Mi nombre: Sergio Abraham. Mi correo: Tutorías bajo demanda.

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1 Mi nombre: Sergio Abraham. Mi correo: Tutorías bajo demanda. 1er. año 1er Cuatrimestre: Matemáticas I (Calculo). º Cuatrimestre: Matemáticas II (Algebra). Cuatrimestre de 1 semanas º año 1er Cuatrimestre: Matemáticas III (Ecuaciones Diferenciales) º Cuatrimestre: Métodos Matemáticos Exámenes 3ª semana: 1er control C1 7ª semana: Examen P1a (Evaluación de las primeras 6 semanas de clase)n1 9ª semana: º control C 14 semanas: Examen Pa (Evaluación de las ultimas 6 semanas de clase) N NOTA FINAL es la mayor de: NOTA= N1+N { N1+N (N1 3, N 3) 100%}, { N1+N 80%+ C1+C 0%} Exámenes P1a, Pa, P1b, Pb serán de horas con 3 preguntas de teoría y 3 de problemas Recuperación: exámenes de repesca P1b y Pb para mejorar N1 y N

2 Conocimientos recomendados Nociones de lógica y de teoría de conjuntos. Conjuntos numéricos. Polinomios. Funciones. Trigonometría. Exponencial y logaritmo. Concepto de límite, derivada e integral de una función. Los temas del curso Números reales, números complejos y polinomios. Límites de sucesiones y series. Funciones, limites, continuidad, derivadas e integrales de una variable. Funciones, limites, continuidad, derivadas e integrales de VARIAS variables. Desarrollos de Taylor. Máximos y mínimos (una y varias variables).

3 Cómo Trabajaremos? Os explico la teoría, y a continuación hacéis los ejercicios propuestos con mi ayuda y trabajando en equipos. Los ejercicios que no hayáis terminado los hacéis en casa. Podéis venir a las tutorías (previa cita) para aclarar dudas de TEORÍA Y PROBLEMAS. Mi despacho se encuentra en el Departamento de Matemática Aplicada (Enfrente de secretaria, junto a las escaleras). La soluciones detalladas de todos los problemas que haremos en clase están en la WEB: quieroaprobarmatematicas.com (ETSII-Matemáticas I-Ejercicios hechos en clase) El acceso a la carpeta ETSII es GRATUTITO.

4 S1: Los Números Complejos Definimos el conjunto de los números complejos, que representamos con C, como: C = z = a + bi, con a, b R, Donde i es un número llamado imaginario tal que i = 1. a se llama la parte real de z, y b se llama la parte imaginaria. Se representan por: a = Re z, b = Im(z) El conjugado del número complejo z = a + bi, se representa con z y se define como z = a bi. Si a = Re z = 0, decimos que tenemos un número imaginario puro z = bi. Si b = Im z = 0, tenemos un número real z = a + 0i = a, luego los numeros reales son un subconjunto de los complejos, R C. Por ejemplo z = + 9i es un número complejo, Re z = y Im z = 9. Las primeras potencias del numero i son: i 1 = i; i = 1; i 3 = i; i 4 = 1; i = i; i 6 = 1; i 7 = i; i 8 = 1. Propiedades del conjugado de un número complejo z = a + bi, con a, b R: 1) z = z ) z = z b = 0 3) z 1 + z = z 1 + z 4) z 1 z = z 1 z ) z z = a + b Observa que se repiten cada 4 potencias. En general si n N, entonces i n = i r, donde r es el resto que resulta al dividir n entre 4. Por ejemplo: i 33 = 33 = 8 + 1, luego el resto es = i = i 4 8 i 1 = 1 8 i = i.

5 Ejemplos z = 4 + 8i, 4 es la Parte real y 8 es la parte imaginaria. z = 4 + 0i = 4. z = 0 + 8i = 8i. Los números complejos se suman y multiplican como si fueran binomios: 4 + i + 6 i = i 4 + i 6 i = i + i ( ) i = i 8i = 34+i Para dividir, por ejemplo +3i, multiplicamos por el conjugado del denominador: 4+i + 3i 4 + i 4 i 4 i 3 + i 3 + i = 4 = + 41 Podemos generalizar estas reglas: a 1 + b 1 i + a + b i = a 1 + a + b 1 + b i a 1 + b 1 i a + b i = a 1 a b 1 b + a b 1 + a 1 b i a 1 + b 1 i a + b i = a 1a + b 1 b + a b 1 a 1 b i a + b

6 Representación Grafica El número complejo z = a + bi se representa como un punto del plano R de coordenadas rectangulares a, b y que llamaremos plano complejo. El eje de abcisas X se llama eje real y el eje de ordenadas Y se llama eje imaginario. Cada número complejo corresponde a un punto exactamente, y recíprocamente. Plano Complejo Se define el modulo de un número complejo z = a + bi, con a, b R como: Eje imaginario z = z z = a + b b Propiedades: i 1 1 i a Eje real 1) z 0. ( z = 0 z = 0). ) z 1 + z z 1 + z. 3) z 1 z = z 1 z. 4) z 1 z z 1 z. ) z = z. 6) Si z 0, entonces 1 z = 1 z. El modulo del número complejo z = a + ib se interpreta como un segmento que va desde el origen hasta el punto (a, b). Dos números complejos no se pueden comparar, pero si se pueden comparar sus módulos. Diremos que z 1 > z si el modulo de z 1 es mayor que el modulo de z. La distancia entre z 1 y z se representará por z 1 z.

7 Ejemplos 1) Simplifica las siguientes expresiones: i) +3i 1+i i) +3i 1+i = +3i 1+i ; ii) 1 i 1 i +i 3 i ; iii) 7+i 3 1 i 3+i = 3i +3i i 1 i = +i Recuerda que: i 1 = i; i = 1; i 3 = i; i 4 = 1 (a + b) = a + ab + b a + b a b = a b a + i a i = a i = a + 1 a + b 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 n n k=0 an k b k ; a + b n = k Coeficiente binomial: n k = n! n k!k! ii) +i 3 i 1 i = 6 i +3i i 1+i i = 7+i = 7+i i = 14i+i i i i 4i = +14i 4 = 1+7i iii) 7+i 3 = i+3 7 i +i 3 3+i 9+6i+i = i 1 i 8+6i = 3+146i 8+6i 8 6i = i+1168i 8 6i = = i 100 = i. ) Calcula i 19, i = , luego el resto es 3. i19 = i 4 4 i 3 = i 33 4 = , luego el resto es 1. i33 = i 4 8 i = i

8 3) Utiliza el binomio de Newton para calcular 1 + i Notas 0! = 1; 1! = 1;!=*4*3**1 1 + i = k=0 k 1 k i k = k=0 k ik = = 0 i0 + 1 i1 + i + 3 i3 + 4 i4 + i = 0 =! 0! 0! = 1; 1 =! 1! 1! =! 4! = 4! 4! 3 =! = 4 3! = 10; 3! 3! 3!! 1 + i = 1 + i 10 10i + + i = 4 4i = ; =!!! = 4 3! = 10! 3! 4 =! 4! 4! = ; =!!! = 1 4) Hallar el valor de x para que el producto 3 + i x + 4i sea un número real. 3 + i x + 4i = 3x + 4i + ix + 1i = 3x 4 + i(x + 1) x + 1 = 0 x = 1

9 ) Calcula 1 + i 7. Sabemos que 1 + i = 4 4i, así que podemos escribir 1 + i 7 = 1 + i 1 + i : 6) Calcula 1 i i 7 = 4 4i 1 + i + i = 4 4i i = 8i 8i = 8 8i. Sabemos que 1 i = 1 i + i = i, así que podemos escribir: 1 i 4 = 1 i 1 i : 1 i 4 = i i = 4i = 4 7) Representa en el plano complejo los números z 1 = 4 + 3i y z = + i, calcula sus módulos y determina cual esta más próximo del origen. z 1 = = ; z = + 4 = 3; Como z 1 >; z, z está más cerca del origen. z 1 = 4,3 z =,

10 8) Hallar el valor de x para que el producto 3 + i x + 4i sea un número imaginario puro. 3 + i x + 4i = 3x + 4i + ix + 1i = 3x 4 + i(x + 1) 3x 4 = 0 x = 4 3 9) Hallar el valor de x para que el cociente 3+xi i+4 sea un número real. 3 + xi i + 4 = 3 + xi 4 i 4 + i 4 i = 1 xi + i(4x 3) 4 i = 1 + x + i(4x 3) 17 4x 3 = 0 x = ) Prueba que z u z u z sumo y resto u = z u + u z u + u (paso u al primer termino) z u z u 11) Describe los siguientes subconjuntos del plano: i) z 4; ii) z > 1; iii) z 1 < 1; iv) z > z 3 ; v) 1 = z z ; vi) z = Im(z).

11 Substituiremos z = x + iy, y usaremos que z = zz = x + y i) z 4; x + y 4 x + y 16. Se trata de los puntos que están fuera del circulo de radio 4 centrado en el origen, incluyendo su periferia. ii) z > 1 x + y > 1 x + y > 1. Se trata del exterior del circulo centrado en el origen de radio 1. iii) z 1 < 1 x + iy 1 < 1 x 1 + iy < 1 x 1 + y < 1 x 1 + y < 1. Se trata del interior del circulo centrado en 1,0 el origen de radio 1.

12 Substituiremos z = x + iy, y usaremos que z = zz = x + y iv) z > z 3 x + iy > x + iy 3 x + iy > x 3 + iy x + y > x 3 + y x 4x + 4 > x 6x + 9 x > x > Se trata del semiplano complejo situado a la derecha del la recta vertical x = v) 1 z = z zz = 1 x + y = 1. Se trata de los puntos que están en la periferia de la circunferencia de radio unidad centrada en el origen. 1

13 vi) z = Im z x + y = y x + y y = 0 x + y y = 1 4 x + y 1 1 = 4 radio 1 centrado en el punto 0, 1 ; Se trata de los puntos que están en la periferia del circulo de 1