Curso 2018/2019 Grado en Ingeniería Química Industrial Matemáticas I - Soluciones problemas Tema 1 Concepto básicos Números complejos

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1 Curso 08/09 Grado en Ingeniería Química Industrial Matemáticas I - Soluciones problemas Tema Concepto básicos Números complejos. Escribe en lenguaje matemático las siguientes afirmaciones: a) Sea una aplicación entre dos conjuntos e. Diremos que es inyectiva si y sólo si para todo par de elementos del conjunto inicial tales que su imagen es la misma, entonces los elementos son iguales. b) Sea una aplicación entre dos conjuntos e. Diremos que es sobreyectiva si y sólo si para cada elemento del conjunto de llegada existe un elemento del conjunto de partida cuya imagen por es igual a. c) Dado un número complejo no nulo, se define el logaritmo de como el conjunto de números complejos cuya parte real es igual a logaritmo neperiano del módulo de y cuya parte imaginaria es un argumento de. a) Sea : Diremos que es inyectiva ( con ( )= ( )= = ) b) Sea : Diremos que es sobreyectiva ( ; : ( ) = ) c) Sea C 6= 0 definimos el logaritmo complejo de log ( ), como siendo ln ( ) el logaritmo natural de log ( ) =ln + arg ( ). Dados los números complejos =+ y =, calcula: a) + b) c) d) ( ) e) a) + =(+ )+( ) =5 b) =(+ ) ( ) =7 c) =(+ )( ) =8 d) ( ) = = ( ) = e) = + = (+ )(+ ) ( )(+ ) = Determina los valores de e para que se cumpla la igualdad ( + )( + ) = ( + )( + ) =( )+ ( + ) = Igualando partes reales e imaginarias =0 = = = + + = (+ ) ( )(+ ) = +

2 4. Calcula el módulo de los números complejos: a) +4 b) + c) d) + + a) 5 b) c) d) 5. Expresa en forma polar o exponencial los siguientes números complejos: a) b) c) d) e) + f) + g) + h) i) + j) + + a) b) c) d) e) 4 f) 5 6 g) h) 5 4 i) 4 j) 6. Expresa los siguientes números complejos en forma binómica: a) ( + ) b) + 4 c) d) e) f) + µ g) h) 4 i) j) ( + ) + k) ( ) l) ( + )( ) m) n) ñ) o) 4 p) + q) 4 4 r) 4 a) + b) c) + d) 0 e) s) f) 8 g) h) + i) j) 8 k) 8 l) 8 m) n) ñ) o) p) + q) + r) + s) + 7. Representa gráficamente los conjuntos dados por las expresiones siguientes: a) b) + c) + d) = e) Im ( ) 0 f) Re ( ) g) Re ( )+Im( ) = h), ( 6= 0) i) 5 =8 j) Im k) Re ³ = l) Re =0 m) = n) ñ) + o) Re =

3 Usaremos el hecho de que = + ; = ; = p + ; Re( ) = ; Im( ) = a) b) c) p + + Ecuación del círculo de centro (0 0) yradio. + ( + )+( ) + ( ) + Ecuación del círculo de centro ( 0) yradio. + ( + )+( ) d) Semiplano a la izquierda de abcisa. = ( + ) ( ) = = e) Recta horizontal. Im ( ) 0 0 f ) g) Semiplano abierto de ordenadas negativas. Banda vertical simétrica de anchura. Re ( ) Re ( )+Im( ) = + = + µ µ + = Ecuación de la círcunferencia de centro yradio. h) Suponiendo 6= 0 p + + i) Exterior del círculo de centro (0 0) yradio. 5 =8 +( 5) =8 q +( 5) =8 +( 5) =64 Ecuación de la circunferencia de centro (0 5) yradio8.

4 j ) Im Im + La frontera del conjunto es la hipérbola de ecuación = y x - - k) l) Re ³ = µ + = = + + = 4 Ecuación de la circunferencia de centro 0 yradio. Re =0 =0 µ = = Ecuación de la hipérbola centrada en 0 ysemiejes y. 4

5 m) = ( ) + = ( )+ q q ( ) + = ( ) +( ) ( ) + =( ) +( ) ++ = = + 0= µ + 0= µ + µ + = 9 n) Circunferencia de centro 0 yradio Anillo (o corona circular) de centro (0 0) yradios y. ñ) Notar que en este caso 6= ( ) + ( +) + 0 o) Semiplano a la derecha de la abcisa =0. Re µ = µ + = + = 4 Circunferencia de centro 0 yradio, menos el punto (0 0) ya que no tiene inverso. 8. Calcula las siguientes potencias de números complejos: a) ( + ) 00 b) + 0 c) 0 d) ( ) 5 a) 50 = b) 0 = c) 4+4 d) 8 8 5

6 9. Deduce una fórmula para calcular cualquier potencia de con N. Para las 5 primeras potencias tenemos 0 0 = = = = = 4 4 = =( ) ( ) = y comprobamos que los resultados se repiten cada 4 unidades imaginarias. Por tanto si hacemos la división eculídea de la potencia entre 4 =4 + donde el, el resto, es un número que está en {0 }, luego = 4 + = 4 = = es decir, tiene el mismo valor que con el resto de la división por 4 de. Por ejemplo 74 = = = 0. Calcula las siguientes raíces: = 6 4+ = = a) b) c) 6 8 d) 4 e) 8 f) 4 8 g) h) + i) + j) + k) 4 q 8 l) 4 a) = =0 b) = = 0 = = = = + = 4 = 0 = 6 = + = 5 6 = = 9 6 = 6

7 0 = 6 = + c) 6 =8 8 = = = = 5 6 = + = 7 6 = 4 = = d) 4 = = 5 = 6 = 0 = 4 = + = 4 = + = 5 4 = = 7 4 = 0 = = = 4 = + e) 8 = =0 = = = 4 = + 4 = = 5 = = = = f) 4 =8 8 = 7 = 7 4 = 0 = 4 = + = 4 = + = 5 4 = = 7 4 = 7

8 g) Ãp p! = 0 = 4 8 = 4 + = Ã p p! 4 = = h) + = 0 = 4 8 = Ãp p! = 4 = = Ãp p! = 4 =+ i) = + = + = + = 4 = + 9 = 0 = 6 4 = 4 = ( + ) j) = Ã + = 6 = =! + = + 4 Ã = 6 9 = 9 =! + 0 = 6 = + k) q 8 4 =6 = = = + = 7 6 = l) 4 = =0 Para calcular las razones trigonométricas de 8 y = 5 = 0 = = = = = = = = se utilizan las fórmulas del ángulo mitad cos = r +cos sen r cos = ; 8

9 luego cos 8 = r +cos 4 = p + sen 8 = r cos 4 = p ; cos = r +cos 6 = p + sen = r cos 6 = p. Resuelve en C las siguientes ecuaciones con coeficientes en R: a) +=0 b) +=0 c) 5 +64=0 d) ( +4)( ) =0 a) +=0 = = = 0 = = + b) +=0 = = = 5 = + 0 = 5 5 c) 5 +64=0 = 5 64 = 5 5 = 5 : = 4 d) ( +4)( ) =0 = = = = = = 4 =. Resuelve en C las siguientes ecuaciones con coeficientes en C: a) ( + ) +(9+ ) =0 b) ( ) +( ) =0 c) 4 +64=0 9

10 0 =+ a) ( + ) +(9+ ) =0 =+ + 0 = b) ( ) +( ) =0 = = 0 = 4 =+ c) 4 +64=0 = 4 64 = 4 = + = 5 4 = = 7 4 =. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: a) ( + ) b) = 6 : + = + a) ( + ) = q( + ) = = 5 6 = = = ³ b) + r 4 ³ 4 = + = 4 8= = = 4 8 Ã! + Ã! = = Ã! = = 4 8 = = 4 8 Ã! 4. Utiliza la fórmula de Moivre para obtener cos ( ) y sen ( ) en función de cos ( ) y sen ( ) Cuál será la relación para cos (4 ) y sen (4 )? La fórmula de Moivre es R = (cos + sen ) =cos + sen 0

11 Para = (cos + sen ) = cos + sen cos +cos ( sen )+cos ( sen ) +( sen ) = cos + sen cos cos sen + cos sen sen = cos + sen De donde cos ( ) = cos cos sen sen ( ) = cos sen sen Para =4 (cos + sen ) 4 = cos4 + sen 4 cos 4 +4cos ( sen )+6cos ( sen ) +4cos ( sen ) +( sen ) 4 = cos4 + sen 4 cos 4 6cos sen +sen 4 + 4cos sen 4cos sen = cos4 + sen 4 De donde cos (4 ) = cos 4 6cos sen +sen 4 sen (4 ) = 4cos sen 4cos sen 5. Resuelve: =, siendo N {}. Si =0, entonces se cumple la igualdad para cualquier valor de, yaque 0=0 Buscamos soluciones no nulas, es decir, suponemos 6= 0y por tanto se puede expresar en forma exponencial como = con arg ( ). Sabemos que en ese caso = = ( ) ylaecuaciónquedacomo = ( ) Como es una igualdad de complejos en forma polar, los módulos deben coincidir =

12 y dividiendo por Como 6= 6= 0,debeocurrir = = Para los argumentos debe ocurrir que estén en el mismo conjunto de argumentos, es decir, y ( ) deben diferir en un múltiplo entero de de donde obtenemos ( ) = + Z = y despejando = y las soluciones para cada 6= son las raíces ésimas de la unidad = Z Sólo es necesario considerar valores consecutivos de, por ejemplo, =0, yaque, en este caso para el siguiente valor, que sería, tenemos Veamos ahora el caso = = = = 0 = 0 = = R c Silvestre Paredes Hernández R