es e valor máximo de la fem

Transcripción

1 U Tópicos apítulo de : Electricidad orriente Alterna y Magnetismo J. Pozo, J. Pozo, A. A. eón eón y.m. y.m. horbadjian. APÍTUO OENTE ATENA (A.. ntroducción Para generar corriente alterna, se puede considerar el caso de una bobina girando en el interior de un campo magnético con velocidad angular ω constante, esto produce una fem sinusoidal en la bobina dada por sinω t donde es e valor máximo de la fem Este tipo de fuente de fem convierte la energía mecánica en energía eléctrica, el símbolo que se utiliza para representar una fuente de A es el siguiente. 6

2 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. El propósito de este capítulo es estudiar algunos circuitos de A tales como los que se forman al conectar una fuente de A a una resistencia (, a un condensador ( o a una bobina (. El objetivo fundamental en todos estos circuitos es determinar la corriente eléctrica que circula (en, y, para posteriormente estudiar un circuito serie... orriente Alterna en una resistencia El circuito mas sencillo se compone de una resistencia conectada a una fuente de fem, tal como se muestra en la figura. Para determinar la corriente que circula por la resistencia, se utiliza la ey de Kirchhoff escrita en la forma o fuente luego, reemplazando el valor de la fem que entrega la fuente se encuentra sinω t 7

3 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. Si se define Entonces se puede escribir sinω t a diferencia de potencial o tensión en la resistencia está dada por sinω t Estas dos última expresiones muestran que tanto la corriente que circula como la diferencia de potencial en la resistencia están en fase con la tensión que entrega la fuente, tal como se muestra en la figura en donde se representa: f (t curva café, e f(t curva morada..3. orriente Alterna en un condensador En la figura se muestra un condensador conectado a una fuente de A 8

4 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. Aplicando la ey de Kirchhoff al circuito de la figura anterior, se tiene que: fuente Sustituyendo los valores respectivos se tiene luego q sinω t q sinω t Derivando con respecto al tiempo se encuentra que la corriente que circula por el condensador está dada por o dq dt ω cosω t sin( ω t + π / /( ω eactancia capacitiva o capacitancia: Se define la reactancia capacitiva como ω reemplazando se encuentra si se define sin( ω t + π / Entonces sin( ω t + π / a diferencia de potencial en el condensador se atrasa por él. 9 respecto de la corriente que pasa 9

5 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. En la siguiente figura se muestran los gráficos f (t curva café, e f(t curva morada..4. orriente Alterna en una bobina En la figura se muestra una bobina conectada a una fuente de A Aplicando la ey de Kirchhoff al circuito de la figura anterior, se tiene que fuente donde d d ; Sustituyendo los valores respectivos se tiene sinω t dt dt Separando variables e integrando se encuentra d sinω t dt cosω t sin( ω t π / ω ω

6 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. eactancia nductiva o inductancia: Se define la reactancia inductancia como reemplazando se encuentra sin( ω t π / si se define Entonces sin( ω t π / ω a diferencia de potencial en la bobina se adelanta a la corriente que pasa por ella en 9. En la siguiente figura se muestran los gráficos f (t curva café, e f(t curva morada En la siguiente figura se muestra en forma de resumen las diferencias de potenciales en cada uno de los elementos.

7 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian..5. ircuito (Serie En la figura se muestra un circuito serie, por tratarse de un circuito serie la corriente que circula es la misma en, y Aplicando la ey de Kirchhoff al circuito, se puede escribir donde + + Fuente dq es la diferencia de potencial en la resistencia ( dt d d q es la diferencia de potencial en la bobina ( dt dt q es la diferencia de potencial en el condensador ( Fuente sinω t es la diferencia de potencial aplicada por la fuente de A Sustituyendo los valores anteriores, se encuentra que la ecuación diferencial que describe a un circuito serie está dada por d q + dt dq dt + q sinω t a solución de esta ecuación diferencial muestra que la corriente que circula por el circuito puede ser expresada en la forma sen( ω t φ

8 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. donde φ representa la diferencia de fase entre el potencial de la fuente y la corriente del circuito, y está definido como φ arctan No obstante que el método de las ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento del circuito es correcto, es más mas conveniente y sencillo utilizar el método de fasores Diagrama de fasores para > Aunque ni la diferencia de potencial ni la intensidad de corriente son vectores, éstos pueden ser representados por unos vectores bidimensionales que son llamados fasores. Otra forma de obtener los resultados anteriores es mediante la utilización de fasores, para esto es conveniente escribir la diferencia de potencial en cada elemento (resistencia, bobina y condensador, las cuales al aplicar loa ley de Ohm están dadas respectivamente por (Diferencia de potencial en la resistencia (Diferencia de potencial en la bobina (Diferencia de potencial en el condensador El diagrama de fasores para >, está representado en las siguientes figuras ( ( ( ( ( + 9 φ 9 ( ( ( 3

9 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. a diferencia de potencial en la resistencia está en fase con la corriente que pasa por la resistencia (figura anterior lado izquierdo. a diferencia de potencial en la bobina (inductancia se adelanta a la corriente que pasa por la bobina en potencial en el condensador se atrasa 9. a diferencia de a la corriente que pasa por el condensador. uando > el circuito es inductivo, >. En esta caso la corriente se adelanta a. 9 De la figura anterior (lado derecho, según el teorema de Pitágoras se tiene que ( + [( ( ] eemplazando lo valores máximos respectivos se tiene ( + ( También de esta misma figura se encuentra que ( ( φ arctan ( ecuación que es equivalente a φ arctan Diagrama de fasores para > uando > el circuito es capacitivo, >. En esta caso la corriente se atrasa a Δ (ver figura ( + 9 ( ( 9 ( φ ( ( ( ( 4

10 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. uando >, se encuentra que ( + [( ( ] ( φ arctan mac ( ( El ángulo de fase puede ser positivo o negativo que es lo que determinala naturaleza del circuito mac mac + ( mpedancia (Z. a impedancia se define como Z + ( teniendo presente las definiciones de las reactancias y ω ω se tiene Z + ω ω eactancia del circuito: la cantidad ( recibe el nombre de reactancia del circuito y se representa por Entonces la impedancia se puede escribir en términos de la reactancia del circuito en la forma Z + Por otro lado, ecuaciones anteriores puede escribir Z Z 5

11 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian..6. esonancia Una característica útil de un circuito serie conectado a una fuente de A es el fenómeno de resonancia. Por otro lado, teniendo presente la ecuación para la amplitud de la corriente Z + ( donde y ω, es fácil ver que existe una frecuencia para cual, ω que hace mínima la impedancia Z +. Esta frecuencia recibe el nombre de frecuencia angular de resonancia se representa por ω y se define a partir de uego ω ω ω uando ω ω la amplitud de la corriente tiene su máximo valor dado por. También es importante destacar que ω se conoce como frecuencia natural del circuito. En la siguiente figura se muestra m f ( ω para dos circuitos en serie, conectado a una fuente de A, (i [ Ω] e (ii [ Ω], para ambos circuitos se tiene que: [ ],.[ mh ] y.[ nf] 6

12 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian..7. ircuito (paralelo En la figura se muestra un circuito paralelo En este circuito el potencial en cada elemento es el mismo (en fase y amplitud, esto requiere que las corrientes sean diferentes. as amplitudes de las corrientes individuales están dadas por ( ( /( ω ( ω a magnitud de la corriente se determina utilizando la relación ( + ( + ( Sustituyendo los valores respectivos (teniendo presente el diagrama de fasores, se encuentra donde Z Z + / notamos que los signos de y están cambiados en comparación con los del circuito serie. Esto resulta debido a que las fases de los potenciales son iguales para el circuito 7

13 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. paralelo comparadas con fases iguales de la corriente para el caso serie en donde se cumple que [ ( ( ( ] SEE a corriente para el circuito paralelo viene dada por donde sin( ω t φ / / θ arctan /.8. Potencia en circuito de corriente alterna a potencia instantánea para el circuito serie está dada por P donde sinω t e sin( ω t φ, eemplazando estos valores se encuentra P sinω t sin( ω t + φ ( P sinω t (sinω t cosφ sinφ cosω t P (sin ω t cosφ sinω t cosω t sinφ Promediando temporalmente se tiene que la potencia media está dada por P P (sin m ω t cosφ sinω t cosω t sinφ Por otro lado, sabiendo que el promedio temporal de una función f (t, está dada por se encuentra que f ( t τ f ( t dt τ sin ω t cos(ω t τ τ cos(ω t dt ntegrando se encuentra sin ω t 8

14 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. De igual forma se obtiene que sin ω t cosω t uego P m cosφ.9. alores efectivos o rms para la corriente y el potencial Generalmente cuando se especifica un valor de potencial alterno o de corriente alterna, se trata de del valor cuadrático medio (rms, los voltímetros y amperímetros de alterna, están calibrados para indicar estos valores a raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la corriente corresponde a o, entonces Del mismo modo se puede obtener rms rms os valores efectivos o rms (root mean square que en español representa a la raíz cuadrática media indica que se trata de la de la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la corriente o del potencial. rms efectivo El valor instantáneo de está dado por ( sin ( ω t φ El valor medio del cuadrado de la corriente se expresa como ( sin ( ω t + φ ( sin ( ω t φ como sin ( ω t φ En forma análoga se encuentra, se encuentra rms rms 9

15 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian... Transformadores Un transformador de corriente alterna es un dispositivo de inducción que está compuesto por dos bobinas de alambre devanadas en un núcleo de hierro, tal como se muestra en la figura. a bobina de la izquierda tiene N P vueltas y se denomina primario, esta bobina se conecta a la fuente de voltaje o potencial alterno. a bobina de la derecha recibe el nombre de N S secundario, está formada por vueltas y se conecta a una resistencia de carga. a misión que cumple el núcleo de hierro es aumentar el flujo magnético que pasa por la bobina, y proporcionar un medio en el cual casi todo el flujo que pase por una bobina pase también por la otra. De la ey de Faraday se puede escribir P N P dφ dt B donde Φ B es el flujo magnético que pasa por cada vuelta, asumiendo que el flujo que atraviesa cada vuelta del primario es el mismo que pasa por cada vuelta del secundario, se tiene S N S dφ dt B Despejando dφ dt B de una de las ecuaciones y reempezándola en la otra se encuentra S N N S P P

16 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. Transformador de subida o elevador: uando N S > N P, se obtiene que S > P, entonces se tiene un transformador elevador Transformador de bajada o reductor: uando N S < N P, se tiene que S < P (transformador de bajada En la figura anterior, letra b se muestra un diagrama de circuito para un transformador... Problemas resueltos Problema. A partir de + +. Demuestre que la diferencia de potencial entre los elementos, y se puede escribir en la forma: sin( ω t φ y que la corriente toma la forma sinω t donde y φ arctan. + ( Solución: Sabiendo que sinω t : sin( ω t π / : sin( ω t + π / Escribamos las diferencias de potenciales en forma genérica como sigue: A sen( ω t + : A sen ω t + ; A sen ω t + φ ( φ 3 3 ( φ3 Donde: A ; A ; A3 φ ; / φ π ; φ 3 π / Por simplicidad determinemos primero sustituyendo y aplicando la propiedad + sen ( β + φ senβ cosφ + senφ cos β, se tiene A ( t senω tcosφ + senφ cosωt + A ( senωtcosφ + senφ cosω

17 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. factorizando definiendo ( A cosφ + A cosφ senωt + ( A senφ A senφ cosωt + A cosφ A + φ (* cosφ A cos Asen φ A sen + A sen (** φ φ elevando al cuadrado las ecuaciones anteriores y luego sumando, se obtiene A A + A + A A cos( φ φ dividiendo (* y (** se encuentra tanφ A senφ + A A cos + A senφ cosφ con lo cual la ecuación de la onda resultante se puede escribir en la forma Asen( ωt φ Para el caso general que se considere un número superior a dos funciones sinusoidales se puede escribir tan φ i i A senφ A i i i cosφ A A + A A cos( φ φ i i i Teniendo presente el desarrollo anterior, para el caso de tres funciones sinusoidales se tiene lo siguiente donde A A + A j sen( ωt φ + A 3 i j i j + A A cos( φ φ + A A3 cos( φ3 φ i tanφ A senφ + A senφ + A senφ A cosφ + A 3 cosφ + A 3 3 cosφ 3 Sustituyendo los valores respectivo se encuentra ( + ( + ( + cos( π / + cos( π

18 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. ( + ( + ( uego ( + ( + ( Sustituyendo los respectivos valores en la expresión para el ángulo, se encuentra que la fase está dada por A ; A ; A3 φ ; / φ π ; φ 3 π / tanφ sen + sen( π / + cos sen( π / φ arctan Problema:. En un circuito en serie 5[ Ω], 93[ mh ], 9.3[ μf], un generador de A a 7 [ Hz ] entrega al circuito una corriente máxima (pico de 33[ ma]. a Determine el voltaje máximo (pico requerido. b alcule el ángulo con el cual la corriente en el circuito se adelanta o atrasa respecto al voltaje aplicado. Solución: a El voltaje máximo está dado por + ( En este caso 33[ ma], ω ( ω πν ; ν 7[ Hz], /( ω Sustituyendo los valores respectivos, se encuentra 6.6[ ] 3

19 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. b El se determina a partir de uego φ arctan φ 3.68 Dado que el ángulo de fase es negativo, significa que la corriente se adelanta con respecto al voltaje. Problema.3 Un generador de A con 4[ ] y ν 8[ Hz] se conecta a los extremos del sistema que se muestra en la figura ( 8[ Ω], 7[ mh ], [ μf]. Determine los siguientes voltajes máximos (picos. a ( b ( c ( d ( Solución: Primero determínenos los valores de las reactancias ω πν, se tiene ω y /( ω dado que πν 39.[ Ω] ; /(πν 76.45[ Ω] a impedancia es Z + ( 9.[ Ω] 4

20 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. a corriente máxima está dada por 4.57[ A] Z a a diferencia de potencial en la resistencia se determina a partir de ( 374,74[ ] b a diferencia de potencial en la bobina viene dada por ( [ ] c a diferencia de potencial en el condensador viene dada por ( 86.38[ ] d a diferencia de potencial entre el extremo izquierdo de la bobina y extremo derecho del condensador viene dada por ( [( ( ] ( ( ( [ ] 7.65[ ] omentario: Es fácil ver que la diferencia de potencial entre los extremos del circuito esta dada por ( + [( ( ] Sustituyendo valores se encuentra (aproximadamente el valor que entrega la fuente Problema.4 ( ( [ ] Para el circuito de la figura, la salida del generador está dada por ( t 3.4sin(35t[ ]. Determine: a a potencia promedio entregada al circuito por la fuente de poder. b a potencia promedio disipada por la resistencia. 5

21 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. os datos son: ( 45.[ Ω], 7.[ mh ], 6.3[ μf], Solución: a Dado que ( t 3.4sin(35t[ ], se tiene que: 3.4[ ], ω 35 eemplazando los valores de resultados ω, /( ω y se encuentran los siguiente Z + ( 45.64[ Ω] Z [ A] φ arctan 84.3 a potencia promedio está dada por P m cosφ Sustituyendo valores se encuentra 3 P m (69.37 (4.4 cos( 84.3[ mw ] 8..7[ mw ] b Dado que la potencia entregada al circuito se consume únicamente en la resistencia por efecto Joule, entonces la potencia promedio disipada por la residencia es ( P 8..7[ mw ] m 6

22 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. Problema.5 Para el circuito serie de la figura. Determine: a El voltaje aplicado ( T b El ángulo de fase c El diagrama de fasores de voltaje (Dibuje Solución: a El voltaje aplicado esta dado por En esta caso se tiene que ( + [( ( ] donde T + ( ( A(4Ω 8[ ] ( A(9.5Ω 39[ ] ( A(Ω 4[ ] eemplazando, se encuentra T 8 + (39 34 [ ] 7[ ] b Utilizando la ecuación para el ángulo de fase φ arctan 7

23 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. Se obtiene φ uego se atrasa con respecto a T 39 4 arctan arctan( c Teniendo presente los resultados anteriores, el diagrama de fasores para el voltaje está dado por la siguiente figura Problema.6 Una resistencia de 4[ Ω], una reactancia inductiva de 5[ Ω] y una reactancia capacitiva de 4[ Ω] se conectan en paralelo a una línea de A T [ ], tal como se muestra en la figura: Determine: a os fasores de las corrientes en cada rama. b a corriente total. c El ángulo de fase y la impedancia Z. d Diagrama de favores. Solución: a as corrientes respectivas, están dadas por: ( ; ( ; ( 8

24 apítulo : orriente Alterna J. Pozo, A. eón y.m. horbadjian. Para este caso se puede escribir T 4Ω 5Ω T.3[ A].4[ ] 4Ω T 3.[ A] b Dado que el circuito es capacitivo ( >. A partir de la expresión se obtiene ( + [( ( ] T (.3 + (3..4 [ A].67[ A] c Utilizando la relación θ arctan se encuentra que el ángulo de fase es 3..4 θ arctan.3 uego se adelanta a con respecto a T θ 63.4 a impedancia se puede obtener a partir de la expresión Z T T 79[ Ω] Z d El diagrama de fase queda representado por la siguiente figura 9