterna como de corriente continua por igual. Con la diferencia que en corriente alterna se utiliza el término de impedancia, por lo que será: Segunda Edición

5 Capacitor El capacitor o condensador es un elemento que almacena energía en forma de campo eléctrico. En un circuito de corriente continua circulará la corriente hasta que el condensador se cargue completamente. En cambio, en corriente alterna sufrirá sucesivas cargas y descargas, y el campo eléctrico que sustenta entre sus placas provocará desfases entre la corriente y el voltaje. Con y, se tiene la relación entre el voltaje y la corriente para un condensador de capacitancia : Tanto el cuadro de la Ec. como el de la Ec.2 muestran el mismo desfase entre corriente y voltaje; pero es más fácil verlo en la Ec.2: o n De la relación de la Ec. 2 y la Ec. 3 se obtiene: n n Con, la reactancia capacitiva, que disminuye al aumentar la frecuencia. Finalmente se encuentra que: n Entonces la corriente adelanta al voltaje por n en un condensador. Para comprenderlo mejor, hay que preguntarse qué sucede cuando vale cero; y entre cero y la función está en el cuadrante positivo, mientras que es más bajo que el valor de la corriente. Para mover una carga desde una placa negativa del condensador a la placa positiva el trabajo necesario es. Sabiendo que el voltaje es proporcional a la carga que está en el condensador, se obtiene: Cuando el condensador está cargado al máximo, entonces la energía almacenada en el condensador es: Segunda Edición

6 Inductor El inductor, comúnmente una bobina, es un elemento que almacena energía en forma de campo magnético. Para la inductancia por lo general se utiliza la letra en honor a Heinrich Lenz. Si el voltaje entre los extremos de la inductancia es n y la corriente nm se obtiene: n ( n) n o Sabiendo que o n, entonces: n n Con, la reactancia inductiva, que aumenta al aumentar la frecuencia. El voltaje y la corriente en el inductor queda: n n O lo que es igual: n n Por lo que en un inductor el voltaje adelanta a la corriente. La potencia instantánea que se debe suministrar para iniciar la corriente en una inductancia es: Entonces y la energía almacenada en el inductor es: Segunda Edición

7 Transformador Al sistema de la Fig. 3 se le denomina transformador, y consiste en una bobina conectada a corriente alterna que generará un campo magnético variable, produciendo una corriente en otra bobina. Si a esto se le añade un núcleo de acero magnético, entonces el campo magnético variable se direccionará mejor y la conversión de campo magnético a corriente será más eficiente. Bobina Primaria N P vueltas I P Flujo magnético Bobina Secundaria N P vueltas I S V P V S Núcleo Figura 3. Las dos bobinas y el núcleo están eléctricamente aisladas, la única interacción entre ellas es magnética. Los voltajes que indica el transformador son eficaces (rms), es decir, si aparece 220/0 V quiere decir que transforma de 220 V a 0V efectivos. La relación entre el voltaje inductor (primario o entrada), el voltaje inducido (secundario o salida), con la cantidad de espiras (vueltas) en las bobinas y secundaria, y con la corriente inductiva e inducida es: Como se observa, el transformador sirve para pasar de un voltaje bajo a uno más alto, a expensas de una disminución en la corriente. Cambiar voltaje por corriente es útil cuando se requiere transportar energía eléctrica por grandes distancias, ya que las pérdidas térmicas por el efecto Joule pueden ser significativas. Segunda Edición

8 Circuitos RLC RLC en serie ~ V(t) Figura 4. Circuito RLC en serie. La ley de Kirchhoff se continúa aplicando para los voltajes instantáneos: Y con, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden: V V V L V C I φ V L V C V R φ V R (a) Ve tore de ampl tud de lo d ferente omponente. (b) Re ta de ve tore de ampl tud. Figura 5. Trabajando con fasores. La relación entre los voltajes entonces es: Segunda Edición

9 Y la amplitud de la corriente queda: Donde es la impedancia,. La fase entre el voltaje y la corriente sale fácilmente de la Fig. 5b: tan ( ) tan [ ( )] RLC en paralelo El voltaje en cada elemento es igual al voltaje instantáneo de la fuente,, pero la corriente de la fuente se reparte entre el inductor, resistencia y condensador: Y de cada componente, se tiene: ~ I(t) R L C Figura 6. Circuito RLC en paralelo. Segunda Edición

10 Ejercicio Un circuito en serie se compone de una resistencia de 8 y un condensador con una capacidad de. A qué frecuencia la corriente adelanta un ángulo de respecto del voltaje? R: Sabiendo que la reactancia capacitiva es: Entonces la impedancia total del circuito queda: (8 ) El argumento de la impedancia es el desfase entre el voltaje y la corriente, entonces finalmente se tiene: tan Ejercicio 2 Un circuito en serie de tres elementos contiene una bobina de una inductancia de.. La tensión aplicada y la corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la Fig. 7. Sabiendo que la frecuencia angular es de * +, determinar los otros dos elementos del circuito. R: 6. 4 V V I 7.9 A Figura 7. Diagrama de fasores voltaje y corriente. Segunda Edición

11 7.9 (. ).6 (. ) Entonces el resistor tiene. El voltaje adelanta a la corriente, entonces la reactancia es inductiva. La bobina de. contribuye con., por lo que la otra bobina tiene una inductancia de. 4. Ejercicio 3 Calcular el valor pico a pico de una onda sinusoidal que tiene un voltaje eficaz de.. R: El voltaje máximo que alcanza la onda es. ; el voltaje pico a pico es simplemente la distancia entre dos picos, que es el doble del voltaje máximo, Ejercicio 4 Un generador con una fem de n(7 ) se conecta en serie con una resistencia de 6 y un inductor de. Si el interruptor se cierra a, determine la corriente para todo. L ~ V(t) R K Figura 8. Circuito RL en serie. R: La ecuación que describe este circuito es: 6 n(7 ) Para que el lado izquierdo sea una ecuación diferencial exacta, se necesita un factor integrante. Es sencillo darse cuenta que este factor es, pero también se puede calcular; el lado izquierdo se puede escribir como: 6 Segunda Edición - 207

12 La anterior no es una ecuación diferencial exacta, ya que. La multiplicamos por el factor,, sabiendo que solo depende de, y resulta, y la condición que se debe cumplir ahora es: Derivando y recordando que : Reordenando e integrando, se obtiene: Reemplazando y, se tiene que. Continuando con el ejercicio, se tiene que la ecuación multiplicada por el factor queda: ( ) n(7 ) n(7 ) Concentrándonos en n(7 ) y aplicando integración por partes se tiene: n(7 ) 7 o (7 ) n(7 ) n(7 ) 7 o (7 ) Aplicando nuevamente integración por partes: o (7 ) 7 n(7 ) Segunda Edición

13 n(7 ) n(7 ) 7 ( o (7 ) 7 n(7 ) ) n(7 ) 7 9 o (7 ) 49 9 n(7 ) ( 49 9 ) n(7 ) n(7 ) 7 9 o (7 ) n(7 ) 8 n(7 ) 7 o (7 ) La constante viene porque no hay límites de integración. Volviendo a la Ec.5, se obtiene: 8 n(7 ) 7 o (7 ) 8 n(7 ) 7 o (7 ) El interruptor se cierra en, por lo que, entonces, y la corriente para cualquier es: 8 n(7 ) 7 o (7 ) 8 Ejercicio 5 A qué frecuencia y qué es lo que sucede cuando el desfase entre la corriente y el voltaje en un circuito en serie RLC es cero? R: Cuando las reactancias inductiva y capacitiva de un circuito en serie RLC son iguales, entonces ocurre resonancia. En esta frecuencia de resonancia la impedancia es mínima, y el circuito es puramente resistivo: tan Segunda Edición

14 Ejercicio 6 Por una línea cuya resistencia es., se transporta una potencia de, bajo una tensión de. Calcule la corriente en la línea y la potencia perdida por efecto Joule con factores de potencia de. y.9. R: Con un factor de potencia de. se obtiene: o. 9.9 Para un factor de potencia de.9, se tiene: o Un mayor factor de potencia provoca menores pérdidas por efecto Joule. Ejercicio 7 Un circuito LC se compone de un inductor de y de un capacitor de.. Si la máxima corriente instantánea es.. Cuál es la diferencia de potencial más alta en el capacitor? R: La diferencia de potencial más alta en el capacitor se da cuando la energía del inductor y el capacitor son iguales, en la corriente máxima instantánea: ( ) ( ).. Segunda Edición

15 Ejercicio 8 Considere un circuito con 7.6,. y.8. Calcule la frecuencia de la oscilación amortiguada del circuito y su resistencia crítica. R: Con Ec. 4 sin fuente, se tiene: Si es pequeño (como la constante de amortiguamiento de un sistema masa resorte), entonces la solución es o. Reemplazando en la ecuación anterior: 4 o o n 4 o n o Sumando todos los términos anteriores se puede obtener el valor de : 4 4 Reemplazando los valores, se obtiene una frecuencia angular de. 8 * + o.. Su resistencia crítica, cuando se hace cero, es Segunda Edición

16 Ejercicio 9 Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor en el circuito RLC paralelo mostrado en la Fig. 9 cuando 8, 6, 7 y. R: Con la relación entre la corriente y el voltaje para cada componente es: I(t) ~ I P (t) R L C Figura 9. Circuito RLC en paralelo y corriente en el inductor. Y con : Y reemplazando los valores: Se pide la respuesta forzada, entonces solo necesitamos la solución particular, y probamos con : Entonces la corriente del inductor es: (4 4 6) 48 Segunda Edición

17 Responsables académicos Corregida Editorial PAIEP. Si encuentra algún error favor comunicarse a ciencias.paiep@usach.cl Fuentes Nahvi, M., Edminister, J. (2003). Schaum s Outline of Theory and Problems of Electric Circuits. (4 a ed.). Nueva York, Estados Unidos: McGraw Hill. Serway, R. (993). Electricidad y Magnetismo. (3 a Interamericana. ed.). México DF, México: McGraw Hill Serway, R., Jewett, J. (2005). Física para ciencias e ingenierías. Tomo II (6 a ed.). California, Estados Unidos: Thomson-Brooks/Cole. Segunda Edición