5 Aplicaciones de ED de segundo orden

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1 APÍTULO 5 Aplicaciones de ED de segundo orden ircuito de corriente continua V I L onsideremos ahora un circuito formado por un resistor, un capacitor y un inductor L conectados en serie con una fuente de voltaje V (véase la figura anterior). De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje: L di Q omo I D dq, obtenemos la siguiente ED para la carga: L d Q dq I D V: Q Derivando esta ED, se obtiene la ecuación diferencial que modela la corriente:. canek.azc.uam.mx: 3/ 9/ 00 D V.t/: (5.) L d I di I D dv : (5.)

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias on cualquiera de estas dos ecuaciones diferenciales, podemos analizar qué ocurre con la corriente y con la carga en un circuito. Sugerimos, sin embargo, determinar primero la carga del capacitor utilizando la ecuación (??) y posteriormente derivar con respecto al tiempo para obtener la corriente en el circuito. Observe que las ecuaciones diferenciales que gobiernan la carga y la corriente eléctrica en un circuito tienen la misma forma que la ecuación diferencial que describe las vibraciones mecánicas y, en consecuencia, dependiendo de las constantes, L & del circuito, se tendrán diferentes tipos de comportamiento de la carga y de la corriente. Ejemplo 5.3. Se conecta en serie una fuente de voltaje V D :5 V, una resistencia D 0, un capacitor de 0 3 F y un inductor L D 0: H. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor está totalmente descargado y no fluye corriente sobre el circuito. H La ecuación diferencial asociada al circuito en serie de este ejemplo es V D L di I Q ) 0:dI 0I 03 Q D :5 ) d Q 00dQ 0 4 Q D 5; (5.3) con las condiciones iniciales Q.0/ D 0 & I.0/ D 0 A. Esta ecuación es similar a la ecuación diferencial de un resorte amortiguado sometido a una fuerza constante externa. La ecuación auxiliar es r 00r 0 4 D 0: uyas raíces son r ; D es de la forma 00. omo las raíces son iguales, la solución general de la ecuación homogénea Q h.t/ D c e 00t c te 00t : Por otra parte, una solución particular es Q p.t/ D 5 D 0:005. Así que la carga está dada por: Q.t/ D Q p.t/ Q h.t/ D 0:005 c e 00t c te 00t : Y la corriente por: I.t/ D 00c e 00t c e 00t 00c te 00t : Usando las condiciones iniciales Q.0/ D 0 & I.0/ D 0, obtenemos el sistema de ecuaciones: 0:005 c D 0I 00c c D 0: De donde, c D 0:005 & c D 0:5. Finalmente, la carga y la corriente son, para tiempos t 0, Q.t/ D 0:005 0:005e 00t 0:5te 00t D 0:005 ( e 00t 00te 00t) I I.t/ D 5te 00t A: Observe que la corriente tiene un máximo cuando I 0.t/ D 0. I 0.t/ D 5e 00t 500te 00t D 0 ) t D 0:0 s. Para 0 t 0:0, la corriente crece; para t 0:0 la corrienete decrece. Por otra parte, la carga es creciente siempre, ya que t D 0 es el único tiempo donde I.t/ D Q 0.t/ D 0.

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias 5 3 Ejemplo 5.3. Se conecta en serie una fuente de voltaje V D 0 V, un capacitor de 0 3 F y un inductor L D 0: H. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor estaba totalmente descargado y no fluía corriente sobre el circuito. H Para un circuito en serie, como el de este ejemplo, la ED asociada es V D L di Q ) 0:dI 03 Q D 0 ) d Q 04 Q D 00; (5.4) con las condiciones iniciales Q.0/ D 0 & I.0/ D 0. Esta ecuación es similar a la ecuación diferencial de un resorte libre sometido a una fuerza externa constante. La ecuación auxiliar es r 0 4 D 0: uyas raíces son r ; D 00i. omo las raíces son complejas, tenemos que la solución a la ecuación homogénea es Q h.t/ D c cos 00t c sen 00t: Por otra parte, una solución particular es Q p.t/ D 00 D 0:. Así que la carga está dada por Y la corriente es Q.t/ D Q p.t/ Q h.t/ D 0: c cos 00t c sen 00t: I.t/ D 00c sen 00t 00c cos 00t: Usando las condiciones iniciales Q.0/ D 0 & I.0/ D 0, obtenemos el sistema de ecuaciones: 0: c D 0I 00c D 0: De donde A D 0: & B D 0. Finalmente la carga y la corriente son, para tiempos t 0, Q.t/ D 0:. I.t/ D sen 00t A: cos 00t/ I Ejemplo Determinar la carga en todo tiempo sobre un circuito en serie que satisface a la condición L <. onsideramos que la fuente de voltaje es constante e igual a V, la carga inicial en el capacitor es cero y no circula corriente en el circuito. H La ED (??) modela este sistema. A pesar de no ser una ED lineal homogénea, se puede convertir en una ED homogénea mediante un cambio de variable Z D Q V, entonces: Sustituyendo en (??): o bien, dz d Z L d Z D dq L d Z D d Q : dz dz d dq.v/ D : Z V Z D 0: D V;

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias La ecuación característica es Lr r D 0; cuya solución es 4 L r ; D D L L 4L : L Puesto que <, el argumento dentro del radical es negativo; entonces la solución para Z es Z D e L t c cos 4L t c sen 4L t : Luego, Z D Q V ) Q D V Z, entonces: Q.t/ D V e L t c cos 4L t c sen 4L t : I.t/ D Q 0.t/ D e L t 4L t c sen 4L t c cos L e L t c cos 4L t c sen 4L t : 4L t onsiderando que Q.0/ D 0, se tiene: 0 D V c ) c D V: onsiderando que I.0/ D 0, se tiene la segunda condición: c 0 D c 4L L ) c c D L Finalmente, Q.t/ D V Ve L t cos 4L t L 4L D 4L L V sen 4L : 4L t ; que corresponde en su símil mecánico a una oscilación amortiguada. Observe que cuando el tiempo aumenta, la carga se estabiliza en Q D V, que físicamente significa que el capacitor con el tiempo se carga totalmente. Ejercicios ircuito de corriente continua. Soluciones en la página??. Se conecta en serie un resistor de, un capacitor de 0: F, un inductor de H y una fuente de voltaje V D 0 V, formando un circuito. Si inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito, determinar en todo tiempo posterior expresiones para la carga y la corriente.

5 Ecuaciones diferenciales ordinarias 5 5. Un circuito en serie está formado por un resistor de 4, un capacitor de F y un inductor de 4 H. Una fuente de voltaje V D 0 V suministra energía al circuito. Suponga que inicialmente no circula corriente por el circuito y que el capacitor está descargado. Determinar la corriente que circula en todo tiempo por el circuito. En qué tiempo se obtiene la corriente máxima? 3. Se conecta en serie un resistor de 4, un capacitor de 0:05 F y un inductor de 0: H a una fuente de voltaje V D 50 V formando un circuito. Determinar la carga en el capacitor y la corriente por el circuito en el tiempo t, si inicialmente la carga es de y no circula corriente por el circuito. En qué tiempo el capacitor obtiene su mayor carga? 4. Un circuito está formado por un resistor D 3:, un inductor L D 0:4 H y un capacitor D 0: F. Si colocamos una fuente de voltaje directa de 50 V en t D 0 s, y la suspendemos en t D =3 s, determinar la carga en el capacitor y la corriente sobre el circuito antes y después de t D =3 s, suponiendo que inicialmente el capacitor tiene una carga de 5 y circula una corriente de A. 5. Se conecta en serie un resistor D 5, un capacitor de 0:04 F, un inductor de 0:5 H y una fuente de voltaje V D 0 V. Determinar la carga en el capacitor y la corriente por el circuito en el tiempo t, si inicialmente la carga es de 0 y la corriente de 5 A.

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejercicios ircuito de corriente continua. Página?? 5. Q.t/ D e t e 5t ; I.t/ D 5 e t 5 e 5t A.. I.t/ D 30te t= A; I máx D :078 A en t D s. 3. Q.t/ D :5 0:5e 0t 5te 0t ; I.t/ D 50te 0t A; Q máx D lím Q.t/ D :5. t! 4. Para 0 t 3 : Q.t/ D 5 4e 4t sen 3t ; I.t/ D e 4t cos 3t 6e 4t sen 3t A. Para t 3 : OQ.t/ D 5e 4. 3 t/ 0 cos 3t 4 3 e 4 «3 e 4t sen 3t ; I.t/ O 5 D e 4t cos 3t 3 e 4 «3 6 e 4t sen 3t A. 5. Q.t/ D e 5t cos 5t 3 5 e 5t sen 5t ; I.t/ D 5e 5t cos 5t 57e 5t sen 5t A.