S3: Números complejos, números reales

Transcripción

1 S3: Números complejos, números reales Cada número complejo se corresponde con un punto en el plano. Este punto puede estar definido en coordenadas cartesianas (figura 1) o en coordenadas polares (figura ) Y Figura 1 Coordenadas cartesianas (x, y) Y Figura Coordenadas polares z = x + iy x = rcos θ y = rsen θ = z cos (θ) = z sen(θ) y y r θ z = r = x + y x X x X tg θ = y x θ = arctg y x Definición del argumento de z Llamaremos argumento del número complejo z 0, z = x + iy y lo representaremos por arg z, a cualquier número real θ que cumple: x = rcos θ y = rsen θ = z cos (θ) = z sen(θ) OBSERVACIONES I) θ no es único porque al ser θ un ángulo, si cumple las ecuaciones anteriores también lo cumplirán θ + πk, para cualquier k Z. II) z = x + iy = z cos θ + i z sen θ = z cos θ + isen(θ). III) Representaremos a z = z cos θ + isen(θ) por la expresión z = z e iθ

2 Definición de la forma polar Todo número complejo z 0 puede escribirse en la forma z = z e iθ donde e iθ representa a cos θ + isen(θ). La función e iθ representa a la conocida función exponencial. Con las propiedades: e iα e iβ i α+β = e e iα α β = ei eiβ Con tres casos particulares a destacar: e i 0 = 1 e iπ = 1 e iα n = e inα para n Z Podemos multiplicar, dividir a los números complejos mediante la forma polar: Sean z = z e iα y w= w e iβ dos números complejos, entonces : Su producto es zw = zw ei α+β Su cociente es z w = z eiα w e iβ = z w ei α β También podemos calcular mediante la forma polar la potencia enésima de un número complejo z: z n = z e iα n = z n e inα

3 Definición de la raíz n-ésima Un número complejo w es una raíz enésima de otro número complejo z 0 si se cumple que w n = z, n N Ejemplo 1 Vamos a calcular la raíz cúbica de 8. Solución Sabemos que 3 = 8, luego es raíz cubica de 8. Si se tratará de números reales sería la única raíz cubica. Pero como estamos tratando con números complejos hay más raíces, que encontraremos siguiendo el siguiente procedimiento: x = 8 Y Figura 3 θ = π X Escribimos el número complejo en su forma polar z = z e iθ : z = 8 + i 0 z = = 8 z = = 8 θ = π z = 8e iπ Buscamos un número complejo w= w e iα 3 tal que w = z o lo que es igual a w 3 = z, es decir: w e iα 3 = 8e iπ w 3 e i3α = 8e iπ w 3 = 8 para cualquier k Z. 3α = π + πk

4 w 3 = 8 3α = π + πk para cualquier k Z. α = 5π 3 = Y Figura 4 = 300 = = α 1 Entonces: w 3 3 = 8 w = 8 = α = π 3 + πk 3, k Z Z = 3,, 1,0, 1, 3, Demos valores a k y calculemos, descubriremos que solo hay 3 que no se repiten k = 0: α 0 = π 3 + π 0 3 = π 3 x = X α 1 = π 3 = 60 k = 1: α 1 = π 3 + π 3 = 3π 3 = π k = 1: α 1 = π 3 π 3 = π 3 k = : α = π 3 + 4π 3 = 5π 3 = 300 = 60 = α 1 k = : α = π 3 4π 3 = 3π 3 = π = α 1 k = 3: α 3 = π 3 6π 3 = 5π 3 = α 0 k = 3: α 3 = π 3 + 6π 3 = 7π 3 = α 0 40 = k = 4: α 3 = π 3 + 8π 3 = 9π 3 = 3π = α = 60 k = 4: α 4 = π 3 8π 3 = 7π 3 = α 1 40 = 60

5 k = 0: α 0 = π + π 0 = π w 0 = e iπ 3 = cos π 3 + isen π 3 = 1 + i 3 = 1 + i 3 k = 1: α 1 = π 3 + π 3 = π w 1 = e iπ = cos π + isen π = 1 + i 0 = k = 1: α 1 = π 3 π 3 = π 3 w = e iπ 3 = cos π 3 + isen π 3 = 1 i 3 = 1 i 3 Y Figura 5 w 0 w 1 X w

6 P1) Calcula las potencias que se indican, efectuando las operaciones en forma polar, y expresando el resultado en forma binómica: a) + 3i 6 b) 1 i 1+ 3i 10 z = x + iy z = z e iθ z = r = x + y x = rcos θ y = rsen θ tg θ = z cos (θ) = z sen(θ) = y x θ = arctg y x Solución a) Primero expresamos el número complejo en su forma polar : z = + 3i z = + 3 = = 4 Entonces: sen θ = y z = 3 4 = 3, cos θ = x z = 4 = 1 θ = 10 = π 3 z = 4e πi 3 z 6 = 4e πi 3 6 = 4 6 e 1πi 3 = 4 6 e 4πi = 4 6 cos 4π + isen(4π ) = 4 6

7 b) 1 i 1+ 3i 10 Primero expresamos el número complejo en su forma polar : z = 1 i 1 + 3i = 1 i 1 + 3i 1 3i 1 3 i 3i = = i 1 3i z = = = 8 4 = sen θ = y z = = 1 + 3, cos θ = x z = = 1 3 El seno y el coseno son negativos, luego el ángulo esta en el tercer cuadrante. Calculamos el seno en el primer cuadrante y utilizaremos que sen α = sen α : sen α = π 17π = α = 75 = θ = α + π = = Si lo queremos negativo sería θ = = 105 = π π = 7π 1 Entonces: z = e 7πi 1 1 z 10 = = 7πi e 1 10 = 5 70πi e 1 = 1 35πi 10 3 e 6 = 1 3 cos 35π 6 + isen 35π 6

8 35π 6 = 1050 = Si quitamos las vueltas, el ángulo está en el primer cuadrante (figura 6), y como: Finalmente: sen α = sen α sen = sen 30 = sen π 6 = 1 cos α = cos α cos = cos 30 = cos π 6 = 3 z 10 = 1 3 cos π 6 + isen π 6 = i = i 330 Y Figura 6 30 X NOTA Si tomamos el ángulo positivo θ = 17π 1, obtenemos que z10 = 1 3 e170πi 1 = 1 3 eπ 6 i *Porque 170π = 550 si quitamos las vueltas (550 =360 *7+30 ) π 1 6 mismo resultado. y obtenemos el

9 P) a) Calcula las raíces cuadradas de 3i x = rcos θ = z cos (θ) y = rsen θ = z sen(θ) z = r = x + y Solución a) Primero expresamos el número complejo en su forma polar : tg θ = y x θ = arctg y x z = 3i z = + 3 = = 4 sen θ = y z = 3 4 = 3, cos θ = x z = 4 = 1 θ = 300 = 3π + π 6 = 5π 3, o si lo queremos negativo θ = π 3 Entonces: z = 4e 5πi 3, sea w = w e iα w = w e αi, y como w = z w e αi = 4e 5πi 3 w = 4 = α = 5π 3 + πk, donde k = 0,1.

10 α = 5π 6 + πk, donde k = 0,1. k = 0: α 0 = 5π 6 k = 1: α 1 = 5π 6 + π = 11π 6 = 330, o 30 = π 6 Por lo tanto las raíces cuadradas son: w 0 = e 5π 6 i = cos 5π 6 + isen 5π 6 = i = 3 + i w 1 = e π 6 i = cos π 6 + isen π 6 = 3 1 i = 3 i

11 P3) Calcula las raíces cúbicas de i Solución x = rcos θ = z cos (θ) y = rsen θ = z sen(θ) z = r = x + y tg θ = y x θ = arctg y x Primero expresamos el número complejo en su forma polar : z = 0 i z = = 1 = 1 sen θ = y z = 1 1 = 1, cos θ = 0 z = 0 1 = 0 θ = 70 = 3π, o si lo queremos negativo θ = π Entonces: z = e 3πi, sea w = w e iα w 3 = w 3 e 3αi, y como w 3 = z w 3 e 3αi = e 3πi 3 w = 1 = 1 3α = 3π + πk, donde k = 0,1,.

12 α = π + πk 3, donde k = 0,1,. k = 0: α 0 = π k = 1: α 1 = π + π 3 = 7π 6 = 10 k = : α 1 = π + 4π 3 = 11π 6 = 330 Por lo tanto las tres raíces cubicas son: w 0 = e π i = cos π + isen π = 0 + i = i w 1 = e 7π 6 i = cos 7π 6 + isen 7π 6 = 3 1 i w = e 11π 6 i = cos 11π 6 + isen 11π 6 = 3 1 i

13 P6) Calcula los ceros de p(x) = x C y factoriza p x como producto de polinomios irreducibles en C. A continuación factoriza p x como producto de polinomios irreducibles en R. Vamos a necesitar valorar i. Para calcularlo hacemos ( ver pagina siguiente): i = a + ib i = a b + abi a = b, a = b ab = 1 a = 1 = (NOTA a = b conduce a la misma solución) i = + i i = + i x = x 4i x + 4i x 4i = x i x + i = x i x + + i x + 4i = x i i x + i i = x i i x + i + i = x + i x + i Descomposición en C: x = x i x + + i x + i x + i Para la descomposición en R reagrupamos el primer término con el cuarto y el segundo con el tercero: x = x i x + i x + + i x + i x i x + i = x x + 4 x + x + 4

14 i = a + ib. Esta ecuación significa que el número complejo i se puede escribir con una parte real y una imaginaria que no conocemos y queremos calcular (Definición de número complejo). Como no conozco los valores de a y de b y como miembros de igualdad siguiente obtengo: i = a + ib i 1 El lado izquierdo de la igualdad es: = a + ib i = a + abi b i 1 = i = i i = i 1, si elevo al cuadrado los (Un numero complejo con parte real igual a cero y parte imaginaria igual a 1). El lado derecho de la igualdad es: (a b ) + abi Un numero complejo con parte real igual a (a b ) y parte imaginaria igual a ab Igualando: i = (a b ) + i(ab) La igualdad anterior nos dice que el número complejo de la izquierda para ser igual al número complejo de la derecha se debe cumplir que: (a b )=0 y ab = 1