Sistemas y Circuitos

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1 Sistemas y Circuitos Práctica 4: Circuitos Analógicos Curso Académico 09/10 Objetivos En esta práctica el alumno aprenderá a calcular impedancias equivalentes analizar filtros de primer orden Normas La práctica debe realizarse individualmente. El alumno deberá responder y entregar a su profesor de prácticas el cuestionario que le será entregado en los últimos 30 minutos de la clase de laboratorio. 1. Capacidad Equivalente Encuentre la capacidad equivalente con respecto a los terminarles a y b en el circuito que se presenta en la Figura 1. 8 F a 16 F 4 F 5 F 1.6 F 6 F b 1 F Figura 1. Filtros de Primer Orden En el circuito que se muestra en la Figura, las corrientes iniciales en los inductores L 1 y L han sido establecidas por fuentes que no se indican a los siguientes valores: Conteste a las siguientes preguntas: (a) Determine I 1, I e I 3 para t 0. I 1 (0) = 8 A (1) I (0) = 4 A () (b) Calcule la energía inicial almacenada en los inductores en paralelo. (c) Determine cuanta energía se almacena en los inductores cuando t. (d) Demuestre que la energía total entregada a la red resistiva es igual a la diferencia entre los resultados que se obtuvieron en b y c. 1

2 I 1 4 I 3 I 5H 0H Figura 3. Filtros de Segundo Orden 3.1. Análisis Práctico del Circuito La parte principal de esta práctica será el análisis práctico del circuito R mostrado en la Figura 3. Figura 3 Puesto que todavía no se han explicado este tipo de circuitos en las clases de teoría, se ha añadido un desarrollo teórico (véase Apéndice) en el que se explican más detalladamente el análisis de este filtro de segundo orden. Sin embargo, la sesión de laboratorio se centrará únicamente en la observación del comportamiento de este tipo de circuitos. Para la realización de este apartado se proporcionará una placa con el circuito R serie preparado para la medición de diferentes parámetros. Los valores de los componenetes que forman el circuito son: L =.7 mh C = 47 nf R = KΩ Debemos destacar que el circuito consta de una resistencia variable que nos permitirá modificar el voltaje de salida del circuito, V 0 (t) haciendo que éste atraviese los distintos estados analizados anteriormente (sobreamortiguamiento, subamortiguamiento y amortiguamiento crítico). La señal de entrada del circuito, V g (t), será una onda cuadrada de 1 V p y una frecuencia de 100 Hz Procedimiento Como ya habíamos visto en prácticas anteriores, el primer paso será la selección de la señal V g (t) en el generador de funciones. Una vez seleccionada, podremos pasar a comprobar si sus carácterísticas son las adecuadas, a través del osciloscopio. El siguiente paso será la conexión de la señal de alimentación con el circuito, que deberá realizarse a través de un cable BNC-Cocodrilo. Para la realización de las medidas de la tensión de salida, V 0 (t), deberemos conectar el osciloscopio al circuito del siguiente modo: Anteriormente se indicó que la resistencia R es un potenciómetro, que nos permitirá variar el voltaje de salida, V 0 (t) y pasar por cada uno de las diferentes respuestas que presenta este circuito,

3 Osciloscopio Figura 4 Figura 5: sobreamortiguamiento, amortiguamiento crítico o subamortiguamiento (para una mejor comprensión véase Apéndice). Para modificar el valor de dicha resistencia tendremos que utilizar uno de los destornilladores de plástico que se proporcionarán en el laboratorio. V (t) 0 V (t)/ g Figura 5 Apéndice En este apartado analizaremos un circuito R serie, como el que aparece en la siguiente figura: Tal y como se vio en las clases de teoría, nuestro objetivo es obtener una expresión para la tensión de salida V 0 (t), que se define como la tensión que cae en el condensador C. Para ello partiremos de las siguientes suposiciones: En el instante inicial no circula ninguna corriente por el circuito. El condensador se encuentra descargado. Si aplicamos el método de las corrientes, obtenemos: V g (t) = R i(t) + L di(t) + V 0 (t) i(t) = C dv 0(t) V g (t) = RC dv 0(t) + d V 0 (t) + V 0 (t) Siendo i(t) la corriente que atraviesa el circuito. De forma, que la expresión que rige el compartamiento del circuito sera: d V 0 (t) + R L dv 0 (t) + V 0(t) = V g(t) Hemos obtenido una ecuación diferencial de segundo orden, cuya formulación general es: V 0 + αv 0 + ω 0 V 0 = f(t) 3

4 Si comparamos estas dos últimas ecuaciones, podemos identificar el valor de los parámetros α y ω 0 : ω 0 = 1 ω 0 = 1 α = R L α = R L f(t) = V g(t) La solución a esta ecuación diferencial de segundo orden, vendrá dada por la suma de una solución homogénea y una solución particular: V 0 = V Homogenea 0 + V0 Particular Por simplicidad asumiremos que la solución particular del sistema analizado, V Particular 0, será una constante igual a la función f(t) que hemos identificado anteriormente. La solución homogénea viene dada por: S = V 0 S = V 0 S + αs + ω0 = 0 V Particular 0 = V g(t) S = α ± 4α 4ω 0 = α ± α ω0 De forma que las posibles soluciones de la ecuación diferencial vendrán diferenciadas por los valores de los parámetros anteriormente indicados. Los casos que nos podemos encontrar son, Figura 5: Sobreamortiguado En este caso nos encontramos que α > ω 0, por lo que la solución homogénea tiene dos raíces reales: S 1, = α ± α ω0 Esto hace que la ecuación general que habíamos planteado nos quedará: V 0 (t) = A 1 e S1t + A e St + V g(t) Donde A 1 y A son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales Subamortiguado Ahora tendremos α < ω 0, por lo que la solución homogénea tiene dos raíces complejas: S 1, = α ± j ω0 α = α ± jω d Finalmente, llegamos a que el voltaje del circuito analizado será: V 0 (t) = A 1 e αt e jω + A e αt e jω + V g(t) = B 1 e αt cos(ω d t) + B e αt sen(ω d t) + V g(t) Donde B 1 y B son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales 4

5 Amortiguamiento Crítico Para finalizar tenemos el caso en el ambos parámetros son iguales, α = ω 0. Este hecho hace que la solución homogénea tenga una raíz doble: El voltaje del circuito vendrá dado por: S 1 = S = α V 0 (t) = (D 1 + D t)e αt + V g(t) Donde D 1 y D son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales Referencias Circuitos Eléctricos. James W. Nilsson y Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall. 7 a edición (005). 5